培養(yǎng)推理能力 發(fā)展核心素養(yǎng)

［摘 要］“作一個角等于已知角”屬于基本的尺規(guī)作圖。通過“作一條線段等于已知線段”，學生了解了尺規(guī)的基本功能，積累了初步的尺規(guī)作圖經(jīng)驗。但隨著學習的深入，學生對尺規(guī)作角這一技能的掌握遠沒有達到應有的水平，且該技能的遺忘率較高。基于此，教師應重新思考如何在“尺規(guī)作角”的教學中借助尺規(guī)實現(xiàn)想象與操作的自然聯(lián)結，以及直觀感知與邏輯推理之間的無縫對接。

［關鍵詞］尺規(guī)作角；推理能力；核心素養(yǎng)

［中圖分類號］ " "G633.6 " " " "［文獻標識碼］ " "A " " " "［文章編號］ " "1674-6058（2024）29-0009-03

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：在用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎上，從基本事實出發(fā)推導圖形的幾何性質(zhì)和定理，理解和掌握尺規(guī)作圖的基本原理和方法，這樣的學習過程，有助于學生進一步建立幾何直觀，提升抽象能力和推理能力。通過尺規(guī)作圖，學生可以通過直觀想象呈現(xiàn)出最終的圖形，保留作圖痕跡。雖然尺規(guī)作圖不要求寫出作圖方法，但需要分析其中的原理和蘊含的幾何圖形性質(zhì)。尺規(guī)作圖是幾何證明的一種獨特的呈現(xiàn)形式，“會畫即會證”。然而，初中階段有關尺規(guī)作圖的教學經(jīng)歷了從“不講理”到逐步“講理”的過程。“不講理”是指只需通過直觀感知和合情推理完成作圖，不需要進行邏輯推理和證明。比如“尺規(guī)作角”一課只要求學生作一個角等于已知角。在后續(xù)的學習中，學生可以利用所學的幾何圖形的性質(zhì)或判定方法進行證明。這體現(xiàn)了教材在培養(yǎng)學生推理能力和發(fā)展學生核心素養(yǎng)方面的螺旋進階式設計。

一、教材分析

“尺規(guī)作角”選自蘇科版七年級上冊第6章第2節(jié)“角”的第2課時。教材遵循學生的認知發(fā)展規(guī)律，設計了利用三角尺和量角器作一個角等于已知角的情境，引導學生借助已有知識經(jīng)驗進行操作。讓學生利用三角尺畫出特殊角，或利用量角器畫出0°～180°任意角度，再通過觀察、探索和交流，歸納出作一個角等于已知角的步驟。對于角平分線，教材通過折紙活動引出角平分線的定義。本節(jié)課主要有畫角、作角、折角三類活動，重點展示尺規(guī)作角（含角平分線）的教學內(nèi)容。

二、教學思路

本節(jié)課設計了三類操作活動：“畫一個角等于已知角”“作一個角等于已知角”“折一個角等于已知角”。每個活動都要求學生思考，逐步積累知識，為下一個活動做好準備。通過不同工具完成同一個任務，有效增強學生的動手能力，激發(fā)學生“做數(shù)學”“玩數(shù)學”的興趣，使學生積累基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。

三、教學過程

問題1：角的定義是什么？如何畫一個30°的角？75°呢？

追問1：用一副三角尺能畫出哪些特殊的角？你是怎么畫的？

追問2：這些角有什么規(guī)律可循？

追問3：你還能畫出其他度數(shù)的角嗎？

教學說明 通過問題引導學生探索，并進一步歸納：使用三角尺可以畫出0°～180°之間15°的整倍角。讓學生體驗三角尺畫角的局限性，為后續(xù)的不同工具作角埋下伏筆。

