融入生活元素 促進(jìn)數(shù)學(xué)解題應(yīng)用

摘 要：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，問題解決能力是一項重要的技能.這種能力的培養(yǎng)，不僅有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科中取得好成績，還能為他們未來的學(xué)習(xí)和工作打下堅實的基礎(chǔ).生活化教學(xué)策略以生活中的實際問題為基礎(chǔ)，將數(shù)學(xué)知識與學(xué)生的日常生活相結(jié)合，使學(xué)習(xí)更具有實際意義和趣味性.通過生活化教學(xué)，學(xué)生能夠更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，從而提高問題解決能力.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；生活化；問題解決

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）23-0021-03

收稿日期：2023-05-15

作者簡介：黃林生（1983.8—），男，福建省上杭人，本科，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

問題解決能力是指學(xué)生能夠主動、有目的地運用所學(xué)知識、技能和思維方式，面對困難、復(fù)雜或未知的問題，通過分析、推理、創(chuàng)新等認(rèn)知過程，尋找解決問題的方法和策略，并最終得出正確的解決方案的能力［1］.1965年，美國心理學(xué)家加涅依據(jù)學(xué)習(xí)情境由簡單到復(fù)雜、學(xué)習(xí)水平由低級到高級的順序，把學(xué)習(xí)分成八類，依次為信號學(xué)習(xí)、刺激-反應(yīng)學(xué)習(xí)、連鎖學(xué)習(xí)、言語聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)、辨別學(xué)習(xí)，概念學(xué)習(xí)、規(guī)則或原理學(xué)習(xí)、解決問題學(xué)習(xí)［2］.其中“問題解決”處于學(xué)習(xí)的頂端.由此可見，教育的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力.將教學(xué)生活化，可以解決目前數(shù)學(xué)課堂中存在的一些問題，提高學(xué)生解決問題的能力.

1 生活化教學(xué)對問題解決能力的作用

在數(shù)學(xué)課堂中，生活化教學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的培養(yǎng)具有重要意義.首先，生活化教學(xué)能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)理論與學(xué)生日常生活聯(lián)系起來，使數(shù)學(xué)問題更加有趣和實用.通過引入實際問題，學(xué)生能夠更容易地理解和接受數(shù)學(xué)知識，從而激發(fā)他們對數(shù)學(xué)的興趣.這種興趣為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)奠定了良好的基礎(chǔ).其次，學(xué)生通過解決生活中的實際問題，能夠培養(yǎng)他們的觀察力、分析能力和解決問題的能力.最后，生活化教學(xué)能夠使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的實用性和重要性，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)動機.當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識可以應(yīng)用于解決實際問題時，他們會更加主動地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

2 生活化教學(xué)策略在教學(xué)中的應(yīng)用

2.1 建立方程模型解決實際問題

例1 黃岡小河中學(xué)七年級學(xué)生在5名教師的帶領(lǐng)下去赤壁公園游玩，公園的門票為每人3元.現(xiàn)有兩種優(yōu)惠方案，甲方案：帶隊教師免費，學(xué)生按8折收費；乙方案：師生都按7.5折收費.

（1）若有m名學(xué)生，則甲方案師生共需多少元，乙方案師生共需多少元？（用含m的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)m為何值時，兩種方案收費一樣？

（3）請你幫助老師選擇最優(yōu)惠方案.

解析 （1）甲方案收費30×80%m=24 m；乙方案收費30×75%（m+5）=22.5m+11.5.

（2）根據(jù)題意可得24 m=22.5 m+112.5，解得m=75，即有75名學(xué)生時，兩方案費用一樣.

（3）當(dāng)mgt;75時，選擇乙方案；當(dāng)m=75時，兩種方案相同；當(dāng)mlt;75時，選擇甲方案.

點評 本題考查一元一次方程在實際生活中的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是將學(xué)生人數(shù)設(shè)為未知量，而后根據(jù)優(yōu)惠方案表示出收費金額，最后列方程求解.

2.2 建立函數(shù)模型解決實際問題

例2 元旦節(jié)期間，某天小王和小明都乘車從成都到重慶.已知兩地相距300千米，小王先乘車從成都出發(fā)，小明坐動車先以80千米/小時的速度追趕小王.如圖1，線段OA表示小王離成都的距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系；折線BCD表示小明離開成都的距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系.請根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）小明到達(dá)重慶后，小王距重慶多少千米？

（2）求線段CD和OA對應(yīng)的函數(shù)解析式.

解 （1）由題意可得，小王的速度為300÷5=60（千米/時），故小明到達(dá)重慶后，小王距重慶還剩60×（5-4.5）=30（千米）.

（2）設(shè)線段CD的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得2.5k+b=80，4.5k+b=300，解得k=110，b=-195.則線段CD的解析式是y=110x-195（2.5≤x≤4.5）.設(shè)OA的解析式是y=mx，根據(jù)題意得5m=300，解得m=60，則其函數(shù)解析式是y=60x（0≤x≤5）.

例3 某超市以每件13元的價格購進(jìn)一種商品，銷售時該商品的銷售單價不低于進(jìn)價且不高于18元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足如圖2所示的一次函數(shù)關(guān)系.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）銷售單價定為多少元時，該超市每天銷售這種商品所獲的利潤最大？最大利潤是多少？

解 （1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），由所給函數(shù)圖象可知14k+b=220，16k+b=180，解得k=-20，b=500.故y=-20x+500.

