以問題為導向推動學生全面發(fā)展

林廉峰

[摘要]問題在誘發(fā)學生思考、鍛煉學生思維能力、提升學生數(shù)學素養(yǎng)等方面具有突出的價值．在實際教學中，教師應(yīng)從教學實際出發(fā)，將教學內(nèi)容問題化，讓學生在問題的驅(qū)動下積極思考、主動探索，進而全面深刻地理解相關(guān)內(nèi)容，有效提高學生的學習品質(zhì)和數(shù)學素養(yǎng)．

[關(guān)鍵詞]問題；思考；數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)學學習過程可以看成發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程，在問題的驅(qū)動下，可以讓學生在理解具體知識的基礎(chǔ)上，掌握數(shù)學思想方法．認清數(shù)學的本質(zhì)，實現(xiàn)深度學習，不過，在實際教學中．部分教師認為利用問題驅(qū)動的方式開展教學活動可能需要較多的時間．而且學生的知識儲備有限．自主學習能力薄弱，若讓學生自己探索．可能難以發(fā)現(xiàn)有價值的知識、結(jié)論和方法，因此教學中還是習慣應(yīng)用“講授”的方式開展新知教學活動．雖然“講授”在表面上可以幫助教師高效地完成教學任務(wù)，但是學生獨立思考和合作探究的缺失不利于其可持續(xù)學習能力的提升．因此，在教學中．教師應(yīng)結(jié)合教學實際提出有意義的問題．讓問題驅(qū)動學生思考，引發(fā)學生探究．讓學生由“學會”走向“會學”．

筆者以“周期函數(shù)”的教學設(shè)計為例，在教學中將具體內(nèi)容問題化，讓學生在問題探索中積累活動經(jīng)驗，豐富認知體系．提升數(shù)學素養(yǎng)．

教學設(shè)計

1．引入生活情境，感知周期現(xiàn)象

問題1你了解周期現(xiàn)象嗎？你能列舉一些實例加以說明嗎？

預設(shè)：學生可以根據(jù)生活經(jīng)驗列舉出大量的生活實例，如四季交替，日出日落．潮起潮落．等等.

追問：對于以上現(xiàn)象，如果讓你用一個詞來概括，你想到了什么？

預設(shè)：周而復始．

設(shè)計意圖從生活出發(fā)，讓學生在生活化的情境中體驗周而復始的變化規(guī)律，感知周期現(xiàn)象，同時通過有效追問，讓學生用語言加以概括，明晰周期現(xiàn)象的本質(zhì)特征，為接下來概念的抽象做鋪墊．

2．利用問題啟發(fā)，形成核心概念

問題2圖1是水車工作示意圖，水車勻速運動．取水車輪上一點P．記t時刻點P到水面的距離為y，若每5分鐘轉(zhuǎn)一圈，即y值每5分鐘出現(xiàn)一次，你能用一個數(shù)學式子來表示它的變化規(guī)律嗎？

預設(shè)：學生結(jié)合已有知識和經(jīng)驗，得到數(shù)學表達式f（t+5）=f（t）．

追問1：對于這種周期變化，大家并不陌生，以前我們定義哪個函數(shù)時，是以圓周運動為背景的呢？

預設(shè)：根據(jù)提示，學生容易想到正弦函數(shù)y=sinx.由此以學生熟悉的內(nèi)容為出發(fā)點，引導學生逐漸抽象周期變化的特征．

追問2：在研究正弦函數(shù)y=sinx時，以圓周運動為背景．它是否具有周期性呢？如果有，如何用數(shù)學式子來表示其周期變化的特征呢？

預設(shè)：學生結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)每隔2π個單位就會出現(xiàn)縱坐標相同的點，故得到描述周期性的關(guān)系式f（x+2π）=f（x）．

追問3：若不借助函數(shù)圖象，是否可以發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)周期變化的特征？

預設(shè)：引導學生從公式出發(fā)，根據(jù)誘導公式sm（x+2π）=sinx進行推導，得到f（x+2π）=f（x）．

設(shè)計意圖從學生的已有知識和經(jīng)驗出發(fā)．引導學生用數(shù)學的眼光去思考周期變化的特征．繼而由感性認識逐漸上升至理性認識．同時．啟發(fā)學生用模型思想來思考周期變化的特征．為函數(shù)模型的構(gòu)造提供方向．

問題3結(jié)合已有知識和經(jīng)驗，你能否用數(shù)學語言來刻畫“周而復始”這一本質(zhì)特征呢？

預設(shè)：教師引導學生將表達式f（t+5）=f（t）與f（x+2π）=f（x）相類比，讓學生用數(shù)學語言來刻畫“周而復始”這一本質(zhì)特征．在此基礎(chǔ)上．教師引導學生轉(zhuǎn)向一般化，用數(shù)學符號語言將其表示為f（x+T）=f（x）（T為常數(shù)，且T≠0）．

設(shè)計意圖教師引導學生從特殊向一般轉(zhuǎn)化．通過經(jīng)歷概念生成過程，加深學生對概念的理解，提高學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)．

問題4若T=0．會出現(xiàn)什么情況？

預設(shè)：若T=0，則f（x）=f（x），完全失去了研究意義．

追問1：已知非零常數(shù)T是f（x）的一個周期，那么2T是否是它的周期呢？

預設(shè)：根據(jù)定義可得-f（x+2T）=f[（x+T）+T]=f（x+T）=f（x），由此可知，2T也是-f（x）的周期．

追問2：3T，4T，…是否也是它的周期呢？

預設(shè)：學生結(jié)合經(jīng)驗繼續(xù)驗證，發(fā)現(xiàn)3T．4T都是f（x）的周期，由此得到結(jié)論：T的整數(shù)倍都是f（x）的周期.

