留白呈現變式題組專題教學走向開放

摘" "要：在觀摩“含參不等式組整數解”微專題教學之后，針對課堂氛圍的沉悶與問題的封閉式呈現等不足，給出其教學再設計，突出了“一境多用”、變式教學、留白呈現、開放教學、讓思維可視化等教學立意。

關鍵詞：初中數學；含參不等式；微專題教學；一境多用；留白開放

中圖分類號：G633.6" " 文獻標識碼：A" " 文章編號：1009-010X（2024）26-0031-03

在一次教研活動中聽了一節七年級專題課，專題講評“含參數的不等式（組）的整數解問題”，執教教師具有一定的教學經驗。整節課體現了一定的設計感，緊扣主題，層層遞進，變式拓展，但是從課堂表現來看，氛圍比較沉悶，多數學生的學習效果不太理想。本著“同課異構”的教學研討追求，本文先呈現該課的主要教學活動及聽課隨感，再給出該課的教學再設計，供同行進一步研究。

一、“含參不等式（組）整數解”專題教學概述

（一）回顧舊知，引入新知

1.若關于x的不等式axgt;1（agt;0），則該不等式的解集是？

2.若關于x的不等式（a+1）xgt;a+1的解集為xlt;1，則a的取值范圍是？

3.求不等式ax+bgt;0 （agt;0）的解集。

教學概述：3道習題引導學生復習回顧了“含參”的不等式解法及依據，目的是引導學生初步感知“含參”不等式問題的解題方法。但這個復習舊知的內容對于后續教學的鋪墊作用不是很明顯，可以刪減。

（二）合作探究，建構新知

問題1 不等式xlt;4的正整數解是？

教學概述：教師組織學生畫出數軸，并在數軸上找出符合要求的正整數解。

例1 若關于x的不等式2x-alt;1有3個正整數解，求a的取值范圍。

教學概述：教師先讓學生解出不等式的解集xlt;（a+1），然后借助數軸分析代數式（a+1）的取值范圍。觀課發現，學生明顯感覺有困難，教師講授示范，先得到3lt;（a+1）lt;4，進一步追問學生有一處邊界能否“取等號”，經過辨析師生共同得出3lt;（a+1）≤4，解得5lt;a≤7.

例2 若關于x的不等式組2x-agt;1

xlt;2有2個整數解，求a的取值范圍。

教學概述：雖然有了例1的鋪墊，但是學生面對例2，仍然表現出困難，課堂氛圍比較沉悶，教師只好繼續講授、示范，先解出不等式組的兩個不等式的解集，然后在數軸上分別表示，直至分析出-1≤（a+1）lt;0，之后再讓學生解出a的取值范圍-3≤alt;-1.本例解題過程中的難點（比如怎么分析出兩處臨界值-1和0，為什么在-1處“取等”），教師講授過程“一氣呵成”，難點在學生齊答聲中“快速滑過”。

（三）當堂反饋

教學概述：選了兩道求含參的不等式組整數解的中考題（略去）。筆者觀察到教室中后排的一些學生基本沒有動筆，“坐等”教師安排講評、記錄解答過程。

（四）課堂小結

教師組織學生談談本節課的收獲有哪些？（由于這類課堂小結過于空泛、指向不明，教師請了兩個學生交流，學生也多是泛泛而談，這里略去）。隨后布置了某教輔資料上的一頁作業。

聽課簡評：整節課的課堂氛圍較沉悶。究其原因，一方面本課研究的專題有一定的難度；另一方面，教師雖然對所選例習題根據由易到難的順序進行編排，但是對于難點的突破、關鍵步驟的鋪墊與啟發，在課前仍然沒有做出充分的預設。以下筆者給出教學再設計，希望能在本專題教學的難點辨析和關鍵步驟的揭示上有所突破。

二、“含參不等式（組）整數解”專題教學再設計

（一）復習回顧，鋪墊問題

問題1 解不等式x-3lt;1，并在數軸上表示解集，再標注該不等式的正整數解。

問題2 解不等式組x-3lt;1

xgt;0，并在數軸上表示解集，再標注該不等式組的整數解。

設計意圖：從兩個基礎問題出發，讓學生練習之后并對比，這兩個問題有什么聯系？看出兩個問題都需要在數軸上標注出正整數1，2，3，它們之間具有一致性，只是設問方式的不同而已。

（二）自主提問，變式思考

問題1變式：當xlt;" " " 時，滿足的正整數解有且只有1，2，3？（填一個符合要求的實數）

設計意圖：把上面的“問題1”逆向設問，讓學生補出一個符合要求的實數a，這是一道開放式問題，學生可以填補的實數a有無數個，但它們都在一個范圍內，引導學生分析出a的取值范圍3lt;a≤4.接著給出一組改編后的“含參”不等式整數解問題。

改編題1：當不等式xlt;a，滿足的正整數解有且只有1，2，3時，則a的取值范圍是" " " " " .

