“離散數學”混合式教學模式研究

摘" 要：離散數學是計算機相關專業的核心基礎課程，新的教學手段和教學工具的發展推動著教學方式的不斷革新，但目前的教學過程仍然以教師的“教”為主，教師依舊是教學活動的中心，這和工程教育認證的教學理念并不一致。文章針對離散數學概念多、高度抽象以及邏輯性強等特點，結合翻轉課堂和案例式的實踐教學，從課前、課中到課后進行全面的綜合設計，結合課程考核和目標達成的評價過程，提出一種混合式教學方法，旨在激發學生的學習積極性，并通過案例教學讓學生能夠運用所學知識解決實際問題，通過課程目標達成評價實現對課程的持續改進，從而實現“學生為中心、產出為導向并堅持持續改進”的教學理念。

關鍵詞：離散數學;混合式教學;學生為導向;成果產出

中圖分類號：G642" " 文獻標識碼：A" " 文章編號：1673-7164（2024）23-0091-04

一、研究背景

離散數學是計算機相關專業，如計算機科學與技術、軟件工程、人工智能等基礎課程的核心，為計算機相關專業課程體系提供基礎理論支撐，[1]早在1977年被IEEE認定為是計算機相關專業的核心主干課程，是進一步學習后續相關課程以及進行研究和開發的基礎。[2-3]離散數學是現代數學的一個重要分支，以研究離散量的結構及其之間的關系為主要目標，其內容主要包括數理邏輯、集合論、代數系統和圖論四大部分。課程的主要特點是理論性強、高度抽象、概念和定理較多，且課程基本安排在低年級階段，為學生的學習、基礎內容的掌握以及靈活應用帶來了一定的難點。[4]隨著工程教育專業認證的持續推進，當前的課程建設和教學過程必須圍繞工程教育專業認證的要求，堅持以學生為中心、倡導成果導向型的教育理念，[3]圍繞課程目標和專業培養計劃中的達成度要求，革新教學理念、探索新的教學模式是高校離散數學教學中的迫切任務之一。

二、“離散數學”課程教學現狀

離散數學是一門純數學思維的高度抽象和邏輯性特別強的課程，概念、定理以及一系列的推理和證明較多，導致學生學習起來有些吃力，毋論基于所學知識進行離散結構的建模和應用，嚴重影響了學生數學抽象思維和概括能力、計算和算法思維能力以及實踐和創新能力的培養。隨著工程教育專業認證和各種教學改革的不斷推進，高校采取了眾多新的教學方法和教學手段，如線上線下相結合的教學形式。[5-8]

針對計算機類相關專業的離散數學教學也在積極開展各方面的探討，文章以蘭州交通大學計算機科學與技術專業為例，該專業離散數學開設48個學時，內容涵蓋數理邏輯、集合論、代數結構和圖論這四大部分，其中數理邏輯主要包括命題邏輯和謂詞邏輯兩章的內容，集合論主要包括集合、關系和函數三部分的內容，代數系統主要包括群、環、域、格和布爾代數等相關的內容，圖論主要介紹圖的基本概念、表示和一些特殊圖，以及樹的相關概念。

目前教學組針對計算機科學與技術專業的授課以課堂講授為主，并輔助以學銀在線平臺王海涌老師負責的“離散數學”省級精品課程為輔，依據課程大綱要求，按照課前、課中和課后三個環節組織開展線上線下混合式的教學。課前，通過線上課程視頻的學習和節段測試，掌握課程基本內容，在線反饋學習疑難點，并在課中教師講解過程中尋求解決;課后，通過習題作業和固定以及非固定時間的答疑研討環節，鞏固所學知識從而提升學習效果。除此之外，要求學生做好課程學習筆記，作為平時成績的一部分，結合期末閉卷考試，形成最終的課程成績。雖然目前的教學模式結合了最新的線上線下的教學等手段，同時從課前、課中和課后三個方面做到全程的課程學習，但是針對工程教育認證的基本理念，課程教學過程中還存在一些問題。

首先，教學過程仍然以教師的課堂講授為主。由于課程本身性質，課程內容高度抽象、理論性強、基本概念和定理較多，學生學習中感到枯燥乏味，課程教學中學生互動不積極、不主動，“以學生為中心”的教育理念并沒有真正凸顯出來。