追問3：根據(jù)以上研究結(jié)果可知，若一個函數(shù)是周期函數(shù)．則它會有無數(shù)個周期．那么它是否存在最小正周期呢？

預設(shè)：通過特例f（x）=1，讓學生發(fā)現(xiàn)周期函數(shù)不一定有最小正周期．

設(shè)計意圖通過層層遞進、環(huán)環(huán)相扣的問題讓學生進一步理解“周期”．為后續(xù)應(yīng)用打下堅實的基礎(chǔ)．

問題5在函數(shù)f（x）=x2中，因為f（-3+6）=f（-3），所以該函數(shù)是以6為周期的函數(shù)，你認可這個說法嗎？請給出你的理由．

預設(shè)：學生結(jié)合經(jīng)驗可知，函數(shù)f（x）=x2并不是周期函數(shù)，f（-3+6）=f（-3）只是一個特例，并不能保證對于∨x∈R，都有f（x+6）=f（x），如當x=1時，f（1+6）≠f（1），所以該說法是錯誤的.

設(shè)計意圖從學生熟悉的函數(shù)出發(fā)．通過反例進一步加深學生對定義中的“任意”的理解.

問題6以下3幅圖中．哪些是周期函數(shù)的圖象？哪些不是周期函數(shù)的圖象？若不是，請給出你的理由．

預設(shè)：通過觀察以及對定義的理解．學生可以判斷出以上3幅圖中只有圖2是周期函數(shù)的圖象．根據(jù)定義可知，周期函數(shù)的圖象每平移一個固定長度|T|后，圖象是重合的，而圖3和圖4并不符合這一特征．

設(shè)計意圖引導學生利用平移來理解“周而復始”的變化規(guī)律．讓學生明晰“重復出現(xiàn)”與“周而復始”的本質(zhì)區(qū)別．

3．借助典型例題，深化知識理解

例1試判斷y=7+（-1）n，n∈Z是否為周期函數(shù)．

設(shè)計意圖周期函數(shù)的概念形成過程都是以三角函數(shù)為基礎(chǔ)．為了避免學生形成只有三角函數(shù)才有周期性的錯覺．教師引導學生利用周期函數(shù)的定義驗證一般函數(shù)的周期性．以此讓學生對周期函數(shù)形成正確的、全面的認識．

例2求下列函數(shù)的周期．

（1）y=3sinx，x∈R；

（2）y=cos2x，x∈R；

（3）y=2sin（1/2x-π/6），x∈R.

設(shè)計意圖引導學生利用周期函數(shù)的定義求函數(shù)的周期．讓學生體會函數(shù)的周期只與其解析式中的自變量的系數(shù)有關(guān)，逐漸挖掘其中的一般規(guī)律，提高學生的數(shù)學觀察和邏輯推理等能力和素養(yǎng)．

問題7你能用自變量x的系數(shù)來表示函數(shù)y=Asin（ωx+φ）和，y=Acos（ωx+φ）（ω>0）的周期嗎？

設(shè)計意圖通過由淺入深、由特殊到一般的推理，讓學生最終得到一般三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）（ω>0）的周期，即T=2π/ω．通過探究讓學生發(fā)現(xiàn)蘊含其中的規(guī)律，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力．

4．重視課堂小結(jié)，形成認識結(jié)構(gòu)

問題8通過本課的學習．你有哪些收獲呢？

該環(huán)節(jié)教師要將主動權(quán)交給學生．讓學生通過互動交流積累活動經(jīng)驗．提煉數(shù)學思想方法，豐富已有認知體系，形成完善的認知結(jié)構(gòu)．

5．利用分層練習．推動全面提升

在練習環(huán)節(jié)，教師應(yīng)從教學實際出發(fā)，為不同能力的學生設(shè)計不同的問題，通過分層練習調(diào)動學生學習的積極性，讓不同層級的學生都能有所發(fā)展、有所提升.

教學思考

在高中數(shù)學教學中，教師應(yīng)以發(fā)展學生的能力和素養(yǎng)為目標，以學生的實際思維為起點．設(shè)計有意義的問題．讓學生在問題的啟發(fā)和引導下主動探索、積極互動，從而在理解相關(guān)知識的基礎(chǔ)上．掌握數(shù)學研究方法，提升自主學習能力．

另外．在實際教學中，教師既要充分預設(shè)．也要合理地面對生成．在教學中，教師應(yīng)認真研究教學、研究教材、研究學生，結(jié)合實際學情創(chuàng)設(shè)有意義的問題．以此調(diào)動學生參與課堂的積極性．充分發(fā)揮學生的主觀能動性，打造“生本”課堂.

總之，在實際教學中，教師應(yīng)依據(jù)實際學情設(shè)計問題．讓學生在問題的驅(qū)動下經(jīng)歷知識形成和發(fā)展的過程，理解蘊含其中的數(shù)學思想方法，掌握數(shù)學研究方法．提高學習品質(zhì)和數(shù)學素養(yǎng)．