題外生枝，別有風情

范月娥

［摘? 要］ 幾何直觀是現代人認識世界所必備的素養，它能給人以強烈的直觀印象. 在數學教學中，幾何直觀的作用在于將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形中，讓抽象的數學邏輯關系變得具體生動. 幾何作為培養學生邏輯推理能力課程的踐行，最早可追溯至古希臘時期的柏拉圖學園，之后一直延續到現代數學的教學.

［關鍵詞］ 新課標；幾何直觀；核心素養

以幾何圖形為載體來發展學生的邏輯思維能力是新課標對發展學生核心素養所提出的目標之一. 從學生角度來看，學習幾何知識可以為數學知識的探究與推理提供便利，并且能為其理解與洞察更為抽象的數學內容與結構搭建橋梁. 從教師的角度來看，對學生幾何直觀素養的發展需要落實到常態課中，讓學生將圖形學習作為感知幾何圖形、理解圖形性質、探究幾何規律的認知工具，以此來發展學生的核心素養，讓幾何教學更加貼近新課標的要求. 如何在新課標旗幟的引領下更好地發展學生的幾何直觀素養是教師們熱議的話題，筆者以為，幾何直觀素養的形成關鍵是“識圖”，即認識基本圖形，知道基本圖形的變換及組合，能夠自行推導出由簡單圖形到復雜圖形的變化. 本文以“正方形經典問題的深入探究”為例，就如何在新課標的背景下發展初中生的幾何直觀素養談談自己的理解：

在初中幾何教學中，線段、多邊形、圓等基本圖形是組成所有幾何圖形的基本單位. 在錯綜變化的圖形中，幾何模型的重要性不言而喻，一切復雜圖形都是由簡單模型變化而來，因此培養學生的幾何直觀素養可以從認識并探索經典幾何模型來切入.

我思故我在：基礎切入、課前熱身

直觀性是幾何圖形最明顯的特點，發展學生的幾何直觀素養也應從簡單的圖形入手. 在常態課教學中，以基礎問題作為幾何教學的切入點，不僅可以給學生樹立學好本節課內容的信心，而且能夠強化學生對基本幾何模型重要性的認識.

引例：如圖1，△ABC是等邊三角形，點E是BC的中點，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF于點F，AE和EF有何數量關系？

問題分析? 該問題有多種解法，如方法1：如圖2，連接AF，易證△AEC≌△AFC，進而證得△AEF是等邊三角形使問題得到解決. 方法2：如圖3，等邊三角形是圖中的基本圖形，由等邊三角形的外角平分線易得60°的角，結合等邊三角形的內角及已知的∠AEF=60°，可以通過截取CG=CF來實現在直線BC上再作一個60°的角，構造“一線三等角”模型來解決問題. 方法3：如圖4，通過等角可知AB∥CF，延長AB與FE，交于點G，構造“8字型”全等來證得EG=EF，再通過“等角對等邊”得到EG=AE，從而使問題得到解決.

設計意圖? 上述圖形中的模型較為明顯，圖2中的“手拉手”模型，圖3中的“一線三等角”模型及圖4中的“8字型”均為常見的幾何模型，因此以該問題作為正方形經典問題的鋪墊，一方面給學生指引思考問題的方向，另一方面讓學生體會多邊形之間的相互聯系及區別.

我在故我想：呈現經典、積極思考

由簡單問題過渡至對經典問題的探究，符合學生的認知梯度，也能遵循學生的素養形成規律. 同時，以“經典”來定義探究對象，可以引起學生對該問題的重視，加深其印象，并有效調動其自主參與、主動思考的積極性.

經典問題：如圖5，已知四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F，AE和EF有何數量關系？

問題分析? 以上述等邊三角形問題的解答作為鋪墊，該問題也有多種解法. 方法1：如圖6，取AB的中點G，連接GE，利用“ASA”證明△EAG與△FEC全等. 方法2：如圖7，連接AC，過點E作BC的垂線，交AC于點G，可證△AEG≌△FEC. 方法3：如圖8，首先過點E作BC的垂線，交FC的延長線于點H，接著過點F作BC延長線的垂線，垂足為G，證明時，可先由△CEH與△CGF的“8字型”全等得出EC=GC，接著可利用“一線三等角”證明△ABE≌△EGF，也可在這兩個直角三角形中借助∠BAE=∠GEF，用銳角三角函數去證明邊邊之比相等.

設計意圖? 此題是人教版八年級下冊“第十八章 平行四邊形”的章節復習題，圖為正方形經典模型“K字型”，將此問題作為引例后的例題讓學生展開探究，能夠體現出三角形與正方形之間的關聯，給學生指明解決問題的方向. 同時，該問題難度適宜，適合學生開展深入探究，也有利于培養學生對幾何問題多方位觀察與思考，以求一題多解的習慣.

我想故我變：一題多變、勇于嘗試

幾何圖形的魅力在于它的“變”，幾何直觀素養的形成不僅要求學生具備“變”的能力，還要求學生擁有“應變”的技能. 一題多變是幾何教學中常用的方法，特殊點位置的改變、條件和結論的互換等都是常見的變式，它可以打開學生的思維，讓學生體會“變”中的“不變”，從而能夠主動思考. 在此，筆者建議教師在教學中盡量讓學生自主嘗試去“變”，這樣才能有效激發學生的高階思維，讓學生形成自己的幾何直觀素養.

