聚焦構造思路 培養創新意識

摘要：創新意識是初中數學核心素養之一，本文中以2022年寧波鎮海區一模第16題為例，引導學生巧用構造法，從折疊前后的邊角關系展開聯想，或構造輔助圖形，或構造輔助工具——倍角三角函數模型，在探索構造的過程中培養學生的創新意識.

關鍵詞：構造法；創新思維；三角形

構造法是解決數學問題的一種常用方法.所謂構造法，即在解決某些數學問題時通過對條件和結論的充分剖析，運用已知的數學關系式和理論，構造出滿足條件或結論的數學對象，使原問題中隱含的關系和性質在新構造的數學對象中清晰地展現出來，并借助該數學對象方便快捷地解決數學問題的方法[1].可見，構造法就是以“窮則變，變則通”為指導思想，達到“它山之石，可以攻玉”的效果.

在解題活動中，引導學生發現問題中的關鍵信息，構造與之相關的數學對象，培養學生的創新意識成為重中之重.筆者以2022年寧波鎮海區一模第16題為例，簡要闡述自己的實踐與思考.

1 試題呈現

2 思維起點

此題雖然圖形結構簡潔，但條件的呈現方式多元.元素之間的條件有：D為AB的中點，點E在AC邊上；∠ACB=90°；AE=BC=2；C′E∥CD.整體視角（圖形變換）的條件有：△BCE沿BE折疊至△BC′E.這些顯性條件之間的關聯不明顯，學生很難找到解題思路的起點.因此，還需要挖掘一些隱含條件.上述條件中最可挖掘的條件是折疊，由△BCE折疊得到△BC′E，可得∠CEB=∠C′EB，結合已知條件C′E∥CD，由此可聯想“雙平等腰”基本圖形.由△BCE折疊得到△BC′E，可推出∠CBE=∠C′BE，進一步可推出∠A=2∠CBE，再從角的數量關系推導分析，可聯想到構造等腰三角形；也可延長C′E，BC構造出直角三角形，獲得三個相似的直角三角形；還可進一步從高中視角看∠A=2∠CBE，由此衍生出倍角三角函數，以算代證.

3 解題探究

點評：解法1與解法2是學生的主流解法，側重于從形的角度去聯想、構造等腰三角形.數形相依，一些學有余力的學生也會從角（數）的角度去聯想、構造等腰三角形.

點評：從數形結合的視角來看，角的大小可以用邊的比值（角的正切）表示.由角的關系構造出正切函數，再利用倍角關系建立方程，對學生來說需要敏銳的數學眼光和更多的解題智慧.

4 題后反思

4.1 觀察圖形的結構特征——構造的切入點

解答幾何題的關鍵在于具備洞察圖形結構特征的能力.圖形的結構分為圖形內部元素之間的關系、圖形與圖形之間的關系.初中生普遍因為解題經驗和思維能力不足，通常更多關注元素之間關系，習慣于套用圖形與圖形之間的關系的模型，這樣難以發揮幾何在培養學生的幾何直觀、推理能力、創新意識等數學核心素養方面的推動力.在尋找圖形的結構時，要引導學生從圖形與圖形之間的關系出發，啟發學生聯想相關的輔助圖形和輔助工具，并形成相應的思維路徑.

4.2 聚焦思路的形成過程——創新的切入點

通過觀察圖形的結構特征，不難發現問題圍繞著等腰三角形、直角三角形展開.如何從直角三角形、等腰三角形的視角去求解問題？根據以往解題經驗，學生會從形的角度去聯想、構造等腰三角形；或從角（數）的角度去聯想、構造等腰三角形；或構造相似的直角三角形；根據角的關系構造出正切函數.在思考的過程中，學生不斷形成新的思路，找到新的方法，在思維碰撞的同時，自然就具備了創造性解決問題的能力，其創新意識得到有效提升.

4.3 生成開放性的問題——創新的生長點

問題得到解決、歸納之后，教師適時追問：對于本題，你還想提出什么問題？

有學生提出：在△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點，點E在AC邊上，AE=BC，將△BCE沿BE折疊至△BC′E，若C′E∥CD，則tan∠CBE=.

有學生提出：將△BCE沿BE折疊改成將△BCE繞點B逆時針旋轉到某一位置，會產生什么有價值的問題？

去掉具體的數值，但之前相關線段的數量關系不變，用三角函數的方式提問待求結論，或提出開放性的數學問題.提出這些問題不僅需要融會數學知識，更需要全方位的審題能力和創造力.

參考文獻：

［1］何憶捷，熊斌.中學數學中構造法解題的思維模式及教育價值[J].數學教育學報，2018，27（2）：50-53.