立足“結(jié)構(gòu)化”視域優(yōu)化數(shù)學(xué)“單元整體”教學(xué)

[摘要]“結(jié)構(gòu)化”視域下的數(shù)學(xué)“單元整體”教學(xué)，致力于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。“大概念”是“結(jié)構(gòu)化”視域下“單元整體”教學(xué)錨點，“大課型”是“結(jié)構(gòu)化”視域下“單元整體”教學(xué)的有效實踐，“大進階”是“結(jié)構(gòu)化”視域下“單元整體”教學(xué)意義。“單元整體”教學(xué)是一種教學(xué)思想而不是固化、僵化的教學(xué)模式。“單元整體”教學(xué)追求的是學(xué)生數(shù)學(xué)理解的層次化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。實施“單元整體”教學(xué)不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯，而且要關(guān)注學(xué)生的心理邏輯。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué)；“結(jié)構(gòu)化”視域；“單元整體”教學(xué)

“單元整體”教學(xué)是一種以單元為教學(xué)單位、組織單位而實施的教與學(xué)活動。單元是勾連課程與課時的中間橋梁，是一組有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)內(nèi)容的集結(jié)。按照課程論專家泰勒的觀點，單元可以有兩種組建邏輯：一是學(xué)科邏輯，二是心理邏輯。[1]以學(xué)科邏輯組織的學(xué)習(xí)單元是一種自然單元，如教材單元；以心理邏輯組織的學(xué)習(xí)單元是一種人為單元，如自主開發(fā)的主題單元、資源單元、項目活動單元等。但無論是教材單元還是主題單元、項目活動單元，都具有“結(jié)構(gòu)化”的特質(zhì)。因此，實施“單元整體”教學(xué)，必須立足于“結(jié)構(gòu)化”視域。

一、“大概念”：“結(jié)構(gòu)化”視域下“單元整體”教學(xué)錨點

“大概念”是著名教育心理學(xué)家奧蘇貝爾所說的“上位觀念”的一種重要形式。“大概念”之“大”，不是指“范圍之大”，而是指“內(nèi)涵之深”，是指概念的包攝度、駕馭度、關(guān)照度等。[2]“大概念”往往是核心概念、關(guān)鍵概念。數(shù)學(xué)課程中的“大概念”，包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想等。“大概念”往往能揭示、反映數(shù)學(xué)學(xué)科課程的基本結(jié)構(gòu)。

（一）提煉“大概念”

“結(jié)構(gòu)化”視域下的“單元整體”教學(xué)，首先就是要提煉“大概念”。提煉“大概念”，要求教師要聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)。提煉“大概念”的方法很多，總體來說有兩大類：一是自上而下提煉，二是自下而上提煉。自上而下提煉如從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提煉、從學(xué)科核心素養(yǎng)中提煉、從專家思維中提煉、從概念中演繹、派生等。如新課標(biāo)中“數(shù)與代數(shù)”中的“運算一致性”、“確定位置”中的“有序數(shù)對”“統(tǒng)計與概率”中的“整體水平”等。自下而上提煉、概括的“大概念”，如從學(xué)習(xí)重點中提煉、從學(xué)習(xí)難點中提煉、從學(xué)習(xí)盲點和疑點中提煉、從學(xué)生生活經(jīng)驗中提煉、從評價中提煉等。提煉出“大概念”，學(xué)生在“單元整體”學(xué)習(xí)中就能舉一反三、觸類旁通、有效遷移。

（二）應(yīng)用“大概念”

“結(jié)構(gòu)化”視域下實施“單元整體”教學(xué)，不僅要求教師要提煉“大概念”，更要應(yīng)用“大概念”，統(tǒng)整、優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容。一般來說，教材單元就是圍繞著“大概念”組織的，一個單元中必定有一些“大概念”。同時，教師還可以用“大概念”來組織學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，或者用“大概念”來跨單元甚至跨學(xué)科、跨界來組織學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容。如“圖形的認(rèn)知與測量”主題，其“大概念”就是“維度”“特征”“度量單位”等。圍繞著這些“大概念”，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生“認(rèn)識多邊形”，就可以引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)“多邊形的面積”，就可以引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)“圖形的體積”等。教師在“單元整體”教學(xué)中要充分發(fā)揮“大概念”的育人功能，彰顯“大概念”的育人價值。

（三）遷移“大概念”

“結(jié)構(gòu)化”視域中的“單元整體”教學(xué)，還要求教師在實踐中要引導(dǎo)學(xué)生積極遷移“大概念”，從而彰顯“大概念”育人的輻射效應(yīng)。遷移是學(xué)生“單元整體”教學(xué)的關(guān)鍵因素，要積極倡導(dǎo)并推進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的正向遷移，防止并遏制學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的負(fù)向遷移。“大概念”的遷移，能讓學(xué)生深刻認(rèn)識到不同屬性、不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識（如“數(shù)與代數(shù)”知識、“量與計量”知識等）具有內(nèi)在的異曲同工之美。“大概念”的遷移有助于學(xué)生建構(gòu)、提煉包攝力更大、更強的“大概念”。

