從“合并同類項”教學設計看單元整體設計路徑

韓程霞

摘要：文章以“合并同類項”為例展示單元整體視角下的課時教學設計過程，即從整體視角分析課時內容，明確需要解決的根本問題，遵循概念教學的基本流程，以“任務—設計—分析”為思路進行具體闡述，嘗試用案例分析的方法探索單元整體設計路徑，并基于實踐提煉出需要恪守的原則.

關鍵詞：單元整體；課時教學設計；路徑

本文中以單元整體思考下的課時教學設計（合并同類項）為主線，遵循概念教學的基本流程，針對課時中的每一個教學環節，以“任務（需要解決的問題）—設計—分析（如何解決）”為思路，嘗試從宏觀到微觀、從方法到思想，探索單元整體視角下的課時教學設計路徑.

1 從整體視角分析課時內容

“合并同類項”處于“代數領域→數與式主題→整式加減”教學單元，涉及數式通性和歸納、類比、轉化等思想方法，其關系如圖1所示.

“式”是“數”的拓展，教學中必須關注數到式的自然過渡.其中，整式作為一個具體研究對象，其研究方法類比數的研究思路，整式加減的教學重點是運算法則，而合并同類項是整式加減運算的核心所在.因為“歸納”是合并同類項最為根本的研究方法，所以“合并同類項”的教學思路定格為運用歸納的方法教概念、法則，用類比數的運算自然地體現數到式的拓展，彰顯數式通性.

2 教學設計

2.1 引入

從單元整體聚焦到具體課時，首先需要勾勒出一個基于代數運算的大視角，幫助學生在整體格局下明確將要完成的學習任務.

設計：“之前數學學習的過程中，運算的對象都是數.那么，數及其運算是如何操作的？有哪些運算？經過前面對整式概念的學習，對于新的運算對象，可以類比數的運算，思考如何構建式的運算體系.”

在數的學習階段，學生已經知道數的加與減、乘與除、乘方與開方運算的互逆關系，并且掌握了運算律.在本節課之前已經給出了單項式、多項式的概念，這意味著新的代數運算對象已經產生.這寥寥數語告訴學生，本節課將要遵循研究規律構建代數式的運算體系，為代數式的運算建立開端.從整體視角看，整式的運算將要經歷加減、乘除過程，基于思想方法的一致性，在研究內容拓展的過程中不斷重復代數體系的研究思路，有助于學生形成認識問題、解決問題的基本方法.

2.2 獲取研究對象

2.2.1 從數到式自然遷移

勾勒出研究思路之后，聚焦具體課時操作自然會產生一個問題：式是數的進一步抽象及推廣，但是式又不等同于數，那么整式到底能不能相加呢？本環節需要解決“整式能不能相加”這一問題，研究從單項式開始.

設計：以下問題怎樣運算最合理？

①34×5+66×5； ②34×52+66×52；

③34×5×8+66×5×8.

追問：將上述問題中的5換成a，8換成b，還能運算嗎？

上述運算具有明顯的結構特征，這是考慮到學生的學習是新舊知識相互影響與整合的過程，新舊知識間相似的成分越多越容易發生遷移.追問設計的意圖在于處理好從數“通”到式的過程：借助“字母表示數”的意義，用字母“替換”數字，完成從數到式的學習遷移，明確這樣的式可以運算，并且只有使用分配律，才能通過改變運算順序將兩個同類單項式合并為一個式子.從思想方法層面看，用好數式通性來設計路徑.