問題2：如圖1，已知[∠AOB]，如何畫一個與它相等的角？

追問1：用量角器畫一個角等于已知角的步驟是什么？

追問2：作角為什么要先畫一條射線？

追問3：另一條射線是如何確定的？為什么？

追問4：如果量角器沒有刻度，還能畫嗎？畫圖的關鍵是什么？

追問5：再換一個不同大小且沒有刻度的量角器呢？

教學說明 通過常用工具量角器的使用，抽象并歸納出作一個角等于已知角的關鍵步驟。引導學生理解畫角的本質(zhì)：先選定一個點（如D點）作為角的頂點；再確定一條起始邊（如OD）；最后借助量角器確定終邊的位置。由于兩點確定一條直線，因此邊的問題可轉(zhuǎn)化為點的問題，且此過程不依賴于量角器的刻度。量角器被簡化為輔助工具，其有無刻度或尺寸大小如何，都不影響畫角。

問題3：如果不用量角器，只用直尺和圓規(guī)可以作一個角等于這個已知角嗎？

追問1：關鍵點在量角器的哪里？量角器是一個什么圖形？

追問2：能用圓規(guī)代替量角器作圖嗎？圓規(guī)畫弧時半徑如何確定？

追問3：用圓規(guī)替代量角器在已知角上畫出半圓時，確定了哪些元素？

追問4：嘗試用直尺和圓規(guī)畫一個角等于[∠AOB]，并說出作圖步驟。

教學說明 通過自主探索和合作交流，學生總結出直尺和圓規(guī)的作圖方法，并深刻理解其背后的原理。具體而言，學生認識到量角器可將抽象的“數(shù)”轉(zhuǎn)化為具體的“形”，而圓規(guī)可模仿量角器畫弧，構造出一個無刻度的半圓（如圖2），并確定關鍵點C、D和相關的邊線OC、CD、OD，同時能夠?qū)⑦@一結構整體平移到新的位置。

問題4：如何讓“作一個角等于已知角”這一尺規(guī)作圖更為簡約？說說尺規(guī)作角的一般步驟。

教學說明 無須完整的半圓，只需關鍵一段弧，便可定點、定邊（如圖3），這提示了“作一個角等于已知角”其實就是對一個角進行整體平移，其本質(zhì)是對半徑、弧與角的大小關系的探究。

問題5：作角的問題可以如何轉(zhuǎn)化？還有其他簡便方法嗎？

教學說明 引導學生發(fā)現(xiàn)作角可轉(zhuǎn)化為作三角形（既可以是等腰三角形，也可以是任意三角形）。這一過程滲透了“定角即定邊”的思想以及建立了圖形全等的概念，使得作圖的方法更具一般性。從思維優(yōu)化的角度來看，作等腰三角形最為簡便，故作為首選方法。

問題6：已知畫在紙片上的[∠AOB]（如圖4），能否將[∠AOB]分成兩個相等的角？

追問1：可以度量，可以折角……請大家畫出折痕，指出折痕分成的兩個角為什么相等。

追問2：如圖5，已知[∠AOB]，你能以[OB]為一邊，用直尺和圓規(guī)作[∠BOC]，使[∠BOC=∠AOC]嗎？

追問3：如圖5，已知[∠AOB]，若既不度量，也不對折，你能否直接用直尺和圓規(guī)作[∠AOB]的平分線[OC]？請嘗試。

教學說明 提出不同的平分角問題，旨在從多角度引導學生深入理解角平分線的概念，并讓學生重新經(jīng)歷度量、折角、作角等操作過程，深化他們對角平分線性質(zhì)的認識。隨著問題的深入，尺規(guī)作為重要的作圖工具自然“登場”。適時拋出開放性追問3，引發(fā)學生思考，給予他們充足的時間與空間去探索與發(fā)現(xiàn)。此問題亦可作為課外拓展，讓學生課后深入研究。通過這樣的探索，學生不僅能提升數(shù)學素養(yǎng)，還能培養(yǎng)科學探究精神和創(chuàng)新能力，甚至可能帶來驚喜的發(fā)現(xiàn)（如圖6至圖9）。

