指向模型觀念的初中“解二元一次方程組”教學設計研究

摘 要：模型觀念的培養是初中數學教學的一大目標.方程是初中數學學習的重要模型和研究對象，特別是二元一次方程組，其在生活中應用廣泛，是培養學生模型觀念的重要途徑.當前“解二元一次方程組”教學存在對部分內容重復講解的情況.通過問題鏈串聯知識，可以幫助學生構建模型鏈，有效提高學生的學習效率，進一步發展學生的模型觀念等核心素養.因此，本文基于問題鏈的教學模式，對指向模型觀念的“解二元一次方程組”教學進行再設計.

關鍵詞：模型觀念；問題鏈；解二元一次方程組；教學設計

“模型”的概念正式提出前，數學家們就已經在教學中關注形成解決問題的模式.我國古代數學著作《九章算術》中提出的各類“術”就是解決問題的通用方法.［1］法國數學家笛卡爾（R.Descartes）也表示會通過將解決問題變成范例，用以解決其他問題，形成了“模型”的雛形.［2］美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（G.Polya）在《數學的發現：對解題的理解、研究和講授》中也明確提出要根據問題的本質總結對應的數學模型.［3］對于目前的數學教育，曹一鳴教授指出：“模型是一種結構，是一種過程或行為的定性或定量的表示，通過模型，可以知道原型的本質屬性.”［4］對于數學學習來說，構建模型具有對問題本質分析的輔助作用，以及問題解決的遷移效果.“解二元一次方程組”作為方程模型的重要內容，是發展學生模型觀念的重要素材.通過對“解二元一次方程組”教學的分析與重構，可以實現學生模型觀念的發展.

1 模型觀念的概念與生成條件

在模型的構建過程中，學生能夠經歷知識的形成過程以及模型建立的過程，從而發展模型觀念等核心素養.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）指出：“模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認知.知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑.”［5］模型觀念關注對數學模型的建構與分析.對于學生來說要實現以下目標：①提升其對數學問題解決范式、模型的構建；②運用數學模型解決實際問題；③感受模型甚至是數學與現實的聯系以及意義.

數學的學習離不開問題，模型觀念的培養也離不開問題，充分利用問題促進學生的學習變得尤為重要.在模型形成過程中，往往不是由一個問題達成的，而是多個問題串聯，形成問題鏈，使得學生模型觀念逐步生長的.基于問題鏈的教學具有以下特征：①問題鏈具有主干問題，能反映數學知識發生、發展過程的關鍵問題；②問題之間是有順序的，知識間能反映一定的發展過程；③問題是預設的，但教學中需要隨課堂改變.［6］問題鏈的教學模式，充分利用了主干問題及其關系驅動學生進行思考，體現了知識間的思維脈絡，是模型構建的必經途徑.［7］

2 指向模型觀念的初中“解二元一次方程組”教學設計的具體流程

2.1 指向模型觀念的教學流程

基于模型的教學，首先需要構建模型.數學模型是結合現實情境，利用數學系統進行分析、構建，并加以驗證的.李明振教授構建的數學建模一般認知過程模型被廣泛認可，其中包括現實問題情境信息，分析問題情境與條件狀態，建立假設簡化問題，建立數學模型，數學模型的數學求解，對理論結果進行解釋分析與檢驗，探索理論性結果對現實問題的適用性.［8］

基于數學建模的一般認知過程，關注指向模型觀念的數學教學.其中，模型以問題的形式由教師構建，即數學建模的一般認知過程包括模型的創設情境、設立模型等，是教師在為學生模型觀念的培養“創設條件”.數學模型的求解、分析的過程，也是學生在進行具體分析的過程中“體驗模型”.數學模型要進行現實分析與檢驗，對應數學知識的學習過程，即“應用模型”，讓學生對構建的數學模型進一步遷移應用與檢驗.

如圖1所示，基于以模型為基礎的教學流程以及問題鏈的教學模式，在開展指向模型觀念的教學時有以下流程.首先，教師應創設問題，通過分析知識點，分析得到具有整體結構、問題關聯的問題鏈，從而形成問題的模型結構.其次，教師對模型內容進行深入分析，在教學過程中通過逐步的問題引導、問題分析，幫助學生自主構建、總結形成模型.最后，形成了基礎模型后，教師還需對模型進行遷移應用，以及檢驗，必要時還可以對模型的應用范圍進行擴充，以讓學生感受到構建模型的意義與價值.

2.2 指向模型觀念的“解二元一次方程組”的知識結構分析

在課標“方程與方程組”的學習要求中，主要包括一次方程和二次方程兩類.一次方程包括了一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組（選學），二次方程主要為一元二次方程的相關知識，在此主要探討的是一次方程的鏈條.在二元一次方程組的解法學習中，離不開一元一次方程的基礎［5］，也更加需要三元（多元）一次方程組的拓展.可以將上述課標所提及的內容劃分為3個水平（見表1），水平0則是在開始學習二元一次方程組前已經具備的知識基礎.