“大概念”是“結(jié)構(gòu)化”視域下“單元整體”教學(xué)的錨點。借助于“大概念”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生展開自主性、自能性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。圍繞“大概念”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生組織相關(guān)的學(xué)習(xí)內(nèi)容、素材、資源等。教師要充分發(fā)揮“大概念”的資源組織功能、學(xué)習(xí)引導(dǎo)功能。立足于“大概念”，學(xué)生的“單元整體”學(xué)習(xí)就會真正發(fā)生、深度發(fā)生、持續(xù)發(fā)生。

二、“大課型”：“結(jié)構(gòu)化”視域下“單元整體”實踐

“結(jié)構(gòu)化”視域下的“單元整體”教學(xué)規(guī)劃，不僅要注重提煉、抽象、概括“大概念”，同時還要注重設(shè)計課型。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，往往就是按照“新授課”“復(fù)習(xí)課”的課型設(shè)計的，這樣的課型已經(jīng)不能適應(yīng)新時代學(xué)生的數(shù)學(xué)“單元整體”學(xué)習(xí)力。為了從宏觀上、整體上、結(jié)構(gòu)上引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科知識形成認(rèn)知，我們在“單元整體”教學(xué)實踐中，根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科知識特質(zhì)以及功能、作用、地位等，將數(shù)學(xué)課分為“種子課”“遷移課”“整理課”等。每一種課型，在整個的“單元整體”教學(xué)中都具有獨特性的意義和作用。

（一）“種子課”：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)結(jié)構(gòu)

“種子課”往往是“單元整體”教學(xué)的“起始課”，在“單元整體”教學(xué)中發(fā)揮著基礎(chǔ)性的作用。作為教師，要充分發(fā)揮“種子課”的示范、育人、輻射等效應(yīng)，讓“種子課”中的相關(guān)“大概念”“大思想”“大經(jīng)驗”等融入、滲透到教師的數(shù)學(xué)教學(xué)之中。[3]“種子課”是基礎(chǔ)課，也是奠基課，是“結(jié)構(gòu)化”視域下“單元整體”教學(xué)的“教結(jié)構(gòu)”“學(xué)結(jié)構(gòu)”的階段。對于整個的“單元整體”教學(xué)來說，“種子課”發(fā)揮著重要的功能、作用，體現(xiàn)著整體、結(jié)構(gòu)的意蘊、價值。在“種子課”教學(xué)中，教師要將“內(nèi)容關(guān)聯(lián)性”“方法、思想一致性”等作為根本教學(xué)宗旨，并將之凸顯、彰顯出來。

（二）“遷移課”：引導(dǎo)學(xué)生用結(jié)構(gòu)

“遷移課”是“單元整體”教學(xué)中的用結(jié)構(gòu)的課型。在“單元整體”教學(xué)的“系統(tǒng)思維”推動下，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用“種子課”中所形成的“大概念”知識、經(jīng)驗、思維方式等指導(dǎo)自己的思考、探究。如在“多邊形的面積”單元中的“三角形的面積”“梯形的面積”等相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，就是“遷移課”的實踐。“遷移課”的實踐不同于“種子課”，它要求教師少一些“引導(dǎo)”“封閉”，學(xué)生多一些“自主”“開放”。在遷移課中，教師可以通過設(shè)計一些任務(wù)群、問題串等，引導(dǎo)學(xué)生思考、探究。在“三角形的面積”“梯形的面積”教學(xué)中，教師就可以設(shè)計兩個通用性、普適性的“主問題”：

[問題1]將這個圖形的面積轉(zhuǎn)化成什么已經(jīng)學(xué)習(xí)過的什么圖形的面積？

[問題2]怎樣將這個未知的圖形的面積轉(zhuǎn)化成已知的、已學(xué)的圖形的面積？

如此，學(xué)生就會積極、主動地將三角形的面積應(yīng)用剪拼方法、倍拼的方法分別轉(zhuǎn)化成長方形的面積、平行四邊形的面積，會積極主動地將梯形的面積用剪拼法、倍拼法、分割法等轉(zhuǎn)化成長方形的面積、平行四邊形的面積、三角形的面積。遷移課，能有效地引導(dǎo)學(xué)生用結(jié)構(gòu)。正如著名數(shù)學(xué)教育專家章建躍所說，“好的數(shù)學(xué)教學(xué)，就是要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)一個研究、探索數(shù)學(xué)對象的基本路徑”。對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移來說，數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展不僅有一條明線，還蘊含著一條素養(yǎng)發(fā)展的暗線。這種素養(yǎng)的發(fā)展，就是學(xué)生在“單元整體”學(xué)習(xí)過程中所應(yīng)用的結(jié)構(gòu)（包括知識結(jié)構(gòu)、方法思想結(jié)構(gòu)、過程結(jié)構(gòu)、經(jīng)驗結(jié)構(gòu)等）。

