道中考填空題的多維解析與教學啟示

張正茂 趙立春 劉清清 衛德彬

【摘? 要】? 從命題意圖和最優解法為出發點，探析2023年安徽省中考數學第14題，緊扣反比例函數的幾何意義，多角度尋求解題思路以發展學生的關鍵能力，凸顯單元教學理念對解題方法的啟示與啟發，從而提升學生的數學核心素養.

【關鍵詞】? 數形結合；關鍵能力；解題策略；核心素養

筆者與學生分享2023年安徽省中考壓軸題填空題第14題時發現，學生解法繁瑣且計算量大，沒有充分利用反比例函數的幾何意義.從中考命題者的意圖來看，該題的解題過程可以進一步的優化.通過分析已知條件，觀察求解結果的形式特點，利用數形結合，結合反比例函數的幾何意義，多視角思考得到四種不同的方法，讓學生學會分析問題和提出問題，體會分析問題、解決問題帶來的數學成就感，同時為讀者提供更加廣闊的解題思路.

1? 試題呈現

題目? （2023年安徽省中考題第14題）如圖1，O是坐標原點，Rt△OAB的直角頂點A在x軸的正半軸上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函數y=kx（k＞0）的圖象經過斜邊OB的中點C.

（1）k＝??? ；

（2）D為該反比例函數圖象上的一點，若DB∥AC，則OB2-BD2的值為??? .

圖1

2? 立意分析

從學習領域上看，本題是數與代數和圖形與幾何的綜合；從數學核心素養上看，考查了幾何直觀、推理能力、運算能力、應用意識等；從學業要求上看，涉及到反比例函數圖象上點的坐標特征、全等三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、勾股定理.由此可看，該題知識跨度大，綜合性強，屬中考數學填空題型中的壓軸題，具有一定的區分度.3? 多維解析

對于第（1）小題，如圖2，根據含30°直角三角形的三邊的比1∶3∶2，AB=2，OA=23，求出A（23，0）、B（23，2）兩點坐標，過C點作x軸的垂線段CE，垂足為E，C是中點，CE∥AB，則CE=1，OE=3，從而求出C（3，1），利用待定系數法求函數解析式或利用反比例函數的幾何意義，容易得到k=3.圖2

第（1）小題相對比較簡單，而第（2）小題綜合性強，有一定的難度，這也體現了安徽中考壓軸題低起點、入口寬、層次分明的特點.筆者就第（2）小題的解法從以下四個維度尋找切入點或突破口.3.1? 基于函數圖象交點意義

由題目已知條件易得OB=4，所以OB2-BD2=42-BD2，因為在第（1）問中B（23，2）已求出，只需要求出D點坐標即可.如何求出D點坐標呢？觀察圖2不難發現D是線段BD與雙曲線的交點.根據圖象交點意義，由已知BD∥AC，則直線BD與AC的斜率相同且經過B點，求出BD所對應的一次函數解析式，然后與反比例函數解析式組成方程組，求解方程組，進而得出D點坐標，最后利用平面直角坐標系中兩點之間距離公式即可求出BD2=12，于是OB2-BD2＝16-12＝4.

3.2? 基于反比例函數意義

基于問題OB2-BD2是平方差的形式，可以考慮分解因式為（OB+BD）·（OB-BD），接著通過常見的線段截長補短，轉化成為兩條線段的乘積，最后設元、列式、找等量關系求解.即如圖3，延長BD交x軸于點G，過D點作x軸垂線交OB的延長線于J點，垂足為H，過D點作y軸的垂線，垂足為I，交AB于F點.易證OB=BG，△BDJ為正三角形，得到BD=BJ，OB2-BD2=（OB+BD）·（OB-BD）=OJ·DG，設DG=x，BD=BJ=4-x，OJ=8-x，則（OB+BD）·（OB-BD）=（8-x）x，在Rt△BDF和Rt△DGH中，∠BDF=∠DGH=30°，所以DH=12x，HG=32x，所以OH=43-32x.值得注意的是：這里不需要求解x，而是通過反比例函數的幾何意義，用x表示S矩形IOHD=DH·OH=12x·43-32x=k=3，將等式化簡得到（8-x）x=4，即OB2-BD2=4.圖3當然，也可以采用下面更為簡潔的思路.

求OB2-BD2=42-BD2，只需要求BD2，則以BD為邊構造含有30°的直角三角形，利用反比例函數的幾何意義找等量關系求解.即如圖4，過點D作y軸的垂線，垂足為I，交AB于點F.設FB=a，Rt△BDF中，∠BDF=30°，則BD=2a，DF=3a，OB2-BD2=42-BD2=16-（2a）2=16-4a2.而AF=DH=2-a，OH=OA+DF=23+3a，類似地，用a表示S矩形IOHD=DH·OH=（2-a）·（23+3a）=k=3，將等式化簡得到：a2=3，即OB2-BD2=16-4a2=4.圖43.3? 基于相似三角形的性質

