“變式”內化“消元”“四度”涵育“素養”

［摘 要］文章以人教版七年級下冊“消元——解二元一次方程組：加減法”教學為例，探討如何運用“四度六步”教學法[1-2]來打造初中數學高品質課堂。通過整合教材資源與優化教學環節，實現“學材再建構，于結構中教與學”[3]，凸顯思維教學的重要性；以“四度”課堂價值為引領，遵循“學法三結合”的原則[4]，充分發揮教師的主導作用，凸顯學生的主體地位，促進師生的共同發展[5]；圍繞“六步”環節展開教學，層層遞進，通過變式深入知識本質，實現“學程重生成，在知識聯系中促進教與學”的目標[6]，涵育學生的核心素養。

［關鍵詞］“四度六步”教學法；變式；消元；核心素養

［中圖分類號］ " "G633.6 " " " " " " " "［文獻標識碼］ " "A " " " " " " " "［文章編號］ " "1674-6058（2024）29-0005-04

“消元——解二元一次方程組：加減法”一課依托“四度六步”教學法，圍繞“消元”思想，設計具有梯度的數學問題來展開教學。通過這些問題，引導學生從“知識結構”、“知識聯系”以及“學法”三個維度，逐步深化對“消元”思想的理解。教學從整體視角和本質層面切入，遵循數學知識的內在邏輯和學生的認知發展規律，自然推進學習，促使學生靈活運用知識，進而涵育學生的核心素養。

一、教學實踐

（一）“溫故”環節——復習提問，溫故孕新

“溫故”環節，旨在喚醒舊知，“孕育”新知。本節課伊始，教師首先讓學生用代入法解熟悉且簡單的二元一次方程組[x+y=10，2x+y=16，]以此復習舊知，同時提升學生的課堂參與度，激發學生的學習熱情。在教師的點撥下，學生能夠明確“消元”是解題的基本思路，為本節課探究并發現“加減消元法”奠定基礎。其次，教師利用“變形”步驟，引導學生復習等式的性質，為后續的課堂做好知識鋪墊。值得注意的是，由于方程組中兩個方程[y]的系數恰好相等，這成為接下來發現并深入探究“加減消元法”的好學材，為“引新”環節埋下了伏筆。這一環節的設計體現了數學教學應有的“溫度”和“梯度”。

【課堂實錄】

師：上節課我們學習了用代入法解二元一次方程組，接下來我們將通過解答一道練習題來回顧這一內容。請大家在練習本上完成，同時請一名同學上黑板來解答。

（學生代表解答方程組，教師巡視課堂，檢查其他學生的練習情況）

師：現在我們一起來看這位同學的解答過程。她的解答條理清晰，表述完整，尤為可貴的是字跡工整、漂亮，真是字如其人啊。在此，我想提醒各位同學，解方程組與解單個方程一樣，得出答案后一定要代入原方程組進行檢驗，請大家自行檢驗。

師：請同學們回顧解方程組的過程，其中有一個“代入”步驟很關鍵，你們認為“代入”的主要目的是什么？

生：消元。

師：正確。二元一次方程組之所以能求解，是因為通過代入法（即等量代換）可以實現消元（將二元化為一元）。因此，解二元一次方程組的基本思路可以概括為：[二元消元代入一元]。

師：請大家再回顧一下解方程組的過程。為了“代入”，我們曾對其中一個方程進行“變形”，即用一個含有一個未知數的式子表示另一個未知數，這里“變形”的依據是什么？

（學生討論交流）

師：這位同學不僅準確指出了方程“變形”的依據，還全面闡述了等式的兩個基本性質。同學們一定要記住，為求解方程（組），對方程所做的任何“變形”都必須基于等式的基本性質，這在數學上被稱為“同解變形”。

