道中考填空題的多維解析與教學(xué)啟示

張正茂 趙立春 劉清清 衛(wèi)德彬

【摘? 要】? 從命題意圖和最優(yōu)解法為出發(fā)點(diǎn)，探析2023年安徽省中考數(shù)學(xué)第14題，緊扣反比例函數(shù)的幾何意義，多角度尋求解題思路以發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵能力，凸顯單元教學(xué)理念對(duì)解題方法的啟示與啟發(fā)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】? 數(shù)形結(jié)合；關(guān)鍵能力；解題策略；核心素養(yǎng)

筆者與學(xué)生分享2023年安徽省中考?jí)狠S題填空題第14題時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解法繁瑣且計(jì)算量大，沒有充分利用反比例函數(shù)的幾何意義.從中考命題者的意圖來(lái)看，該題的解題過(guò)程可以進(jìn)一步的優(yōu)化.通過(guò)分析已知條件，觀察求解結(jié)果的形式特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合反比例函數(shù)的幾何意義，多視角思考得到四種不同的方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和提出問(wèn)題，體會(huì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題帶來(lái)的數(shù)學(xué)成就感，同時(shí)為讀者提供更加廣闊的解題思路.

1? 試題呈現(xiàn)

題目? （2023年安徽省中考題第14題）如圖1，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，Rt△OAB的直角頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象經(jīng)過(guò)斜邊OB的中點(diǎn)C.

（1）k＝??? ；

（2）D為該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若DB∥AC，則OB2-BD2的值為??? .

圖1

2? 立意分析

從學(xué)習(xí)領(lǐng)域上看，本題是數(shù)與代數(shù)和圖形與幾何的綜合；從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上看，考查了幾何直觀、推理能力、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)等；從學(xué)業(yè)要求上看，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、勾股定理.由此可看，該題知識(shí)跨度大，綜合性強(qiáng)，屬中考數(shù)學(xué)填空題型中的壓軸題，具有一定的區(qū)分度.3? 多維解析

對(duì)于第（1）小題，如圖2，根據(jù)含30°直角三角形的三邊的比1∶3∶2，AB=2，OA=23，求出A（23，0）、B（23，2）兩點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)C點(diǎn)作x軸的垂線段CE，垂足為E，C是中點(diǎn)，CE∥AB，則CE=1，OE=3，從而求出C（3，1），利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式或利用反比例函數(shù)的幾何意義，容易得到k=3.圖2

第（1）小題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，而第（2）小題綜合性強(qiáng)，有一定的難度，這也體現(xiàn)了安徽中考?jí)狠S題低起點(diǎn)、入口寬、層次分明的特點(diǎn).筆者就第（2）小題的解法從以下四個(gè)維度尋找切入點(diǎn)或突破口.3.1? 基于函數(shù)圖象交點(diǎn)意義

由題目已知條件易得OB=4，所以O(shè)B2-BD2=42-BD2，因?yàn)樵诘冢?）問(wèn)中B（23，2）已求出，只需要求出D點(diǎn)坐標(biāo)即可.如何求出D點(diǎn)坐標(biāo)呢？觀察圖2不難發(fā)現(xiàn)D是線段BD與雙曲線的交點(diǎn).根據(jù)圖象交點(diǎn)意義，由已知BD∥AC，則直線BD與AC的斜率相同且經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，求出BD所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式，然后與反比例函數(shù)解析式組成方程組，求解方程組，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間距離公式即可求出BD2=12，于是OB2-BD2＝16-12＝4.