其次，雖然要求學生在課前借助線上課程進行了學習，但是大部分學生仍是以完成學習任務為目的，并沒有達成認真預習和學習新內容的目的，更談不上發現該節課程中的疑難點和問題。

最后，作為一門數學課程，離散數學主要講授基本概念和方法，整個教學活動有點類似于高中“填鴨式”的教學，雖然通過設計不同的教學手段，可以讓大多數同學掌握基本知識，但是學生只知其然，不知其所以然，不能運用所學知識解決實際的具體問題，對所學知識的應用顯得比較笨拙，往往只會生搬硬套。以“成果產出為導向”的教學理念沒有得到很好的詮釋。

鑒于離散數學授課中存在的問題，本研究對目前離散數學課程教學進行綜合考慮，嘗試加入一些新的內容和方法，從而提升教學效果，讓課程教學更加貼近工程教育認證的教學理念。

三、以學生為中心的“離散數學”課程整體設計

本研究針對目前離散數學教學現狀和存在的問題，融合工程教育專業認證理念，達到課程大綱中課程目標培養的基本要求;針對教學內容多與安排課時少的具體矛盾，基于翻轉課堂手段并結合課程實踐類題目設計，研究全新的混合式教學模式，開展在計算機相關專業的推廣和實踐，以學生為中心，突出成果導向，讓學生既能掌握課程基本內容，又能有所應用，從而提高教學效果和質量。圖1為擬開展教學模式整體結構框圖。

工程教育專業認證注重成果產出，要求以學生為中心，不僅注重學生對專業基礎知識的掌握，更注重學生應用所學知識解決復雜工程問題的能力的培養。目前離散數學課程大綱嚴格按照工程教育專業認證的要求和標準定制，新教學模式的探索以課程大綱為依據，在明確課程目標和基本教學內容的基礎上，結合翻轉課堂和混合式教學的特點，融入一定學時的實踐類教學設計、課程思政元素，從教學過程、課程考核、達成度評價以及持續改進等方面展開。

（一）教學過程設計：以產出為導向并突出學生的中心地位

本次教學改革結合線上課程學習和翻轉課堂，采用混合式教學模式，教學過程包括了課前、課中和課后三個階段，其中課前主要借助學銀在線網課平臺和學習通App完成，課中為線下課堂教學，課后采用線上和線下相結合的方式。

課前，要求學生充分利用學銀在線網課平臺中由王海涌老師負責的離散數學在線課程平臺，安排學生課前自學線上課程相關內容，提前學習新課內容，完成每個小節對應的測試題目，并在線上課程學習期間認真做好筆記，記錄自學過程中遇到的問題以及疑難點。同時由任課教師根據所要學的內容特點，酌量布置一定的實踐類思考題目，讓學生能對所學知識有所拓展。

課中，主要是線下課堂教學環節，以翻轉課堂的形式開展。首先，每節課安排2名學生梳理和講解線上新課程的內容和問題;其次，安排學生以4人一組進行小組討論，任課教師對各組同學進行針對性提問和質疑;最后，任課教師根據新課內容和思考題目，對本節課的重難點進行總結，對可能碰到的問題以及可能的應用場景進行解讀。每部分課程結束時，至少安排1個學時的實踐類課程，設計與本部分課程相關的實踐類題目，并借助MATLAB和Mathematica數學工具完成具體的實踐課程操作，在實踐類課程設計時可以從科普、科學家素養、科技報國和國家科技發展戰略等方面引入思政內容。

在實踐課環節講解與該部分相關的實踐類題目具體要求和擬實現的結果;通過對相關軟件中工具包或涉及的函數等的講解，讓學生掌握基本的軟件建模和分析方法，如MATLAB中具有大量圖論研究和分析相關的工具包，[9]Mathematica中內置了大量與離散數學相關的函數，幾乎能涵蓋離散數學所有的教學內容和應用，[10]操作簡單、學習和實現方便，結合當前人工智能領域的一些熱點問題，設計相關的題目，不僅能鍛煉學生的動手實踐能力，讓學生明白離散數學不只是抽象的數學概念，在具體的問題求解中也具有現實的應用價值，真正做到以產出為導向，能激發學生的學習興趣和積極性。