（二）“引新”環節——創設情境，引入課題

“引新”環節，旨在尋找新知的生長點，通過創設情境、類比舊知，實現新舊知識的自然銜接和課題的引入。在此環節中，教師巧妙利用“溫故”環節提及的方程組，設計新穎的數學問題，引導學生觀察與思考，使他們初步體會代入法與加減消元法的共同核心——消元。教師進一步引導學生探究這兩種方法的內在聯系，構建起“消元”思想的知識框架，進而實現以舊引新、建構新知，同時為“探究”環節繼續完善新知結構埋下伏筆。這一環節的設計體現了數學教學應有的“梯度”和“寬度”。

【課堂實錄】

師：通過復習，我們知道了解二元一次方程組的基本思路是消元，那請同學們思考這個問題：方程組[x+y=10，①2x+y=16 ②]的兩個方程中，[y]的系數有何關系？利用這種關系，你能發現新的消元方法嗎？

生1：兩個方程中[y]的系數相等。通過用方程①的左邊減去方程[②]的左邊，等于方程[①]的右邊減去方程[②]的右邊，可以消去未知數[y]，化簡得到[-x=-6]。

師：數學中，把剛才的步驟用①-②來表示，這個步驟的依據是什么？

生2：等式的性質1。

師：除了①-②，還有其他更簡便的方法嗎？

生3：可以②-①，這樣直接得到[x=6]。

師：你的觀察力很強，還學會了舉一反三。那么，將兩個方程相減的目的是什么？

生3：消元。

師：正確。通過相減可以實現消元，將二元轉化為一元，從而解方程組。接下來，請同學們將解方程組的剩余步驟補充完整。

師：這種新方法與代入法相比，哪種更簡便？

生4：新方法更簡便。

師：很好。接下來，我們將深入學習這種方法。大家能給它起一個合適的名字嗎？

生5：加減消元法。

（教師板書課題）

（三）“探究”環節——合作探究，活動領悟

“探究”環節重在經歷與感悟，讓學生通過精確掌握知識細節深入領悟原理。教學中，教師依據學生的認知基礎和最近發展區，調整方程組中同一未知數的系數由相等變為互為相反數，這一變化僅涉及方程“形”的調整，而“質”保持不變。通過實施“學法三結合”，有效促進學生在解決問題的過程中實現知識的順向遷移，進而建立新舊知識的內在聯系，完善知識結構，發展數學思維。此環節著重強調方程組解法的內在統一性——消元思想，并明確指出解方程組的核心在于消元。通過探究，學生能夠在知識結構上統一代入法與加減消元法，從整體上理解方程組的解法。這不僅涵育了學生的核心素養，還體現了數學教學的“梯度”、“深度”和“寬度”。

【課堂實錄】

師：同學們，通過剛才的題目，我們知道了當方程組中同一未知數的系數相等時，可直接相減消元，將二元化為一元求解。那么，還有沒有類似這樣能直接消元的情況呢？接下來，我們探討下一個問題。

問題：聯系上面的解法，想一想怎樣解方程組[3x+10y=2.8，①15x-10y=8。②]

生1：方程組中，[y]的系數一個是10，另一個是-10，它們剛好互為相反數，所以①+②可消去[y]，將二元化為一元求解。

師：你的回答簡潔明了，既指出了方程組的結構特征，又分享了簡便解法。

師：那么，將兩個方程相加的目的是什么呢？

生1：消元。

師：對。目的就是為了消元。

師：請同學們將解方程組的剩余步驟補充完整。

師：最后求得這個方程組的解是什么？

生2：[x=0.6，][y=0.1。]

師：從這道題中，我們了解到當方程組中同一未知數的系數互為相反數時，可以直接將兩個方程相加消去該未知數，將二元化為一元求解。

師：學到這里，請同學們歸納一下我們剛才探討的解二元一次方程組的新方法。當方程組具備何種特征時，我們可以直接通過方程相加或相減來實現消元求解？

生3：當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數的系數互為相反數或相等時，可直接將這兩個方程相加或相減消去該未知數，得到一個一元一次方程，從而解方程組。

