聚焦核心素養 發展數學思維 提升關鍵能力

［摘 要］在核心素養導向下，中考數學對學生綜合能力的考查力度不斷加大，“綜合與實踐”題逐漸成為新課程改革背景下中考數學命題的新趨勢。但學生在解答這類試題時面臨諸多挑戰，教師在進行解題教學時也遇到了困難。文章以一道“綜合與實踐”題為例，從解題方法和核心素養兩個維度對此類試題進行分析與思考，為“綜合與實踐”題的研究提供參考，并提出初中數學教學應關注學生數學核心素養的提升、數學思維的發展以及體現“教—學—評”一致性的建議。

［關鍵詞］“綜合與實踐”題；核心素養；數學思維；解法探究；教學啟示

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）23-0001-05

在核心素養的引領下，初中數學學業水平考試（全文簡稱“中考”）中“綜合與實踐”題應運而生，成為中考的一道亮麗風景線?！熬C合與實踐”題大致可分為實踐操作型、思想方法學習型和新概念定義型三大類，其背景與學生的日常生活、社會實際和跨學科知識緊密聯系，強調在解題過程中對學生的思維進行訓練，要求學生能夠綜合運用數學知識解決問題?！熬C合與實踐”題通過設計開放性問題，引導學生積極探索和創新，旨在發展學生的數學思維、提升學生的數學核心素養和綜合能力。

在解答“綜合與實踐”題時，學生面臨諸多挑戰，如題意復雜難以讀懂、缺乏創新思維、缺少實際操作經驗、數學語言表達困難等。這些挑戰迫切要求教師對教學策略進行調整，給予學生正確引導，促進學生綜合能力的提升。本文對一道思想方法學習型“綜合與實踐”題的解法進行探究，為教師提供教學參考。

一、試題呈現與分析（評）

（一）試題呈現

（2021—2022學年湖南省岳陽經濟開發區七年級上學期期末數學試題改編）

（1）【特例感知】如圖1，已知線段[MN=30 ][cm]，[AB=2 ][cm]，[C]、[D]分別是[AM]、[BN]的中點。若[AM=12] [cm]，則[CD=]" " " " " " " " " nbsp; "。

（2）【知識遷移】我們發現角的很多規律和線段一樣，如圖2，已知[∠AOB]在[∠MON]內部轉動，射線[OC]和射線[OD]分別平分[∠AOM]和[∠BON]。

①若[∠MON=150°]，[∠ΑΟΒ=30°]，求[∠COD]的度數；

②請你猜想[∠AOB]，[∠COD]和[∠MON]三個角有怎樣的數量關系，并說明理由。

（3）【類比探究】如圖3，[∠AOB]在[∠MON]內部轉動，若[∠MON=150°]，[∠ΑΟΒ=30°]，[∠MOC=k∠AOC]，[∠NOD=k∠BOD]，則[∠COD]的度數為" " " " " " " " （用含有[k]的式子直接表示計算結果）。

（二）試題分析

本題涵蓋線段中點、角平分線等知識點。本題的問題設計層層遞進，遵循由特殊到一般的探究規律，有助于學生積累數學基本活動經驗，養成良好的邏輯思維習慣。對于第（1）問，學生需厘清線段之間的關系推理出特定線段的長度，要求學生基于圖象、題設條件感知線段間的數量關系。第（2）問要求學生將一維線段的解題思路遷移應用到二維角度問題中，考查學生能否正確理解并熟練運用第（1）問的解題策略。第（3）問在第（2）問的基礎上進一步將具體角度關系抽象化，引導學生探究[∠AOB]、[∠COD]和[∠MON]三者之間更為一般的數量關系，考查學生能否將已有的解題經驗和方法遷移應用到新問題中，以有效解決問題。本題旨在讓學生“會用數學的思維思考現實世界”“會用數學的語言表達現實世界”，培養學生的運算能力、推理能力、模型觀念、應用意識和創新意識。

二、解法探究與賞析（學）

（一）解法探究

本題難度不大，但通過“一題多解”能夠多角度、多維度地促進學生核心素養、綜合能力的提升及數學思維的發展?；诔踔猩恼J知水平，本文主要探討以下幾種解法。

［問題（1）求解］

該題為填空題，主要利用線段中點的相關知識進行求解，存在多種可能的解題思路。鑒于[CD=AC+AB+BD]以及[AB]的長度已確定，解題的關鍵在于把未知量轉化為已知量，即將[AC]和[BD]用已知的量[AB]來表示。下面展示4種解題思路及對應的解法。