求OB2-BD2，構造以OC，OB，BD為邊三個都含30°的相似直角三角形，通過反比例函數的幾何意義，證明三個直角三角形之間關系，再根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求出OB2-BD2的值.即如圖5，過D點作y軸的垂線，垂足為I，分別交OB，AB于M，F點.易證Rt△IOM≌Rt△HDG，S矩形IOHD=DH·OH=k=S梯形MOGD，而AB⊥OG，OA=AG，所以S梯形AFDG=12S梯形MOGD=12k=SRt△OCE，SRt△OAB=SRt△GAB，則SRt△OAB-SRt△OCE=SRt△GAB-S梯形AFDG，即S四邊形ABCE=SRt△BDF，則SRt△OCE+SRt△BDF=SRt△OAB，且易證Rt△OCE∽Rt△DBF∽Rt△OAB，所以S△OCE∶S△AOB=OC2∶OB2，S△BDF∶S△AOB=BD2∶OB2，所以（S△OCE+S△BDF）∶S△AOB=（OC2+BD2）∶OB2，可以得到OC2+BD2=OB2，即OB2-BD2=OC2=4.圖53.4? 基于一般到特殊的辯證思維

如圖6，這道題的命題背景就是延長OC，當點B在OC的延長線上運動到任何位置，作DB∥AC，與反比例函數圖象交于點D，則OB2-BD2的值為定值.那就取特殊位置，將點B運動到與點C重合時，OB=OC，此時點D也與點B重合，則BD=0，則OB2-BD2=OC2=4，即可得到結果.由于篇幅原因，在此不作具體證明，證明略.圖64? 教學啟示

4.1? 追本溯源，挖掘圖形本質，發展關鍵能力

在“反比例函數”一課中，將引導、幫助學生準確理解并掌握反比例函數基本內涵與幾何意義作為教學目標.使得學生在準確繪制反比例函數圖象的基礎上，可以通過分析圖象，掌握反比例函數的性質和幾何意義，并嘗試運用數學建模的方式解決反比例函數問題［1］.函數與幾何相結合的題目比較靈活，學生解題時常常因為找不到合適的切入點而望而卻步，這是因為缺乏這方面的關鍵能力.數形結合作為一種重要的思想方法，其在解決函數與幾何圖形綜合問題中有著重要的應用［2］.挖掘圖形的本質，運用數形結合的思想，通過幾何圖形的性質與代數數量關系之間的轉化，設定合適的未知數，構建相應的數量關系.在教學中不僅要關注提高解題效率和對知識點的理解，也要重視發展學生處理函數與幾何相結合問題的關鍵能力.

4.2? 單元教學，凸顯整體思想，學法解法一致性

單元教學的理念是教學要關注不同知識之間的橫縱向聯系，強調數學的整體性、數學思想方法的內在一致性，這種教學理念慣性于分析問題，也即是在解決問題中應該體現學法與解法的統一，學生在分析問題時也是整體的、俯視般審題.就本題而言，問題設置的知識背景是反比例函數，因此學生第一時間會回憶反比例函數的知識構架，從定義、圖象、性質等逐一展現，結合已知信息自然會嘗試利用反比例函數的幾何意義解決問題，從而發現突破口，這體現了教學理念與解決問題方法的內在一致性.

4.3? 探尋多解，培養學生思維，提升核心素養

羅增儒老師提倡基礎知識要通過解題實踐來消化、解題方法要通過解題實踐來強化、思維素質要通過解題實踐來優化.多角度思考和解決問題，有助于發展學生的思維，培養他們的創新意識和解題能力.當一個題目可能存在多種解法時，學生不僅要思考如何利用已知條件、相關知識和已有的數學活動經驗，還要尋找不同的解題思路，拓展自己的思維空間.一題多解不僅有助于學生發現數學知識的內在聯系與應用，加強對知識的深入理解，還可以更好地理解數學知識的本質.對于本題，學生在充分挖掘題目條件和圖形特征后，將求OB2-BD2的值化歸為反比例函數的幾何意義.在解決問題的過程中，既可強化對基本圖形的運用，又可加強不同知識點之間的聯系.因此在日常教學中，教師不僅要讓學生掌握常見的基本幾何圖形，還要不斷完善相關知識體系，加強知識點、方法間的縱向和橫向關聯，嘗試從多角度思考問題，探尋多種解法，思維有高低，境界有不同，以選擇最優解法，從而培養學生的推理能力、幾何直觀、空間觀念及創新意識等數學素養［3］.參考文獻

［1］張瑛，胡懿，邢焰，等．課堂教學“四點突破”教學理念的提出［J］．黔南民族師范學院學報，2016（01）：74-77．

［2］程春鳳.做好數形結合在初中數學教學中的應用［J］.科技資訊，2018（01）：196，198．

［3］陳美浩.一道幾何最值題的多解探究［J］.中學數學教學參考（初中），2023中旬（12）：48-49.

作者簡介

張正茂（1977—），男，安徽合肥人，中學一級教師，合肥市教育名師工作室領銜名師，安徽省模范教師;主要研究數學教育、數學課堂教學.

趙立春（1973—），男，安徽肥西人，中學正高級教師，安徽省特級教師;主要研究中學數學習題教學.

劉清清（1988—），女，安徽阜陽人，碩士;主要研究數學教育、數學課堂教學.

衛德彬（1963—），男，安徽肥西人，中學正高級教師（二級），國家“萬人計劃”教學名師，第十二屆蘇步青數學教育獎獲得者，享受國務院特殊津貼，安徽省特級教師，江淮好學科名師，合肥師范學院碩士生導師，合肥市名師工作室首批掛牌名師;主要研究課標、教材以及課堂教學改革探索.