2.2.2 認識新的運算對象

數的運算是“分類”計算的（整數、分數、小數、無理數等都一樣），因此，類比數的研究進一步聚焦視線：什么樣的兩個式可以相加？

設計：2ab+3mn，2a+3a2，2ab+3ab能不能相加？

引導學生從一般視角入手獲得研究對象，通過歸納形式差異建立“類”的意識是設計出發點.這個設計中包括了兩個單項式可能出現的全部類型：兩個單項式中沒有相同的字母（如2ab與3mn類型），無法相加；有相同的字母，但是字母個數（指數）不同（如2a與3a2類型），也無法相加；兩個單項式字母相同且字母指數相同，可以相加（如2ab與3ab類型）.其中，第三種類型可以基于運算律相加得到一個新的單項式5ab，這樣的兩個單項式具有研究的價值，從而獲得本節課的研究對象.

上述設計的出發點，目的在于解決好“是不是任意兩個單項式都能相加？怎樣的兩個單項式相加才能得到一個單項式”的問題，同時做好對“類”的認識的拓展.

2.3 概念屬性歸納

2.3.1 從結構特征認識同類項

解決好“能不能加”的問題后，本環節要解決“怎么加”的問題，這也是課時教學的重點和難點所在.實際上這一環節要歸納出，能夠相加的兩個單項式需要具有相同的結構，這樣才可以使用分配律，在此基礎上歸納出同類項的概念以及合并同類項的法則.

設計：這一組問題能不能運算？

（1）－3m+5m；?? （2）x2y－13x2y；

（3）－5x5y4+7x5y4；（4）2m2n6－9m2n6；

（5）ab3－7ab3+2ab3；（6）2ab2c－ab2c+4ab2c.

從教學實踐中發現，學生對“結構”相同高度敏感，能夠主動調取數的運算經驗，將運算律推廣到結構相同的式的運算中，依據數的運算經驗歸納概括出一些簡單“結論”，如“每個問題中的兩個（或多個）單項式除了數字以外都是相同的……”，盡管這樣的表述不夠精準，但卻是知識的正向遷移過程，主動將分配律推廣到式的運算中.其實，這段材料中的思想方法絕不止于此，由于“字母表示數”，因此運算律在式的運算中依舊成立，所以數式通性是根本指導思想.

2.3.2 歸納要素，獲得概念和法則

設計：對于以上每一組“結構相同”的單項式，可以利用分配律相加.那么到底什么是“結構相同”？這樣一個模糊的表述能否用單項式的要素加以解釋？這樣的每兩個單項式的要素之間滿足怎樣的關系？

同類項概念是本節課的重點，對要素的歸納過程是本節課的難點，難在概念的歸納與它的上位概念單項式相關，因此設計了一組問題串引發學生的思考.具體教學中可以以直觀的形式對單項式的要素作分析，如圖2：

在分析了同類項的要素特征后，需進一步追問：在合并同類項的過程中為什么可以將系數相加，字母連同指數不變？這樣操作的理由需進一步明確：字母可以表示數，所以在數中成立的所有規律，在式中都可以沿用，這是數式通性的體現.

上述設計的出發點是根據要素特征歸納出同類項的概念和法則，用加數與和的關系歸納出同類項的本質特征代替模糊表述的“結構”，即“所含字母相同，相同字母的指數也相同”是兩個單項式能夠相加的基礎.通過進一步歸納獲得同類項的概念以及合并同類項的法則，在數式通性思想下使用分配律獲得概念與法則，歸納、轉化等思想方法同步得到滲透.

2.4 落實運算技能

從概念教學流程來看，獲得概念與法則之后，落實運算技能是必備環節.另外，“合并同類項”向上承接單項式（整式）概念，向下為整式加減提供運算原理，處于整式加減運算的關鍵節點，是第一次對式實施運算，因而是式的運算開端，所以本環節需要在闡明原理的基礎上規范思考，形成解決問題的基本步驟.

設計：

例1 合并多項式中的同類項4x2－2x+7+3x－8x2.

例2 （1）求多項式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x=1.

（2）求多項式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x1=－1.8，x2=53，x3=－998.