（2）設(shè)每天銷售這種商品所獲的利潤為w，y=-20x+500，所以w=（x-13）y=（x-13）（-20x+500）=-20x2+760x-6 500=-20（x-19）2+720.因為-20＜0，所以當(dāng)x＜19時，w隨x的增大而增大.因為13≤x≤18，所以當(dāng)x＝18時，w有最大值，最大值為700，所以售價定為18元/件時，每天最大利潤為700元．

點評 一次函數(shù)和二次函數(shù)經(jīng)常被用來解決日常生活中的實際問題.解決問題的關(guān)鍵在于讀懂題意，根據(jù)圖象和文字描述，建立函數(shù)模型.

2.3 相似三角形的實際應(yīng)用

例4 小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬，測量時，他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹.已知CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC=1 m，DE=1.5 m，BD=8.5 m，如圖3所示.請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB.

解析 因為CB⊥AD，ED⊥AD，所以CB∥ED.又因為∠CAB=∠EAD，所以△ABC∽△ADE，所以ABAD = BCDE.又因為BC=1 m，DE=1.5 m，BD=8.5 m，AD=AB+BD，所以AB=17 m.

點評 在問題解決過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意，建立出相似三角形的數(shù)學(xué)模型，然后運用三角形相似的知識解決實際問題.

2.4 利用投影規(guī)律解決實際問題

例5 如圖4，有甲和乙兩棟教學(xué)樓，兩棟樓都有10層，每一層的高度均為3 m，兩樓之間的距離為30 m.為了掌握太陽光和水平方向夾角為30°時，甲樓對乙樓光照情況的影響，請求出此時甲樓樓頂?shù)挠白覧應(yīng)該落在乙樓的哪一層？

解析 過E點作AB的垂線EF，垂直為點F.根據(jù)題意可知，∠BEF=30°，設(shè)EC的高度為h m.在Rt△BFE中，EF=30 m，甲樓的高度AB=10×3 m=30 m，則BF=（30-h）m.因為∠BEF=30°，所以BE=2BF=（60-2h） m.在Rt△BFE中，由勾股定理得BF2+EF2=BE2，則（30-h）2+302=（60-2h）2，解得h1≈12.68，h2≈47.32（不符合題意，舍去）.因為4＜5，所以甲樓樓頂?shù)挠白覧應(yīng)該落在乙樓第5層.

點評 本題考查投影在實際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于將該生活情景轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過構(gòu)造直角三角形，利用其性質(zhì)求解.

2.5 利用概率知識解決實際問題

例6 為了減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)和優(yōu)化教育資源配置，落實“雙減”政策，某教育局為掌握該政策的實施情況，對幾所學(xué)校的部分初中生進(jìn)行了隨機抽取調(diào)查，統(tǒng)計出了他們平均每天寫完學(xué)校所布置作業(yè)的時間，并將調(diào)查結(jié)果繪制為如圖5所示的不完整的統(tǒng)計圖.

請回答以下問題：

（1）教育局一共抽查了______初中生進(jìn)行調(diào)查，在圖5所示的扇形統(tǒng)計圖中，m的值為______；

（2）已知平均每天完成作業(yè)時長在“100≤t＜110”區(qū)間的9名初中生中，有5名男生和4名女生，若從這9名學(xué)生中隨機抽取一名進(jìn)行訪談，且每一名學(xué)生被抽到的可能性相同，則恰好抽到男生的概率是______；

（3）若該市共有初中生10 000名，則平均每天完成作業(yè)時長在“70≤t＜80”分鐘的初中生約有______人．

解析 （1）根據(jù)60≤t＜70的人數(shù)，45人占所有抽樣學(xué)生的15%即可求出抽樣學(xué)生的人數(shù).根據(jù)扇形統(tǒng)計圖各部分的百分比之和為1，可求出m的值.45÷15%＝300（人），1-15%-3%-7%-45%＝30%.

（2）根據(jù)概率公式求解.因為所有可能抽到的結(jié)果數(shù)為9，抽到男生的結(jié)果數(shù)為5，且每一名學(xué)生被抽到的可能性相同，所以P（抽到男生）=59.

（3）根據(jù)樣本中70≤t＜80的人數(shù)占抽樣人數(shù)的30%估計全市人數(shù)．10 000×30%=3 000（人）.

3 結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，生活化教學(xué)是一種十分重要的教學(xué)策略，可以幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識與實際生活聯(lián)系起來，增加學(xué)習(xí)的實用性和趣味性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實際情況和教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計一些與生活相關(guān)的教學(xué)情景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.與此同時，教師可依據(jù)生活化情景，總結(jié)解題策略，讓學(xué)生掌握這些情景背后蘊含的解題技巧，提升學(xué)生的解題能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 崔迎春.基于“問題解決”的化學(xué)專題復(fù)習(xí)方案設(shè)計：以“金屬和金屬材料性質(zhì)、轉(zhuǎn)化”為例［J］.現(xiàn)代中小學(xué)教育，2017（6）：54-57.

［2］ 顏廷智.基于問題解決能力培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)情境教學(xué)探究［J］.新教育時代電子雜志（教師版），2019（22）：91.

［責(zé)任編輯：李 璟］