2023年高考全國卷三角試題分析與備考策略

摘要：本文中對近三年新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、甲卷（文理）和乙卷（文理）六套試卷三角函數試題的考查情況進行分析和總結，并圍繞如何培養學生的數學核心素養，以及對新課標、新教材、新高考背景下高三數學三角函數板塊的教學實踐及備考復習提出幾點建議.

關鍵詞：解三角形；三角函數；核心素養；教學

1 近三年三角函數及解三角形高考試題分析

三角函數與解三角形是高中數學領域的重要模塊，是考查考生邏輯推理、數學運算和直觀想象素養的主要載體.通過研究2023年的全國卷試題，不難發現，有關三角板塊的命題較穩定，難度以中等題為主，偶爾會有個別難題.近三年來新高考數學全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國甲卷（文、理）、全國乙卷（文、理）中三角函數及解三角形部分試題的題型、題號、分值，以及核心考點、問題情境與難度匯總如表1～4所示.

根據上表，2023年高考數學對三角函數及解三角形內容的考查有以下幾個特點：

（1）分值比重相對穩定

2023年新高考Ⅰ、Ⅱ卷基本體現出“兩小一大”的特點，即2道小題，1道大題，占20分；而2023年甲卷（理）則繼續保持2022年4道小題的考查方式，占20分；2023年乙卷（理）與三角知識有關的題則為“一小一大”，占17分.

（2）重點考查主干知識

2023年的6套高考全國卷均重點考查了三角學中的主干知識，主要考查了同角三角函數關系（甲卷理7），誘導公式（甲卷理7），兩角和差的正余弦公式（Ⅰ卷8），二倍角公式（Ⅰ卷8）（Ⅱ卷7）；重點考查了三角函數的圖象與性質（乙卷理6）（甲卷理10文12），求ω和φ等參數（Ⅰ卷15）（Ⅱ卷16）（乙卷理6）；全面考查了解三角形的相關知識（6套卷）.

（3）合理控制試題難度

2023年的6套高考全國卷的三角題目均沒有出現怪題、偏題，更沒有回避“必考點”，既有對三角恒等變換、三角公式的簡單考查（Ⅰ卷8，17）（甲卷理7）（Ⅱ卷7）；又有對三角函數性質的綜合性考查（Ⅰ卷15）（Ⅱ卷16）（乙卷理6）（甲卷理10文12）；還有對三角形中的角平分線、中線等“爪子模型”的考查（Ⅱ卷17）（甲卷理16）；學生感覺試題比較熟悉，考的是基礎，給人一種簡單之感，但又需要學生具有一定的計算能力.其中Ⅱ卷16、甲卷理10文12、甲卷理16更是考查了學生對三角部分基礎知識和基本方法的深刻理解和融會貫通的應用，考查學生數形結合能力和邏輯推理素養.

2 2023年高考全國卷三角函數典例剖析

2.1 重視對基礎知識和基本方法的考查

三角函數是中學數學中重要的基本初等函數，概念、公式眾多，對基礎知識的考查圍繞誘導公式、同角三角函數關系、三角恒等變換公式、三角函數的圖象和性質等重點內容進行命題，基礎性試題大多源于教材，平易近人，是重要的得分試題.

考向1 三角恒等變換

題1 （2023甲卷理7）“sin 2α+sin 2β=1”是“sin α+cos β=0”的（" ）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

題2 （2023新高考Ⅰ卷8）已知sin（α－β）=13，

cos αsin β=16，則cos（2α+2β）=（" ）.

A.79

B.19

C.－19

D.－79

試題評析：題1利用同角三角函數的基本關系求解；題2根據給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin（α+β），再利用二倍角公式計算.兩道題均考查了學生對基礎知識的掌握情況，入口寬，起點低，對數學基礎扎實的學生而言難度不大.

考向2 三角函數的圖象與性質

題3 （2023乙卷理6）已知f（x）=sin（ωx+φ）在區間π6，2π3單調遞增，直線x=π6和x=2π3為函數y=f（x）的圖象的兩條對稱軸，則f－5π12=（" ）.

A.－32

B.－12

C.12

D.32

題4 （2023甲卷理10文12）已知f（x）為函數y=cos2x+π6向左平移π6個單位所得函數，則y=f（x）與y=12x－12的交點個數為（" ）.

A.1

B.2

C.3

D.4

試題評析：題3根據題意分別求出函數的周期，再根據其最小值求出初相，代入x=－5π12即可得到答案，綜合考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中低檔題.題4若從數形結合入手，需要學生準確畫出兩個函數的圖象，考查學生對特殊角的三角函數值的掌握情況以及數形結合的能力，若采用導數法需要從三角函數恒正恒負的區間進行討論，要求學生具有較強的邏輯分析能力，體現了對學生邏輯推理素養的考查.

2.2 一脈相承，多套卷均考查關于ω，φ等參數的取值范圍經典題型

由于三角函數具有周期性，圖象成中心對稱和軸對稱圖形，三角函數又具有有界性，所以對三角函數性質的考查往往通過對其圖象特殊性的認識來進行.近兩年多套試卷均通過求ω的取值或φ的取值范圍來考查三角函數的性質，如2022甲卷文5，2022乙卷理15，2022新高考Ⅰ卷6，2022甲卷理11，而這些題型在往年地方卷的真題中常有出現.