考慮到同類項的概念主要通過具體運算來落實，因而設計中沒有單獨的“概念辨析”環節，而是將其隱含在例1中，以辨析（同類項概念）—分組（加法交換律結合律的使用）—合并（合并同類項法則的使用）來實現.而例2不但承載了步驟化解題的功能，還兼顧了方法的合理選擇功能.第（1）問中，對于x=1而言，無論是先合并后代入（式的運算），還是直接代入（轉化為數的運算）均比較簡單，為后續形成認知沖突埋下伏筆.第（2）問需要合理選擇方法，幫助學生體驗多項式運算的結果具有一般性，只需對合并之后的結果取特殊值即可，如果將多項式的加減轉化成熟悉的有理數運算，不但不具有一般性，而且復雜易出錯.

從能力培養層面看，合并同類項的步驟化操作中蘊含著運算技能的培養：運算對象的認識（明確觀察式子，劃出同類項）—運算方法的認識（用運算律進行項的交換、結合等）—按步驟進行操作（得到運算結果）—形成自動化（思維和能力提升）.對思維的邏輯性的培養，使解決問題的過程更加有序，從更高層次看是培養學生良好的做事情習慣.

2.5 構建知識框架

2.5.1 課時小結

設計：①本節課主要學了什么知識？②為什么式的運算可以使用運算律？③同類項的概念和合并同類項法則是怎樣獲取的？④你有辦法解決兩個多項式加減問題嗎？

這幾個問題不但回顧了本節課的知識內容、研究思路，還結合教學內容揭示了所反映的數學思想和方法，以期達到理解本質、領悟思想、掌握方法、形成結構等目的.

2.5.2 單元小結

從單元整體視角來看，每一節課教學都是構建單元知識體系過程中的具體環節，因此單元教學完成后，仍需進一步小結并構建單元知識框架，如“整式加減”單元框架（如圖3）.

2.5.3 主題小結

從數學的整體性來看，單元與單元之間的有機銜接形成教學主題.基于這樣的觀點，同一主題之下不同單元的學習過程是更大的知識框架建構的過程，也是統一認識的過程.如整式的加、減、乘、除、乘方、開方運算全部學完后，可以構建“數與式”的運算研究結構框架圖（如圖4），將式與數的研究方式統一.從本質上看，整式的運算是數的運算的推廣，因而數的運算的全部法則和運算律在整式運算中都沒有發生改變，數式通性是研究思想，歸納是基本研究方法.點滴積累，反復實踐都是對學生素養的培育和提升.

3 教學設計思考

對于單元整體教學設計，還需要遵循以下原則.

3.1 遵循數學內部規律

任何一節課在單元整體視角之下都有其所屬的“領域→主題→單元”，不同的視角對教學有不同的要求，如“用歸納的方法研究代數、用類比的方法研究幾何”是“領域”視角下的研究要求；“數式通性”是對“主題（單元）”視角下的研究要求.這些反復強調的思想方法和教學手段是對數學內部規律和一般觀念的遵循.事實上，由于同一類數學對象的研究套路、數學思想和方法一脈相承，因此教學設計必有其可以遵循的內在規律，要從更高的視角認識教學內容，用相同的套路解決不同的問題，從知識結構、認知結構、綜合應用上進行系統整合.

3.2 尊重不同課型差異

本文中的案例是一節概念教學課，因而以概念教學基本流程為明線，融思想方法于其中展開設計，所闡述的操作路徑分析僅限于新授課.事實上，由于課型不同（概念課、規則課、習題課、復習課等）、學習階段不同，對學生能力和素養的培養各有側重，因此教學設計要關注課型差異，根據課型功能對設計做出相應調整.

3.3 明確主導突出主體

單元整體教學需要教師發揮主導作用，從師生所擁有的知識水平來看，學生顯然不具備縱觀知識整體的水平，教師要做學生思維的引領者，圍繞核心概念通過合理的問題設計，為學生搭建學習階梯，引導學生的學習活動，激發學生的主動學習意愿，讓學習真實發生.“用數學的方式育人”是數學教育的最終落腳點.