師：這位同學將運用這種方法的條件及思路概括得十分到位。我們把這種方法叫作加減消元法，簡稱加減法。

（四）“變式”環節——師生互動，變式深化

“變式”環節強調同化與順應，要求“變式”貼合教學實際，合理設計梯度，指向知識的本質。在“探究”環節后，學生對加減法有了深入理解，思維水平也有所提升。基于此，教師在“變式”環節中改變方程組中未知數的系數（即調整方程組的“形”），使方程組無法直接運用加減法求解，從而引發學生的思維矛盾，促使他們主動探尋新舊知識的聯系，建立知識橋梁，實現知識的同化與順應。此環節采用“學法三結合”的教學策略，有助于學生高效實現學習遷移，發展高階思維，確保深度學習真正發生。通過“變式”訓練，學生能深刻領悟解方程組的關鍵在于消元，從整體上把握方程組解法的本質——消元。這個環節的設計充分體現了數學教學的“深度”和“寬度”。

【課堂實錄】

師：同學們，回顧已學的二元一次方程組，是否存在這樣的方程組，其中兩個方程里同一未知數的系數既不互為相反數，也不相等？接下來，我們來觀察這個方程組，并思考問題。

問題：用加減法解方程組[3x+4y=16，①5x-6y=33。②]

思考：（1）這兩個方程直接相加或相減能消去未知數嗎？為什么？（2）用加減法消去[x]，應如何操作？（3）用加減法消去[y]，應如何操作？

（學生先獨立思考，再與同桌討論交流，最后全班交流分享。教師首先以消去[y]為例，帶領學生規范解答，之后讓學生獨立嘗試用消去[x]的方法解方程組；其次利用希沃白板的“拍照上傳”功能，投影展示部分學生的解答過程，供全班同學分享學習；最后引導學生對比消去[x]和消去[y]這兩種方法，并進行歸納總結）

師：通過解答這道題，你對加減法解二元一次方程組有什么新認識？

生：當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數的系數既不互為相反數也不相等時，不能直接通過相加減消去未知數，但可以根據等式的性質2，在方程的兩邊同時乘以一個適當的數，使得兩個方程中同一未知數的系數互為相反數或相等，然后再利用加減法消元。

師：用加減法解二元一次方程組的基本思路仍然是消元。

（五）“嘗試”環節——嘗試練習，鞏固提高

在“嘗試”環節，教師應放手讓學生自主練習，以鞏固知識、提升學習效果。為此，教師設計了四道由易到難、類型經典的題目，旨在通過講練結合的方式，鍛煉學生的思維能力與運算能力，確保每一個學生在數學課堂上都能獲得相應的發展。這一環節的設計貼合學生的認知層次，不僅有效鞏固了新知，還提高了學習效果，并及時反饋了練習情況，充分體現了數學教學的“溫度”和“梯度”。

【課堂實錄】

師：下面，我們嘗試利用加減法解二元一次方程組。

1.用加減法解下列方程組：

（1）[x+2y=9，3x-2y=-1；] " " " " " " （2）[5x+2y=25，3x+4y=15；]

（3）[2x+5y=8，3x+2y=5；] " " " " " " " （4）[2x+3y=6，3x-2y=-2。]

（學生獨立練習，教師巡視課堂，了解學生的練習情況，并進行個別指導，特別關注并幫助學困生）

（六）“提升”環節——適時小結，興趣延伸

“提升”環節的關鍵在于時機恰當、重點突出、方法恰當。在此環節中，教師首先設計兩個核心問題，引導學生深入思考與總結，以加深他們對方程組解法本質——消元思想的理解。通過將代入法與加減法有機聯系，與消元思想相對應，教師幫助學生構建方程組解法的知識與方法體系，使他們從整體上把握方程組的解法，進行培養學生的核心素養。隨后，教師布置一道拓展題作為課后作業，以有效延伸學生的學習興趣，并鍛煉他們的思維能力與運算能力。在作業布置上，教師采用分層策略：必做題面向全體學生，使基礎薄弱的學生也能通過運用所學知識解決問題，獲得成就感，從而激發他們學習數學的興趣；選做題則為能力較強的學生提供課外探索的空間，鼓勵他們積極、樂于探索。這個環節的設計充分體現了數學教學的“溫度”“梯度”“深度”和“寬度”。