［思路1］直接分析題設條件、各線段之間的數量關系，計算出[AC]和[BD]的長度，進而求得[CD]的長度。

［解法1（直接法）］∵[MN=30]，[AB=2]，[AM=12]，∴[BN=MN-AB-AM=16]，∵點C、D分別是AM、BN的中點，∴[AC=12AM=6]，[BD=12BN=8]，∴[CD=AC+AB+BD=6+2+8=16]。

［思路2］將其中一個未知數設為變量，這里假設[AC=x]，此時的關鍵思想仍然是化歸與轉化，用已知的量表示[BD]，這樣就容易求出[CD]的長度。

［解法2（方程思想）］設[AC=x]，∵[MN=30 ]，[AB=2]，點C、D分別是AM、BN的中點，∴[AM=2AC=2x]，∴[BN=MN-AB-AM=30-2-2x=28-2x]，又∵[BD=12BN]，∴[BD=28-2x2=14-x]，∴[CD=AC+AB+BD=x+2+14-x=16]。

［思路3］在設定一個變量的基礎上，進一步設定兩個變量，這里假設[AC=x]，[BD=y]，此時[CD=x+y+2]，無須分別求出[x、y]，求得[x+y]后整體代入即可求出[CD]的長度。

［解法3（整體思想）］設[AC=x]，[BD=y]，∵點C、D分別是AM、BN的中點，∴[MC=AC=x]，[ND=BD=y]，∵[MN=30]，[AB=2]，∴[MN=MC+AC+AB+BD+ND=x+x+2+y+y=30]，即[2x+2+2y=30]，[x+y=14]，∴[CD=AC+AB+BD=x+2+y=x+y+2=14+2=16]。

［思路4］把線段[MN]想象成一段繩子，此時可將繩子上的[A、B]兩點重合，即把[AB]段“割掉”，抑或是在繩子[MN]的一端“補上”一段與[AB]長度相等的繩子。

［解法4（割補法）］“割”：如圖4，將繩子上的[A、B]兩點重合，重合的點記作點[H]，此時整段繩子[MN=28]，由題意可得[C、D]分別是[HM、HN]的中點，得[HC=12HM=7]，[HD=12HN=7]，則[CD=HC+HD=7+7=14]，此時拉直繩子，將隱藏的[AB]段復原，由于[AB]段位于[CD]段中間，且[AB=2]，所以拉直后的[CD]段長度還需加上[AB]段的長，即[CD=14+2=16]。這一思路說明只要題設條件不變，線段[AB]的位置可以自由移動（點[A]不超過點[M]，點[B]不超過點[N]），其中相關量之間的數量關系不變。

“補”：如圖5，若在繩子[MN]右端“補上”一段與[AB]長度相等的繩子，記這段繩子為[NH]，此時[NH=AB=2]，[MH=32]，因為[C、D]分別是[AM]、[BN]的中點，所以[AC=12AM]，[BD=12BN]，又因為[CD=AC+AB+BD]，將相關量代入即可求得[CD=12MH=12×32=16]。

［問題（2）求解］

①這一小問是對第（1）問的解法進行遷移，雖然條件簡化，問題情境不同，但解題思路類似。在列式計算時可以明確第（1）問感知的數量關系，也說明了只要題設條件不變，試題情境可以變化，其中相關量之間的數量關系不變。具體解法如下：

［解法1（直接法）］∵射線[OC]和射線[OD]分別平分[∠AOM]和[∠BON]，∴[∠AOC=12∠AOM]，[∠BOD=12∠BON]，∴[∠AOC+∠BOD=12∠AOM+12∠BON=12（∠AOM+∠BON）]，∵[∠MON=150°]，[∠AOB=30°]，∴[∠AOM+∠BON=∠MON-∠AOB=120°]，∴[∠AOC+∠BOD=12×120°=60°]，∴[∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=60°+30°=90°]。