在具體內容的教材設置上，人教版與華師大版在教材內容的設置上較為相似，都形成了“概念—解法—應用”的教學模式.北師大版在一元一次方程、二元一次方程組的應用中列舉了具體的典型題型，且在二元一次方程組的學習中，加入了二元一次方程組與一次函數的關系，建構起二元一次方程組的解的幾何意義，強化了數形結合的思想與操作.

無論是課標還是各版本教材，都關注了二元一次方程組學習的銜接性，強調問題的遞進與方程模型的應用，這也為開展“解二元一次方程組”教學提供了參考.

2.2.1 “二元一次方程組”的模型構建分析

方程是數學的重要模型和研究對象，蘊含著眾多數學思想與方法，“解方程”的學習能有效促進學生模型觀念、運算能力的進階，但目前教學中對于一次方程的解法學習設計上較為分散，知識間缺少聯系與整合.學習解二元一次方程組，不僅能有效鞏固一元一次方程的解法，還能鏈接三元（多元）一次方程.對于多元一次方程組，人教版《教師教學用書》還提供了“用行列式和矩陣解一次方程組舉例”的資料，具體分析了一次方程中的高等數學解法.究其本質，就是一元一次方程解法的模型化.因此，在教學中強化“解二元一次方程組”的模型構建尤為重要.

2.2.2 “二元一次方程組”的問題鏈分析

問題鏈通過問題引導串聯知識，能夠有效整合知識結構，使學生對于一次方程的解法問題理解更為深入，從而發展學生的模型觀念，同時進一步發展其運算能力、推理能力等核心素養.

在教學設計過程中，應關注課標、教科書等內容的整體分布.雖然課標中沒有具體說明解二元一次方程組所使用的消元法，但在教材與具體教學中，主要包括代入消元法與加減消元法，強調解二元一次方程組的本質就是消元.但在面對不同類型的題目時，如何選擇合理的消元方法進行求解，需要關注二元一次方程組中未知數系數的復雜程度以及相互關系.簡單來說就是，二元一次方程組不同難度的形成來源于其系數的復雜性，對不同情況的系數進行分析，形成問題鏈，也就是構建數學模型的過程.

2.3 指向模型觀念的“解二元一次方程組”教學再設計

基于上述分析，結合問題鏈的教學模式，對指向模型觀念進行“解二元一次方程組”教學再設計.具體設計流程如下.

2.3.1 教學目標、教學重難點

教學目標：

①掌握解二元一次方程組的方法，會根據題目類型合理選擇代入消元法與加減消元法進行求解；

②經歷二元一次方程組求解的進階過程，掌握消元、轉化的數學思想；

③經過算法模型的建立，進一步發展模型觀念、運算能力等核心素養.

教學重點：解二元一次方程組的方法、消元的思想.

教學難點：解二元一次方程組的解法模型.

2.3.2 教學過程

環節一：問題提出，形成初步概念.

問題鏈的教學模式要密切關注主干問題，對于問題的引入也尤為重要.學生在系統學習了二元一次方程組的解的概念后，對求解二元一次方程組產生了強烈的興趣和求知欲.因此，如何引導學生將二元一次方程組轉化為其熟悉的一元一次方程成為教學中的一大重難點.鑒于此，本文設計了如下基于問題鏈的解二元一次方程組的相關教學內容，由簡入深，層層遞進.

針對教學的整體目標，可以確定問題鏈的主干問題，即達成最終的教學目標.將主干問題設置為二元一次方程組的解法.

師：在上節課，我們已經學習了二元一次方程組及其解的概念，但如何對二元一次方程組進行求解呢？能否將一個二元一次方程組轉化為我們熟悉的一元一次方程進行求解呢？

環節二：問題進階，知識鏈式發展.

按照學生的認知水平以及知識的發展順序，解二元一次方程組的方法是不斷進階的，并且可以由問題鏈進行串聯的，每個問題都是由前一個問題進行改變和發展而來的，由此可以促進學生對前一個問題進行深入思考，

對新知識進行深入學習，從而加深了學生的理解.

師：同學們，你能解下面這個二元一次方程組嗎？

x＋y=10，

2x＋y=16.

解法構建：當二元一次方程組中未知數系數絕對值為1時，在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當的方程，將它的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，再將此代數式代入到另一個方程，即可轉化為一元一次方程求解.

分析：本問題是人教版

《義務教育教科書數學七年級下冊》

中在“二元一次方程組的概念”數學中列出的方程，是一個典型的代入消元法求解的過程，也是引入“消元”思想的重要過程.在此直接引用此問題，也是對前一課時構建的情境進行探討，強化課時之間的銜接.

師：同學們，剛才我們很順利地用一個未知數表示出了另一個未知數，且表示的結果很簡單，那么我們來嘗試用剛才的方法計算下面的二元一次方程組.

3x＋2y=10，

5x＋2y=16.