3.2? 基于反比例函數(shù)意義

基于問(wèn)題OB2-BD2是平方差的形式，可以考慮分解因式為（OB+BD）·（OB-BD），接著通過(guò)常見的線段截長(zhǎng)補(bǔ)短，轉(zhuǎn)化成為兩條線段的乘積，最后設(shè)元、列式、找等量關(guān)系求解.即如圖3，延長(zhǎng)BD交x軸于點(diǎn)G，過(guò)D點(diǎn)作x軸垂線交OB的延長(zhǎng)線于J點(diǎn)，垂足為H，過(guò)D點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為I，交AB于F點(diǎn).易證OB=BG，△BDJ為正三角形，得到BD=BJ，OB2-BD2=（OB+BD）·（OB-BD）=OJ·DG，設(shè)DG=x，BD=BJ=4-x，OJ=8-x，則（OB+BD）·（OB-BD）=（8-x）x，在Rt△BDF和Rt△DGH中，∠BDF=∠DGH=30°，所以DH=12x，HG=32x，所以O(shè)H=43-32x.值得注意的是：這里不需要求解x，而是通過(guò)反比例函數(shù)的幾何意義，用x表示S矩形IOHD=DH·OH=12x·43-32x=k=3，將等式化簡(jiǎn)得到（8-x）x=4，即OB2-BD2=4.圖3當(dāng)然，也可以采用下面更為簡(jiǎn)潔的思路.

求OB2-BD2=42-BD2，只需要求BD2，則以BD為邊構(gòu)造含有30°的直角三角形，利用反比例函數(shù)的幾何意義找等量關(guān)系求解.即如圖4，過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為I，交AB于點(diǎn)F.設(shè)FB=a，Rt△BDF中，∠BDF=30°，則BD=2a，DF=3a，OB2-BD2=42-BD2=16-（2a）2=16-4a2.而AF=DH=2-a，OH=OA+DF=23+3a，類似地，用a表示S矩形IOHD=DH·OH=（2-a）·（23+3a）=k=3，將等式化簡(jiǎn)得到：a2=3，即OB2-BD2=16-4a2=4.圖43.3? 基于相似三角形的性質(zhì)

求OB2-BD2，構(gòu)造以O(shè)C，OB，BD為邊三個(gè)都含30°的相似直角三角形，通過(guò)反比例函數(shù)的幾何意義，證明三個(gè)直角三角形之間關(guān)系，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求出OB2-BD2的值.即如圖5，過(guò)D點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為I，分別交OB，AB于M，F(xiàn)點(diǎn).易證Rt△IOM≌Rt△HDG，S矩形IOHD=DH·OH=k=S梯形MOGD，而AB⊥OG，OA=AG，所以S梯形AFDG=12S梯形MOGD=12k=SRt△OCE，SRt△OAB=SRt△GAB，則SRt△OAB-SRt△OCE=SRt△GAB-S梯形AFDG，即S四邊形ABCE=SRt△BDF，則SRt△OCE+SRt△BDF=SRt△OAB，且易證Rt△OCE∽R(shí)t△DBF∽R(shí)t△OAB，所以S△OCE∶S△AOB=OC2∶OB2，S△BDF∶S△AOB=BD2∶OB2，所以（S△OCE+S△BDF）∶S△AOB=（OC2+BD2）∶OB2，可以得到OC2+BD2=OB2，即OB2-BD2=OC2=4.圖53.4? 基于一般到特殊的辯證思維

如圖6，這道題的命題背景就是延長(zhǎng)OC，當(dāng)點(diǎn)B在OC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)到任何位置，作DB∥AC，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)D，則OB2-BD2的值為定值.那就取特殊位置，將點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，OB=OC，此時(shí)點(diǎn)D也與點(diǎn)B重合，則BD=0，則OB2-BD2=OC2=4，即可得到結(jié)果.由于篇幅原因，在此不作具體證明，證明略.圖64? 教學(xué)啟示

4.1? 追本溯源，挖掘圖形本質(zhì)，發(fā)展關(guān)鍵能力

在“反比例函數(shù)”一課中，將引導(dǎo)、幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解并掌握反比例函數(shù)基本內(nèi)涵與幾何意義作為教學(xué)目標(biāo).使得學(xué)生在準(zhǔn)確繪制反比例函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，可以通過(guò)分析圖象，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)和幾何意義，并嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方式解決反比例函數(shù)問(wèn)題［1］.函數(shù)與幾何相結(jié)合的題目比較靈活，學(xué)生解題時(shí)常常因?yàn)檎也坏胶线m的切入點(diǎn)而望而卻步，這是因?yàn)槿狈@方面的關(guān)鍵能力.數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思想方法，其在解決函數(shù)與幾何圖形綜合問(wèn)題中有著重要的應(yīng)用［2］.挖掘圖形的本質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)幾何圖形的性質(zhì)與代數(shù)數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，設(shè)定合適的未知數(shù)，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.在教學(xué)中不僅要關(guān)注提高解題效率和對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，也要重視發(fā)展學(xué)生處理函數(shù)與幾何相結(jié)合問(wèn)題的關(guān)鍵能力.