變1：改變特殊點的位置

我是命題人：已知四邊形ABCD是正方形，______，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F，結論還成立嗎？

生1：如圖9，如果點E是邊BC上的任意一點，結論仍成立.

生2：如圖11，如果點E是邊BC延長線上的一點，結論仍成立.

生3：如圖13，如果點E是邊BC反向延長線上的一點，結論仍成立.

問題分析? 如圖10，當點E在BC邊上時，在AB邊上截取BG=BE，用“ASA”證明△AGE≌△ECF，即可證得結論；如圖12，當點E在BC延長線上時，可延長BA至點G，使AG=CE，用“ASA”也可證明△AGE≌△ECF，結論成立；如圖14，當點E在邊BC的反向延長線上時，可延長AB至點G，使得BG=BE，同樣可用“ASA”證明△AGE≌△ECF，結論依舊成立.

變2：將條件和結論互換

生4：如圖5，已知四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，AE=EF，且EF交正方形外角平分線CF于點F，求證：∠AEF=90°.

生5：如圖5，已知四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，AE=EF，求證：CF是正方形外角平分線.

問題分析? 在上述兩個變式中，如圖15，對于問題1，可以過點F作BC延長線的垂線，垂足為G，根據條件易證AB=EG，再結合題干條件AE=EF，可用“HL”來證得Rt△BAE與Rt△GEF全等，進一步證明∠AEB+∠FEG=90°即可；問題2是典型的“一線三等角”，可以作出與問題1同樣的輔助線，用“AAS”可證△BAE≌△GEF，進而證出CG=FG即可.

變3：變“靜態”為“動態”

師：如圖16，在正方形ABCD中，點E是BC邊上的動點（不與點C、B重合），∠AEF=90°，AE=EF，連接AF，DF，已知AB=4，求△ADF周長的最小值.

問題分析? 在幾何圖形中，解決動態問題的原則是化“動”為“靜”、“動”中取“靜”，由圖17可知，△ADF的三邊中，AD為定值，當AF+DF的值最小時，△ADF的周長最小，問題即可化為“將軍飲馬”模型. 由上述變式可證CF是∠DCG的角平分線，因此過點D作CF的垂線，交BC延長線于點G，則點G為點D關于CF的對稱點，從而DF=GF，AF+DF=AF+GF，當A、F、G三點共線時周長最小，根據正方形的邊長求出最小值即可.

設計意圖? 由改變特殊點的位置到條件與結論的互換再到變“靜態”為“動態”，體現了思維的上升及發散. 在常態課的變式練習中，改變特殊點的位置較為常見，所以讓學生自主變形與探討；將條件與結論互換是思維的升華，學生在教師的引導下進行變形與解答；變“靜態”為“動態”則是思維的一次跳躍，學生可以在教師的引導下體悟其與上述問題之間的內在聯系，以此來形成對幾何圖形之“變”的直觀感受，內化“模型”與“結論”的依存關系，提升幾何直觀素養.

我變故我樂：開拓創新、挑戰自我

學生的潛力總是超乎我們的想象，學生對知識的認知程度同樣不可估量，因此初中數學教師在常態課教學中應盡量給課堂“留白”，給學有余力的學生以充足的空間，讓其不斷發展與超越.

師：請你仔細領悟梳理例題與變式的變換思路及解題過程，并嘗試以此為依據，在正五邊形中推廣一個類似的真命題.

如圖18，在正五邊形ABCDE中，G為BC邊上任意一點，______，則：AG=GF. （請補全圖形并解答）

猜想：如圖19，在正n邊形ABCDEF…中，N是BC邊上任意一點，CI是正n邊形的角平分線，當∠ANI=______度時，AN=NI成立.

問題分析? 如圖20，將前面證明AE=FE的方法遷移到該問題中來，構造全等三角形即可得證，因此在AB上取點H，使得HB=GB，在構造該三角形的過程中會發現，∠FGC=180°-∠AGF-∠AGB，∠GAH=180°-∠B-∠AGB，若∠FGC=∠GAH，則需∠AGF=∠B，由此可以猜想在正n邊形中，若結論成立，則∠ANI與多邊形的內角相等.

設計意圖? 由正三角形到正方形再到正五邊形乃至正n邊形的變式，在知識上是一個階梯上升、逐層遞進的過程，可以讓學生很直觀地體會到多邊形之間的聯系，從而領悟到幾何圖形的一致性與連續性，助推著學生幾何直觀素養的形成；而在思維上，該過程引導學生不斷深入思考、深層探究，正是由低階思維向高階思維轉化的實現過程.

人對空間與圖形的視覺是一種本能，因此幾何的教學應立足于低起點，讓學生在簡單的基本圖形中形成最初的幾何直觀素養. 同時，幾何直觀素養的形成也有賴于圖形的各種性質及內在的邏輯素養，所以幾何課程是形成素養的必要途徑，同一圖形的多角度變換及不同圖形之間的共性需要教師引導學生學會從多角度、多方位來審查問題. 幾何有著雙重性質：既可以作為探索空間關系的工具，又可以作為一套公理系統來學習演繹推理. 幾何直觀素養是高階思維的體現. 低起點、多角度、高落點是發展初中生幾何直觀素養所應遵循的基本原則和依據，以基本圖形作為“樹干”，讓其全方位伸展出多個“枝節”，長成“參天大樹”來承載孩子的不斷成長. 題外生枝，別有風情.