考向3 三角函數中關于ω，φ等參數的取值范圍

題5 （2023新高考Ⅰ卷15）已知函數f（x）=cos ωx－1

（ωgt;0）在區間［0，2π］有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是________.

題6 （2023新高考Ⅱ卷16）已知f（x）=sin（ωx+φ），

如圖1，A，B是直線y=12與曲線y=f（x）的兩個交點，若|AB|=π6，則f（π）=________.

試題評析：上述兩題都體現了整體性的思想.題5將特值0和2π代入函數解析式，然后將ωx當成一個整體求解；題6的關鍵是先設出A，B兩點的坐標，再利用|AB|求解出ω的值，后面確定φ的值就順理成章了，對中等水平的學生具有一定的挑戰性，是區分度較高的一道好題！

2.3 加強與其他板塊的結合，體現綜合性與應用性

三角函數作為重要的基本初等函數，在立體幾何、平面向量中都有著廣泛的應用.對三角函數的考查可以在函數與導數的問題情境中體現，這也是近年來高考試題中三角函數內容考查的特殊之一.

題7 （2023甲卷理13）若f（x）=（x－1）2+ax+sinx+π2為偶函數，則a=________.

試題評析：本題比較基礎，利用偶函數的性質f（－x）=f（x），即可求出參數a.

3 2023年高考全國卷解三角形典例剖析

3.1 考基礎，考能力，出活題

題8 （2023新高考Ⅰ卷17）已知在△ABC中，A+B=3C，2sin（A－C）=sin B.（1）求sin A；（2）設AB=5，求AB邊上的高.

試題評析：題目第（1）問打破了以往解三角形問題的常規命題思路——如邊角互化、正余弦定理等，需要學生利用三角形內角和定理及題目條件先求出角C，再利用三角恒等變換求出sin A；第（2）問也具有創新性，以往的題型都是直接利用正弦定理、余弦定理求出a邊，但本題還需要先求出sin B才能求出AB邊上的高，是一道反套路、體現基礎性和創新性的好題.

3.2 穩中有變，變中有新，但考查的主體知識不變

題9 （2023新高考Ⅱ卷17）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3，D為BC中點，且AD=1.（1）若∠ADC=π3，求tan B；（2）若b2+c2=8，求b，c.

試題評析：本題第（1）問利用等面積法求解，比較基礎，體現了命題人對學生的關懷.第（2）問思維量提高，考查方式靈活，體現高考題入口寬、出口窄的特點，一題多解給考生提供了廣闊的思維空間，通過方法的選擇，甄別出考生能力的差異，達到精確區分考生的目的.

題10 （2023甲卷理16）在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=6，D為BC上一點，AD為∠BAC的平分線，則AD=________.

試題評析：題10是一道比較簡單的壓軸題，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規，但考查方式新穎.

4 高考三角板塊的教學及備考建議

根據近年來全國高考卷三角試題的命題情況，筆者對高三三角板塊的備考提出如下幾點建議.

4.1 立足課標和課本，夯實基礎，構建知識體系

近幾年全國卷中的很多三角試題是由課本例題和課后習題演變而來，采用更換情境、組合等手段來提高命制試題的創新性和綜合性.這種命題方法起點低，入手容易，但完整解答題目具有一定難度，學生在復習時不能忘“本”.

因此，在一輪備考時，教師應該立足新課標和新教材，注重落實“雙基”，讓學生在解決數學問題的過程中，發展數學能力，培養其數學核心素養［1］.

4.2 規范表達，養成嚴謹的作答習慣

在參加2023年廣東省新高考Ⅰ卷閱卷的過程中，筆者發現邏輯思維清晰且知道該題考查什么知識點的學生，其推理過程往往寫得簡潔，關鍵點易于分辨.因此，教師在日常教學中應明確哪些步驟是必須寫的，必要時可以投影學生的典型書寫錯誤.另外，教師在講解題目時，可以適當引導學生分析該題考查的知識點及得分點，因為解答題是踩點得分的，即使沒有全部做出來也會有步驟分.當然，應試可以取巧，但日常訓練不可取巧，還是要扎扎實實，一步一個腳印，吃透每一道做過的題［2］！

4.3 提煉模型，建立解題大觀念

模型是沒有背景的規律載體，是具有通用性的大觀念.教師在日常教學中引導學生不斷積累，不斷運用大觀念解決問題，形成研究問題的基本范式，進而積累基本活動經驗.而一旦有了活動經驗的引領，學生的數學學習將成為有目的性、有方向性的活動，進而就能從容應對這類高考題；例如高三復習三角形時，“爪型模型”應該重點突破，讓學生熟練感悟其中的思想方法，這樣才能從容應對這類高考題.

路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索.正所謂“教學有法”“教無定法”“貴在得法”，教學之路永無止境.要想在高三緊張的課堂教學中培養學生的數學核心素養，需要我們合理運用各種教學方法和策略，才能達到最佳教學效果［1］.

參考文獻：

［1］陳泳.新高考背景下解三角形備考分析與教學實踐——2022年數學新高考Ⅰ卷第18題閱卷有感［J］.理科考試研究，2023（7）：19-24.

［2］方勇.2020年高考全國卷三角試題評析及備考建議［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2020（17）：29-32.

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