（三）“整理課”：引導(dǎo)學(xué)生建結(jié)構(gòu)

“整理課”類似于傳統(tǒng)的“復(fù)習(xí)課”。如果說，“種子課”是一個“單元整體”學(xué)習(xí)的開始，那么，“遷移課”是一個單元整體學(xué)習(xí)的展開、分步、遞進，那么，“整理課”就是一個“單元整體”學(xué)習(xí)的總結(jié)、升華。這樣的一種“單元整體”學(xué)習(xí)安排、編排，符合人們認(rèn)識事物的普遍的“總—分—總”的規(guī)律。[4]在“整理課”的“單元整體”教學(xué)實踐中，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極主動地從單元中抽象、提煉出“大概念”，建構(gòu)單元知識體系、結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生“回顧”“反思”，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“再內(nèi)化”“再提升”。在“整理課”教學(xué)中，教師可以設(shè)計研發(fā)一些綜合性的問題，引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)的相關(guān)知識，積極主動解決問題。如在“多邊形的面積”整理課的教學(xué)中，一方面，要從“過程”上引導(dǎo)學(xué)生形成上位認(rèn)知，讓學(xué)生認(rèn)識到“長方形的面積公式”是整個“多邊形面積”這部分內(nèi)容的基礎(chǔ)性公式，其他圖形的面積公式都是導(dǎo)出公式，都是依靠“轉(zhuǎn)化”思想方法推導(dǎo)出來的；另一方面，要從“結(jié)果”上引導(dǎo)學(xué)生形成上位認(rèn)知，即“長方形”“正方形”“平行四邊形”的面積公式都可以看成是上下底相等的梯形的面積公式，而三角形的面積公式可以看成是上底為0的梯形的面積公式。通過整理，使學(xué)生對整個多邊形的面積公式形成一種結(jié)構(gòu)性的認(rèn)知、思維。

“單元整體”教學(xué)是一種有深度的教學(xué)，它的深度不是體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科知識的“繁難偏”上，而是體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科知識的本質(zhì)性、關(guān)聯(lián)性、高階性上。實踐證明，傳統(tǒng)的“銀行存儲式”的教學(xué)模式已經(jīng)不能適應(yīng)新時代學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)了。作為教師，要通過“單元整體”教學(xué)，改變傳統(tǒng)的以“知識點”為教學(xué)單位的教學(xué)樣態(tài)。“單元整體”教學(xué)能貫通教師的“教”與“學(xué)”，能融通學(xué)生的“學(xué)”與“用”，能鏈通學(xué)生的“識”與“智”。

三、“大進階”：“結(jié)構(gòu)化”視域下“單元整體”教學(xué)意義

實施“單元整體”教學(xué)，能夠超越傳統(tǒng)的“課時教學(xué)”，究其根本，是因為“單元整體”教學(xué)能促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大進階，包括知識進階、思想方法進階、素養(yǎng)進階等。其中，知識進階是顯性進階，而思想方法進階、素養(yǎng)進階等都是隱性進階。進階，彰顯出“結(jié)構(gòu)化”視域下“單元整體”教學(xué)的意義和價值。

（一）知識進階

知識進階不僅是指學(xué)生知識學(xué)習(xí)的廣度擴大了，而且是指學(xué)生的知識學(xué)習(xí)的深度加強了。學(xué)生對一個知識點達到了通透性、關(guān)聯(lián)性、本質(zhì)性的理解。“單元整體”教學(xué)讓學(xué)生的知識學(xué)習(xí)不再是孤立的，而是結(jié)構(gòu)的一部分。比如，“角的度量”這一單元相關(guān)知識，其本質(zhì)就是讓學(xué)生用單位小角去測量、度量角的大小，或者說就是讓學(xué)生測量一個角里面有多少個單位小角。這樣的一個知識點，與學(xué)生已有知識經(jīng)驗“認(rèn)識厘米”“千克和克”“認(rèn)識面積”“長方體和正方體的體積”等相關(guān)內(nèi)容都有著內(nèi)在的關(guān)聯(lián)。這些知識都可以看成是一個測量對象中包含多少個測量單位。將這些知識放置到“單元整體”教學(xué)視域下，學(xué)生對這些知識的理解都能走向關(guān)聯(lián)、走向通透。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生循著知識本身的發(fā)生邏輯，在“大概念”的驅(qū)動、引導(dǎo)下，進行自主知識建構(gòu)。