【課堂實錄】

師：同學們，學到這里，我們通過兩個問題來回顧本節課的內容。

1.小結：（1）用加減法解二元一次方程組的基本思路是什么？（2）加減法與代入法有什么共同點？

2.拓展：用加減法解方程組[2x-5y=-12，3x-2y=-7。]（留作課外探索）

3.布置作業：

必做：（1）課本P98第3題第（1）（2）小題；（2）給同桌出一道解二元一次方程組的題目，并用自己喜歡的方法求解。

選做：課本P98第3題第（3）（4）小題。

二、教學反思

本節課的核心是引導學生運用加減法解二元一次方程組，旨在探索更為高效和便捷的方程組解法。本節課的教學思路具有兩大特點：

一是“變式”內化“消元”。教師采用“四度六步”教學法，以“變”與“不變”為明暗線索，構建了從滲透“消元”思想到明確其概念，再到實踐應用的漸進式教學框架，旨在優化課堂教學，提高教學效率，打造高品質課堂。具體而言，“溫故”環節復習代入法解二元一次方程組的基本思路及等式的性質，在鞏固舊知的同時為新知探究埋下伏筆；“引新”環節，提出新問題，自然導入新課，為深入探究做鋪墊；“探究”環節順應知識邏輯，貼合學生最近發展區，完善加減法教學，彰顯其在解方程組中的重要作用；“變式”環節深化學生對加減法的理解，鍛煉學生的思維能力與運算能力；“嘗試”環節給學生提供個性化學習空間，通過同桌討論、全班分享豐富學習方式，反饋練習效果；“提升”環節總結歸納代入法與加減法的本質，實現二者的內在統一，為方程組的解法提供宏觀視角，深化學生的學習感悟。這“六步”設計使課堂教學結構嚴謹、層次分明、螺旋上升，精準聚焦知識本質，突出重難點，有效實現了“變式”內化“消元”的教學目標，促進了學生思維的有效發展。

二是“四度”涵育“素養”。本節課，教師采取兩大策略：（1）面向全體，尊重個體差異，圍繞二元一次方程組的基本范式及“變式”求解，實施分層教學與分類指導，并追求多維評價，體現了數學教學的“溫度”和“梯度”。（2）深入挖掘教材，聚焦知識本質，重視思維訓練，促進深度學習，這體現了數學教學的“深度”和“寬度”。

在“四度”課堂價值的引領下，本節課在鞏固學生“四基”和發展學生“四能”的過程中有效涵育了學生的核心素養。盡管在現場授課時，教師在即時評價和精準追問等方面仍有優化空間，但本節課無疑是基于“四度六步”教學法理念打造的一節精彩數學課。

［ " 參 " 考 " 文 " 獻 " ］

[1] "戴啟猛.基于初中數學“四度六步”教學法的理論基礎與實踐架構[J].中小學課堂教學研究，2020（3）：22-26，39.

[2] "戴啟猛.創造更加精彩的課堂：初中數學“四度六步”教學法的20年實踐與探索[J].廣西教育，2020（5）：15-19.

[3] "李庾南，馮衛東.學材再建構 " 在結構中教與學[J].數學通報，2018（8）：17-22，30.

[4] "李庾南，祁國斌.自學·議論·引導：涵育學生核心素養的重要范式[J].課程·教材·教法，2017（9）：4-11.

[5] "王枬.創造師生共同發展的精彩課堂：對戴啟猛初中數學“四度六步教學法”的評析[J].廣西教育，2020（5）：28-30.

[6] "陳育彬，李庾南.學程重生成 " 在聯系中教與學[J].中小學教材教學，2019（10）：33-37.

（責任編輯 " "黃春香）