4.2? 單元教學(xué)，凸顯整體思想，學(xué)法解法一致性

單元教學(xué)的理念是教學(xué)要關(guān)注不同知識(shí)之間的橫縱向聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的整體性、數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)在一致性，這種教學(xué)理念慣性于分析問(wèn)題，也即是在解決問(wèn)題中應(yīng)該體現(xiàn)學(xué)法與解法的統(tǒng)一，學(xué)生在分析問(wèn)題時(shí)也是整體的、俯視般審題.就本題而言，問(wèn)題設(shè)置的知識(shí)背景是反比例函數(shù)，因此學(xué)生第一時(shí)間會(huì)回憶反比例函數(shù)的知識(shí)構(gòu)架，從定義、圖象、性質(zhì)等逐一展現(xiàn)，結(jié)合已知信息自然會(huì)嘗試?yán)梅幢壤瘮?shù)的幾何意義解決問(wèn)題，從而發(fā)現(xiàn)突破口，這體現(xiàn)了教學(xué)理念與解決問(wèn)題方法的內(nèi)在一致性.

4.3? 探尋多解，培養(yǎng)學(xué)生思維，提升核心素養(yǎng)

羅增儒老師提倡基礎(chǔ)知識(shí)要通過(guò)解題實(shí)踐來(lái)消化、解題方法要通過(guò)解題實(shí)踐來(lái)強(qiáng)化、思維素質(zhì)要通過(guò)解題實(shí)踐來(lái)優(yōu)化.多角度思考和解決問(wèn)題，有助于發(fā)展學(xué)生的思維，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)和解題能力.當(dāng)一個(gè)題目可能存在多種解法時(shí)，學(xué)生不僅要思考如何利用已知條件、相關(guān)知識(shí)和已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還要尋找不同的解題思路，拓展自己的思維空間.一題多解不僅有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與應(yīng)用，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的深入理解，還可以更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì).對(duì)于本題，學(xué)生在充分挖掘題目條件和圖形特征后，將求OB2-BD2的值化歸為反比例函數(shù)的幾何意義.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，既可強(qiáng)化對(duì)基本圖形的運(yùn)用，又可加強(qiáng)不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.因此在日常教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生掌握常見的基本幾何圖形，還要不斷完善相關(guān)知識(shí)體系，加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)、方法間的縱向和橫向關(guān)聯(lián)，嘗試從多角度思考問(wèn)題，探尋多種解法，思維有高低，境界有不同，以選擇最優(yōu)解法，從而培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、幾何直觀、空間觀念及創(chuàng)新意識(shí)等數(shù)學(xué)素養(yǎng)［3］.參考文獻(xiàn)

［1］張瑛，胡懿，邢焰，等．課堂教學(xué)“四點(diǎn)突破”教學(xué)理念的提出［J］．黔南民族師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016（01）：74-77．

［2］程春鳳.做好數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.科技資訊，2018（01）：196，198．

［3］陳美浩.一道幾何最值題的多解探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（初中），2023中旬（12）：48-49.

作者簡(jiǎn)介

張正茂（1977—），男，安徽合肥人，中學(xué)一級(jí)教師，合肥市教育名師工作室領(lǐng)銜名師，安徽省模范教師;主要研究數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)課堂教學(xué).

趙立春（1973—），男，安徽肥西人，中學(xué)正高級(jí)教師，安徽省特級(jí)教師;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué).

劉清清（1988—），女，安徽阜陽(yáng)人，碩士;主要研究數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)課堂教學(xué).

衛(wèi)德彬（1963—），男，安徽肥西人，中學(xué)正高級(jí)教師（二級(jí)），國(guó)家“萬(wàn)人計(jì)劃”教學(xué)名師，第十二屆蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)獲得者，享受國(guó)務(wù)院特殊津貼，安徽省特級(jí)教師，江淮好學(xué)科名師，合肥師范學(xué)院碩士生導(dǎo)師，合肥市名師工作室首批掛牌名師;主要研究課標(biāo)、教材以及課堂教學(xué)改革探索.