初中數學教學中應用題解題技巧的有效運用

摘要：應用題作為初中數學解題教學中比較常見的一種題型，同小學時期的數學應用題相比顯得更為復雜一些，還體現出數學知識的綜合性，在考試中占據的分值比例較大，一直都是數學學習中的重點內容與難點部分，對學生的閱讀理解能力、邏輯思維與推理能力有著較高的要求.教學中應專門開設應用題解題訓練，幫助學生學會有效運用解題技巧，突破應用題的疑難障礙.本文中據此展開深入分析和探討，同時分享部分實際解題例子.

關鍵詞：初中數學教學；應用題；解題技巧

應用題是通過語言或者文字描述，呈現某種數學關系，如位置關系、數量關系等，求解未知量的一種題目.在每道應用題中，都有已知條件和問題.在初中數學解題教學中，教師需適當加大應用題解題訓練的強度，這樣不僅能夠增進學生對相關數學知識要點的理解與掌握，還可以讓他們體會到應用題中蘊涵的定理能夠用來解決實際生活問題，拉近數學與生活的關系，使其體會到數學知識的實用性，促進學以致用目的的達成[1].

1 有效運用二元一次方程，解答初中數學應用題

二元一次方程屬于初中數學教學中的一部分重要內容，很多應用題都可以采用二元一次方程來解答.在解題時，需要仔細閱讀題目，理解題目的意思，尋找條件之間的關系，分析其數量關系，根據解題所需設未知數，建立恰當的二元一次方程組，然后將未知數求出來.不過在運用二元一次方程解答數學應用題時，學生還要意識到所求得的結果需與實際生活契合，應學會全方位考慮問題，掌握解答數學應用題的細節之處，以免出錯[2].

例1張華為本班同學購買課外書后，向班主任匯報“購買的課外書有兩種，單價分別是20元和24元，總數為30本，準備的700元剩余38元”.班主任認為他計算錯誤.

（1）班主任認為張華計算錯誤的原因是什么？

（2）張華后來發現自己的確計算錯了，原因是還購買了另外一本課外書，但是因收據遭到損壞不清楚單價，只能看出其單價是整數且低于10元，如果單價24元的課外書少于單價20元的課外書，那么另外一本課外書的價格是多少？

分析：學生通過審題容易理解題意.其中，第（1）問難度不大，可直接用二元一次方程組求解；第（2）問有一定的難度，需先設出所需參數，根據題意找準參數之間的關系，再列式求出正確結果.

2 有效運用分式方程，解答初中數學應用題

分式方程作為一種特殊化的方程，當處理某些應用題要用到分式方程方面的知識時，教師需指導學生認真閱讀題目，了解題中敘述的場景，根據題意和生活常識確定這些參數之間的內在關系，通過設出恰當的參數列出分式方程，并對結果正確與否進行檢驗.不少初中數學應用題都可以使用分式方程來處理，如路程、追擊與工程問題等，關鍵之處在于教師應該指導學生掌握生活中一些常見場景與公式，促使他們迅速確定解題的突破口[3].

例2李軍家與動物園之間的路程是1 900 m，星期天他以步行的方式去觀看動物展覽，當行走至路程的12時發現門票忘記在家，這時還有23 min動物展覽開始，他立馬又以步行的方式回到家中拿門票，隨后騎自行車重新出發，如果李軍騎自行車到動物園比步行到動物園快20 min，且速度為步行的5倍，在家中拿票還耗時4 min，他能趕上看動物展覽嗎？請闡述理由.

3 有效運用不等式，解答初中數學應用題

在初中數學中，主要學習的不等式為一元一次不等式，教師可以此作為基礎，設計相應的應用題.此類題目內容通常比較有個性，通常有最多、最少、不大于、不小于、不超過等關鍵性詞語，真正理解這些詞語的含義，才是找到處理這類應用題的切入點.另外，當應用題中有兩個參數時，教師需要引導學生先確定主元和次元參數，再結合所學知識進行分析，假如無法確定參數的范圍，還要提醒他們進行分類討論[4].