改編題2：若不等式x-alt;1，有且只有

個正整數解，則a的取值范圍是" " " " " .

設計意圖：“改編題1”與“問題1變式”本質上一致，學生可直接看出答案。“改編題2”以開放題的形式呈現，讓學生參與設計問題，鞏固同類問題的解題方法。教學時要讓學生上臺講解，引導學生結合數軸、數形結合分析，充分展開解題過程，在“拉長過程”中讓更多的學生掌握解題方法。隨后，繼續安排一道“變式再練”題，鞏固學習效果。

變式再練：若不等式2x-agt;1，有且只有

個負整數解，則a的取值范圍是" " " " " .

問題2變式：若不等式組x-alt;1

xgt;0，有且只有" " " "個整數解，則a的取值范圍是" " " " " .

設計意圖：對開課階段的“問題2”進行變式，增加“含參”元素，并且繼續以“結構不良”的設問方式呈現給學生。讓學生參與補全條件，并借助數軸、數形結合分析求解。對于班級優秀學生來說，已可自主模仿之前的解題方法，這時教師不必直接講授或過多干預，而應該讓優秀學生上臺講解這道題如何解決，教師可以通過必要的追問、暴露他們的思維過程，讓基礎一般的學生學習體會并模仿解法。在多數學生都學會解法之后，繼續安排以下兩道改編題，鞏固學習效果。

改編題1：若不等式組2x-agt;1

xlt;0，有且只有

個整數解，則a的取值范圍是" " " " " .

改編題2：若不等式組2x-agt;1

x≤1，有且只有

個整數解，則a的取值范圍是" " " " " .

設計意圖：由于這兩道題的條件開放，教學講評時可以分組研究，選兩個小組分別匯報展示即可。另外，這兩道“改編題”的關鍵在于組織學生辨析參數a的取值范圍中兩個邊界值該如何“取等”。

（三）鞏固再練，當堂反饋

反饋題：若關于x的不等式組2x+3gt;12

x-a≤0恰有3個整數解，則實數a的取值范圍是" " " " " .

設計意圖：這是一道中考題，組織學生先獨立練習，然后集中講評時要追問學生是如何理解這道試題中的“恰有3個整數解”（讓學生想清這與本課中出現的“有且只有”是同一意思）。

（四）課堂小結

小結問題1：本課主要學習了“含參”不等式（組）的整數解問題，你覺得這類問題的解題關鍵是什么？可舉例說說。

小結問題2：本課最后練習的一道“反饋題”是一道中考較難題，很多同學都成功解決了。你今后再遇到這類中考較難題時，你積累了哪些解法經驗？

設計意圖：“小結問題1”主要是讓學生梳理解題經驗；“小結問題2”主要是讓七年級學生對中考較難題不要有畏難情緒，只要認真分析題意，將問題的包裝逐一剝離，暴露出問題的關鍵，然后調用已學的數學概念、性質或方法，往往就能順利解決。

三、關于微專題教學的幾點思考

（一）選編變式題組，體現“一境多用”

江蘇省中小學教研室中學數學教研員李善良教授在《高中數學課程改革：探索與實踐》一書中特別提出要“注重一境多用，讓學生形成整體的認識，防止出現一個內容一個情境、情境遍地開花的現象。”上文在專題教學的再設計中突出體現了“一境多用”，整節課的教學內容圍繞開課階段“問題1”“問題2”的改編、變式與拓展，并且以變式題組的方式呈現，讓學生感悟出同類習題之間的關聯，避免刷題式學習。

（二）預設留白問題，追求開放教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求“重視設計合理問題”，并指出“問題提出應引發學生認知沖突，激發學生學習動機，促進學生積極探究。”對比可見，上文課例中專題教學的“再設計”，主要就是將聽課中一些習題、題組進行留白呈現，引導學生參與設計、分組交流、大組展示，使得課堂教學從封閉走向開放，原先課堂上的比較沉悶的現狀有望得到改善。

（三）重視數形結合，讓思維可視化

北京市中學數學特級教師張鶴老師發文指出：“思維是可以教的”，并認為“學生思維水平的提高，就在于教師在幫助學生在知識學習的過程中掌握理解數學問題的思維特征和解決數學問題的思維規律”。在上文關注的微專題教學過程中，需要突出數形結合的分析方法，讓不同的學生上臺演示如何借助數軸分析參數的取值范圍（包括兩個邊界值的確定、“取等”的辨析）。當然，重視數形結合的分析方法，也是讓思維可視化的教學追求。