課后，主要通過線上線下相結合的形式，讓學生真正充分使用網課平臺的學習資源，實現老師和學生、學生和學生間的討論互動。每節課后都安排課后作業，學生需要在規定時間內完成，并提交到線上學習平臺以便任課教師進行線上批閱。任課教師每周安排固定的答疑時間，用于對學生在本周學習中的相關問題進行解答，包括實踐類課程內容，可以借助線上網課平臺、QQ和微信等社交平臺，也可以讓學生到辦公室進行線下的面對面討論，通過線上線下多種形式的答疑討論，讓學生充分參與到課程的教學過程中，真正做到以學生為中心。

（二）考核方式設計：注重學習過程的考核

在傳統的教學模式中，課程考核主要以期末閉卷考試為主，這種教學存在諸多弊端，如有些學生平時不認真學習，通過期末考試周的突擊也能取得不錯的成績，而有些學生可能平時學習比較認真，但是受到某些因素的影響，期末考試發揮的并不理想。因此，對于高等教育中的課程教學，凸顯學習過程性考核具有重要意義，這也是工程專業教育認證一直倡導的理念。為此，學校教務處專門組織全校所有課程進行了課程大綱修訂，突出過程性考核的重要性，修訂后的考核辦法中過程性考核成績占到總成績的50%，且從多個角度對學生的學習過程進行評價和考核，從而讓學生將課程學習的重點回歸到日常學習上。通過此次改革，本課程的過程性考核主要包括線上課程的學習和階段性的線上測試、課后作業、答疑研討以及學習筆記這四部分構成，結合期末的閉卷考試，形成最終的課程成績。

（三）課程目標達成評價：注重問題總結和持續改進

課程教學的目的是讓學生掌握此課程的基礎知識和基本方法、實現對應能力的培養，達到課程大綱中培養目標的要求，能夠應用所學知識解決實際工程問題。一個完整的課程體系建設，目標達成度的計算和評價也是非常重要的一環，這也是工程教育專業認證中進行課程評價和總結并做出持續改進的重要部分。為此，本課程在改革中除了基本的課程目標達成度計算與分析之外，也設計了學生達成度自評和教師達成情況自評，在課程結束之后，組織所有學生就課程目標的達成情況進行自評，學生根據自己學習情況，對應不同的課程目標，分別對其進行評分（評分值介于0到100之間），并計算所有同學評分的平均值，結合教師本人的評價成績最終給出自評結果。根據得分將達成情況分為優（大于90）、良（介于80和90之間）、中（介于70到80之間）、合格（介于60到70之間）和不合格（小于60）幾個檔次。在自評之余，邀請部分學生就授課中同學關心的問題以及授課方法等給出一些針對性的建議和意見，并結合教師之間互相聽課的情況，對課程組內其他老師在聽課期間的一些建議和意見進行總結分析，融合課程目標評價結果，任課教師對此門課程教學過程中的問題進行全面梳理和總結，并在下次課程教學中做出改進，從而確保課程的持續改進和發展。此外，閉卷考試卷面成績分析以及對應試題內容的分析也是課程目標評價當中的另一重要組成，通過對卷面成績構成以及丟分項較多的題目分析，及時對試卷結構、題目設計、知識的分布以及后期授課中重難點的把握等各方面做出調整，這也是教學持續改進中的重要環節。

四、結語

離散數學課程是計算機類相關專業課程體系中的核心基礎課程，在工程認證教育理念和框架下，開展離散數學教學改革是各大高校不斷探索和思考的問題。綜合分析現有教學資源和教學方法，針對工程教育認證中“以學生為中心”和“以產出為導向”并堅持“持續改進”的理念，探索了一種結合翻轉課堂和實踐案例的混合式教學方法。設計涵蓋課前、課中和課后整個教學階段的教學模式，突出學生的主體地位，充分調動學生的學習積極性并注重學習過程的考核。最后，結合科學研究中的具體問題，設計針對性的教學實踐案例，在加強理論學習的基礎上，借助數學工具等軟件完成對實踐案例的求解。不僅能加強學生對基礎知識的理解，還能讓學生真正體會到所學知識在具體問題中的應用，真正做到成果產出，調動學生的學習積極性、激發學生的學習興趣。

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（責任編輯：邵秋露）