四、教學反思

（一）理解學生，理解教材

本課屬于七年級上冊內(nèi)容，七年級學生尚未具備嚴密的推理能力，僅具備初步的推理意識。對于幾何圖形的性質(zhì)與判定，他們積累有限，常通過合情推理來感知事物的合理性。尺規(guī)作圖作為幾何推理的基礎操作，其核心在于推理的互逆性：在有限的條件下，先設作圖目標，再根據(jù)圖形性質(zhì)反向推理作圖步驟，最后通過調(diào)整條件實現(xiàn)作圖。學生已初步接觸尺規(guī)作圖，通過“作一條線段等于已知線段”的實踐，體驗了無刻度直尺和圓規(guī)的基本功能。在作圖過程中，學生掌握了“有點必連線，有長必畫弧，無長試畫弧，線交得點”的作圖原則，并直觀認識了線段的基本元素和性質(zhì)。作為第二次尺規(guī)作圖學習，本課在學生尚未掌握三角形全等等高階知識的情況下，通過觀察量角器畫角的過程，引導學生思考尺規(guī)在畫角時的應用，深化學生對角的基本元素和性質(zhì)的理解，同時使學生感知弧與角之間的基本關系，掌握尺規(guī)的作圖方法。

（二）問題引領，發(fā)展推理能力

本課精心設計了畫角、量角、作角、折角等一系列活動，旨在引導學生深刻理解這些幾何操作的內(nèi)在邏輯與原理。通過問題1至問題6的遞進式設計，輔以連續(xù)追問，引導學生逐步深入探究，促進學生深度參與。本課摒棄灌輸式教學和機械模仿，引導學生主動思考、自主探究，有效避免了學生因不明就里而產(chǎn)生的快速遺忘現(xiàn)象。采用“雖無說理，卻暗藏推理”的教學方式，不僅為學生的后續(xù)圖形學習積累了寶貴的經(jīng)驗，更為他們推理能力的發(fā)展奠定了堅實的基礎。

（三）螺旋進階，聚焦素養(yǎng)

在初中階段，復雜作圖均是基于一系列基本作圖逐步構建的，其中“尺規(guī)作角”以“尺規(guī)作線”為基礎，而“尺規(guī)作線”又源于“尺規(guī)作點”，層層遞進。考慮到小學生思維發(fā)展尚不成熟，動手操作經(jīng)驗有限，七年級學生初涉復雜幾何圖形，面臨挑戰(zhàn)，因此本課精心設計了一系列問題，將抽象推理過程轉(zhuǎn)化為直觀、外顯、可視化的形式，引導學生思維沿著預設支架螺旋上升。教學中，教師充分信任學生，給予他們自由發(fā)揮的空間，鼓勵他們利用尺規(guī)進行“自由創(chuàng)作”，如嘗試作角平分線。通過探索交流，學生得出了很多讓人意想不到的作圖方法。反饋練習環(huán)節(jié)，設計如根據(jù)三角形“兩邊及其夾角”或“兩角及其夾邊”作圖等題目，讓學生盡情發(fā)揮，即使他們暫時無法完全解釋或證明作圖成果，但也能變得更加自信。隨著后續(xù)學習的深入，這些看似難以破解的問題將被圖形性質(zhì)一一“解鎖”，這體現(xiàn)了螺旋式學習的優(yōu)勢。螺旋進階的數(shù)學學習活動，不僅能培養(yǎng)學生的幾何直觀能力和推理意識，還能提升學生的推理能力，發(fā)展他們的數(shù)學核心素養(yǎng)。

綜上所述，教師應深刻認識尺規(guī)作圖的教育價值和重要意義，這一切應從上好“尺規(guī)作線”“尺規(guī)作角”等基本作圖課開始。在教學中，教師應根據(jù)學生思維發(fā)展的不同階段，適時提出恰當?shù)淖穯枺源思ぐl(fā)學生的問題意識與探究興趣，培養(yǎng)他們的知識遷移與運用能力，提升他們的核心素養(yǎng)。

［ " 參 " 考 " 文 " 獻 " ］

[1] "中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準：2022年版[M]北京：北京師范大學出版社，2022.

（責任編輯 黃春香）