例3一家商店計劃購進甲、乙兩種商品，乙的進貨單價比甲低5元，花費800元購買甲商品的數量與花費400元購買乙商品的數量相同，現在準備購進兩種商品共100件，當進貨資金多于800元、少于850元時，有多少種進貨方案？如果甲商品每件的利潤額是m元，乙商品每件的利潤額是（6—m）元，怎么購進商品利潤最大？

分析：本題雖然題干較長，但復雜程度一般.學生要認真閱讀和理解，先把甲、乙兩種商品的購進單價求出來，再利用給出的進貨資金的范圍確定不等關系，找到參數的取值范圍，進而列出總利潤的表達式，判定式子中幾個參數的取值范圍，最后借助一次函數相關知識求出最大利潤.

4 有效結合三角函數，解答初中數學應用題

三角函數作為初中生在數學學習過程中遇到的一類特殊內容，主要學習銳角三角函數，如正弦函數、余弦函數、正切函數.在利用三角函數解決應用題時，需要仔細審題，分析圖形，明確題目所求問題.根據學習的幾何知識，構建出相應的直角三角形，結合實際作出輔助線，向銳角三角函數靠攏.在求解參數的值時，需要明確三角函數中線段的不同關系，千萬不能弄錯，以免因為關系弄錯而導致計算出的結果錯誤[5].

例4如圖1所示，趙軍同學準備測量一座小山的高度AF，山底位置有一條長為60 m的斜坡CE，坡角為30°，趙軍從點E的位置，沿著斜坡走至點D，D為CE的中點，此時測量出山頂A的仰角為53°，坡頂C和小山之間的距離BC為100 m，那么小山的高度是多少（結果精確至0.1 m）？（tan 53°≈1.33，3≈1.73.）

分析：處理本道應用題時，明確要用到三角函數相關知識，學生讀完題干內容后可根據結論進行逆向推理，找到需要求出的參數，然后結合解題所需添加適當的輔助線，找出角度與線段的關系，通過計算，得出結果.

5 有效運用二次函數，解答初中數學應用題

二次函數在初中數學課程體系中是一大難點，需要運用二次函數解答的應用題也是難點題型之一.主要在于這是學生在初中時期接觸到的難度最高、知識點最繁雜和關系最為復雜的一部分內容，對學生的解題水平要求較高，需要學生認真審題，根據題干信息精準確定二次函數關系，然后結合二次函數性質解題.同時，因為自變量的范圍會影響到二次函數的取值大小，所以解題時需明確自變量的取值范圍，這是運用二次函數類解答應用題的關鍵之處[6].

例5生產某種產品的成本是每個60元，為了了解市場的實際情況，商家計劃試營銷一段時間，銷售單價高于成本價格，但利潤不能超出成本價的40%.圖3為銷售量y（單位：萬個）與銷售單價x（單位：元）的函數圖象，當銷售價格是多少時，能夠獲得最大利潤，最大利潤是多少？

分析：解答這道應用題時，學生需要透徹理解題意，結合函數圖象，對銷售量與價格的關系作出分析，之后，根據成本、利潤、銷售量的關系構建二次函數，再結合二次函數性質解題，得出最大利潤.

總的來說，在初中數學解題教學活動中，教師應特別關注應用題這一類型試題的解題訓練，幫助學生透徹理解與牢固掌握相關理論知識，以認真閱讀和審題為前提，靈活、恰當選用解題技巧，使其有效運用二元一次方程、分式方程、不等式、三角函數、二次函數等知識解答應用題，注重歸納解決應用題的規律與竅門，傾力提高他們的數學解題水平.

參考文獻：

［1］黃有炎.初中數學應用題的解題技巧——以“一元一次方程應用題”為例［J］.現代中學生（初中版），2023（10）：21-22.

［2］王愛存.初中數學應用題的解題技巧及教學策略［J］.數理天地（初中版），2023（9）：65-67.

［3］曾國金.初中數學應用題解題錯誤研究［J］.現代中學生（初中版），2023（8）：47-48.

［4］汪平豐.初中數學應用題解題能力培養策略探析［J］.數學大世界（下旬），2022（11）：59-61.

［5］高廷學.初中數學應用題教學中數學建模思想的應用探究［J］.試題與研究，2022（28）：136-138.

［6］邵顏顏.初中數學應用題教學實踐中的情境創設［J］.數學大世界（下旬），2022（5）：65-67.