（二）方法進階

方法進階是指學(xué)生對某一種數(shù)學(xué)思想方法的理解更通透、應(yīng)用更自然了。遷移性學(xué)習(xí)，不僅是指學(xué)生能積極主動地應(yīng)用知識，更指學(xué)生能積極主動地遷移方法，讓方法得到有效應(yīng)用，讓方法在應(yīng)用中得到鞏固、加強。如“時、分、秒”這一看似抽象性的知識，筆者引導(dǎo)學(xué)生積極遷移“認(rèn)識厘米”這一種子課中的“工具創(chuàng)造實驗法”，引導(dǎo)學(xué)生自創(chuàng)計時器如水鐘、沙漏等。通過引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性實踐，讓學(xué)生認(rèn)識到，有規(guī)律地運動著的物體、周期性運動著的物體可以用來計時。以“秒”為基本單位，學(xué)生制作了“分”“小時”計時器，感受、體驗“時、分、秒”時長。進而遷移方法，深入研究“24時計時法”，制作“時間尺”，將抽象的時間概念直觀化、形象化、可視化。相比較于“厘米尺”創(chuàng)造，“時間尺”創(chuàng)造更為抽象。通過創(chuàng)造“時間尺”，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，時間尺是直直的，而鐘面是彎曲的；時間尺有24個刻度，而鐘面上只有12個刻度；時間尺上有0刻度，而鐘面上沒有0刻度；等等。通過比較，進一步引導(dǎo)學(xué)生思考、探究。有的學(xué)生認(rèn)為，這個時間尺就表示“24時計時法”，而鐘面上的刻度可以看成是“12時計時法”，也可以看成是“24時計時法”有學(xué)生認(rèn)為，將時間尺卷起來，24時和0時重合了，因此，24時就是0時；還有的學(xué)生說，將時間尺繞2圈，就能形成鐘面，因此，鐘面上的每一個時間點都有可能是兩個不同的時刻；還有的學(xué)生說，鐘面給人一種周而復(fù)始的感覺，鐘面讓我們感覺時間就是周而復(fù)始的循環(huán)；等等。方法遷移，彰顯著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈動與智慧。

（三）素養(yǎng)進階

所謂的素養(yǎng)，有專家認(rèn)為是學(xué)生所學(xué)內(nèi)容遺忘后的東西。在新課標(biāo)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)體現(xiàn)為數(shù)感、量感、空間觀念、推理意識、運算能力、幾何直觀、數(shù)據(jù)意識等。素養(yǎng)是學(xué)生可以帶得走的一生有用的數(shù)學(xué)。素養(yǎng)取向已經(jīng)成為新時代教學(xué)的原點、歸宿。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，素養(yǎng)就體現(xiàn)為用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的大腦考量現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。比如，教學(xué)“圓錐的體積”這一部分內(nèi)容時，筆者在引導(dǎo)學(xué)生動手實驗，讓學(xué)生親身經(jīng)歷圓錐體的體積推導(dǎo)過程。在經(jīng)歷了自主實驗之后，學(xué)生對圓錐與等底等高的圓柱、長方體等之間的關(guān)系形成了整體性認(rèn)知。有的學(xué)生說，因為等底等高的圓柱和長方體體積相等，所以如果圓錐和長方體等底等高，那么長方體的體積也是圓錐體積的3倍；有的學(xué)生說，不僅等底等高的圓錐和圓柱有3倍關(guān)系，等底等高的圓錐和直柱體之間都存在著3倍關(guān)系。還有的學(xué)生畫出棱柱、棱錐的圖，提出整體猜想：棱柱和棱錐之間是否也存在著3倍關(guān)系。可以這樣說，當(dāng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有了整體性認(rèn)知，其數(shù)學(xué)素養(yǎng)能潛移默化地獲得進階、提升，其思維觸角自然能向數(shù)學(xué)未知領(lǐng)域漫溯、延伸。

“結(jié)構(gòu)化”視域下的數(shù)學(xué)“單元整體”教學(xué)，可以抓住學(xué)生的生活線、數(shù)學(xué)線、學(xué)習(xí)線，借助任務(wù)群、問題鏈、思維圖、評價表等驅(qū)動學(xué)生“單元整體”學(xué)習(xí)。作為教師，要始終以學(xué)生的“學(xué)”為主體，從基本理念、教學(xué)設(shè)計、組織架構(gòu)等方面展開深入探索。[5]“單元整體”教學(xué)是一種教學(xué)思想而不是固化、僵化的教學(xué)模式。“單元整體”教學(xué)追求的是學(xué)生數(shù)學(xué)理解的層次化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。“單元整體”教學(xué)從數(shù)學(xué)學(xué)科知識整體以及學(xué)生具體學(xué)情出發(fā)，指向?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)力提升和核心素養(yǎng)的生成。

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（責(zé)任編輯：朱福昌）