師：當方程組中未知數系數的絕對值都不為1時，用某個未知數表示另一個未知數的代數式會出現分數，在計算時較為復雜.那么我們能否用其他方法達到消元的目的呢？請觀察這兩個二元一次方程組，它們有什么特點？可以用什么方式來消元呢？

3x＋2y=10，

5x＋2y=16和3x-2y=10，

5x＋2y=16.

解法構建：當其中兩個方程的某個未知數的系數互為相反數或相等時，可以把方程的兩邊分別相加（系數互為相反數）或相減（系數相等）來消去這個未知數，得到一個一元一次方程，進而求得二元一次方程組的解.

分析：通過讓學生鞏固上一方法，發現解法較為復雜，引出要探索新方法的學習興趣，再通過一組相似的方程組，讓學生可以進行對比觀察與學習，從而發現加減消元法的原理，幫助他們形成系數相同則相減、系數互為相反數則相加的模型觀念.

師：那么，如果沒有同一未知數的系數相同，或互為相反數呢？還能采用剛才的方法嗎？嘗試用加減消元法解下列方程組.

3x＋2y=10，

5x＋3y=16.

解法構建：進一步，當同一未知數的系數不相等，也不互為相反數時，需要利用等式的性質進行變化和構建，即將某一未知數的系數變化為兩個原系數的最小公倍數，從而將問題轉化為子問題，便可以順利解決.

分析：本問題是對加減消元法的進一步深入探索，得到一般方程組的解法，由此學生能夠發現，在復雜方程組的問題解決中大多以采用加減消元法的方式進行.

師：如果遇到如下更為復雜的問題，當未知數的系數含有分數時，該如何解決呢？

13x＋12y=10，

15x＋13y=16.

解法構建：面對含分母、括號的問題時，需要將方程組進行化簡，將未知數系數變為整數后，即可

進行求解.

分析：對于更為復雜的二元一次方程組，則需要先進行分別化簡，再進行消元.在知識結構分析中發現，按照課標要求，學生應達到本課時內容的前置水平0，即能解一元一次方程和可化為一元一次方程的分式方程.因此，學生雖已經學習過方程的化簡方法，但學生面對此內容與新知識相結合時，還未形成化簡的意識與認知.因此，教師在教學時要完善學生的知識框架.

3 總結

3.1 重整知識體系，突破課時限制

基于問題鏈的教學往往是對知識進行梳理，在課時內形成邏輯結構，但鮮有融入課外知識的整合.這樣的整合又與單元教學有所區別，單元教學只針對了單元中有知識關聯的問題.因此，可以認為問題鏈的教學，也應該突破課時限制.本節課的二元一次方程組的代入消元、加減消元法在各版本教材中都分為兩個課時進行教學.但事實上，在解二元一次方程組的過程中，代入消元法較為復雜，加減消元法使用更為普遍.教師在教學時將二者結合，可以強化學生對兩種方法的理解，也可以讓知識串聯更加緊密.

3.2 強化知識鏈條，突出問題共同點

問題鏈關注知識的串聯，在此設計過程中教師需要關注對前置問題的追問，不斷對前一問題進行變式，以問題驅動學生進行思考，在每一個子問題的設置中，只對上一問題的方程組進行了略微變形，引導學生思考上一問題的方法是否仍然適用，面對這一變形應如何處理，是否應該形成新的方法.［9］同時，對問題的新的變形，也是在將新問題轉化為前一問題的過程，學生能夠關注到問題中“變”與“不變”.“變”就是知識鏈條的發展，“不變”就是模型本質的體現.

3.3 關注總結步驟，構建數學模型

課堂最后，教師幫助學生對問題進行抽象，總結出每個類型的問題的特點，即面對二元一次方程組不同類型的字母系數，應采用何種方法去解決.學生通過構建模型，能夠進一步理解數學模型的意義，發展模型觀念，并遷移到學習其他知識的過程之中，形成總結歸納、構建模型的數學學習方法.

參考文獻

［1］ 郭書春.九章算術［M］.北京：科學出版社，2019.

［2］ 王博睿.培養初中生模型觀念的教學研究——以《實際問題與一元二次方程為例》［D］.北京：中央民族大學，2023.

［3］ 喬治·波利亞.數學的發現：對解題的理解、研究和講授［M］.北京：科學出版社，2006.

［4］曹一鳴，張生春.數學教學論［M］.北京：北京師范大學出版社，2010.

［5］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022 年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［6］ 唐恒鈞，張維忠.數學問題鏈教學的內涵與特征［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2021（1）：8-12.

［7］ 李譽.基于問題鏈的高中解三角形復習課教學研究 ［J］.數學教學通訊，2023（33）： 9-12.

［8］ 李明振，喻平，宋乃慶.數學建模的一般認知過程研究 ［J］.數學教育學報，2008（6）： 45-48.

［9］曹文棟，童莉.逆向推理思維方式在初中“相交線與平行線”教學中的應用［J］.數學教學通訊，2022（5）：3-5＋9.