［解法2（方程思想）］設[∠AOC]為[α]，∵射線[OC]和射線[OD]分別平分[∠AOM]和[∠BON]，∴[∠AOM=2∠AOC=2α ]，∵[∠MON=150°]，[∠AOB=30°]，∴[∠BON=∠MON-∠AOM-∠AOB=150°-2α-30°=120°-2α]，∴[∠BOD=12∠BON=12×（120°-2α）=60°-α]，∴[∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=α+30°+60°-α=90°]。

［解法3（整體思想）］設[∠AOC]為[α]，[∠BOD]為[β]，∵射線[OC]和射線[OD]分別平分[∠AOM]和[∠BON]，∴[∠AOM=2∠AOC=2α]，[∠BON=2∠BOD=2 β]，∵[∠MON=150°]，[∠AOB=30°]，∴[∠MON=∠AOM+∠AOB+∠BON=2α+30°+2 β=150°]，即[2（α+β）=120°]，[α+β=60°]，∴[∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=α+30°+β=α+β+30°=60°+30°=90°]。

［解法4（割補法）］相較于前三種解法，這一解法能夠快速計算出[∠COD]的度數，但其解題步驟的表述并不簡潔。因此，本文僅呈現其解題思路，而不詳細展示解題過程。

“割”：如圖6，順時針旋轉[∠MOA]，使射線OA與OB重合，重合的射線記作OH，此時[∠MON=120°]，由射線[OC]和射線[OD]分別平分[∠HOM]和[∠HON]，得[∠HOC=12∠HOM]，[∠HOD=12∠HON]，接著由[∠COD=∠HOC+∠HOD]代入相關量可求出[∠COD=60°]。此時將射線[OA]和[∠MOA]旋轉至原來的位置，因為[∠AOB]在[∠COD]內部，且[∠AOB=30°]，所以[∠COD]實際上還應增加[∠AOB]的度數，即[∠COD=90°]。

“補”：如圖7，若在[∠MON]右側“補上”與[∠AOB]度數相等的角，記該角為[∠NOH]，此時[∠NOH=∠AOB=30°]，所以[∠MOH=∠MON+∠NOH=150°+30°=180°]，因為射線[OC]和射線[OD]分別平分[∠AOM]和[∠BON]，所以[∠AOC=12∠AOM]，[∠BOD=12∠BON]，又由[∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD]，代入相關量可求得[∠COD=12∠MOH=90°]。

②這一小問要求學生探究[∠AOB]，[∠COD]和[∠MON]三者之間的數量關系，實際上是對前兩個問題中已感知和明確的數量關系的驗證，由此得出結論：從線段到角度，只要題設條件不變，試題情境可以變化，線段[AB]（在線段[MN]上）或[∠AOB]（在[∠MON]內部）可以自由移動，其中相關量之間的數量關系不變，即[CD=MN+AB２]，[∠COD=∠MON+∠AOB2]。而該問題的求解思路仍然與前兩個問題一致，這里展示直接法的解題過程。

解：∵射線[OC]和射線[OD]分別平分[∠AOM]和[∠BON]，∴[∠AOC=12∠AOM]，[∠BOD=12∠BON]，∴[∠AOC+∠ΒOD=12∠AOM+12∠BON=12（∠AOM+∠BON）]，∵[∠AOM+∠AOB+∠BON=∠MON]，∴[∠AOM+∠BON=∠MON-∠AOB]，∴[∠AOC+∠BOD=12（∠MON-∠AOB）]，∴[∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=12（∠MON-∠AOB）+∠AOB＝12（∠MON+∠AOB）]。

［問題（3）求解］

第（3）問在[∠MOC=k∠AOC]，[∠NOD=k∠BOD]（即射線[OC]和射線[OD]分別為[∠AOM]和[∠BON]的[k]等分線）的條件下求[∠COD]，實則還是探究[∠AOB]、[∠COD]和[∠MON]三者之間的數量關系。此時在已有結論的基礎上，進一步明確在題設條件不變時，射線[OC]和射線[OD]可以是[∠AOM]和[∠BON]的任意等分線，[∠AOB]、[∠COD]和[∠MON]仍然具有這樣的數量關系：[∠COD=∠MON+k∠AOBk+1]。具體求解過程如下：

∵[∠MON=150°]，[∠AOB=30°]，∴[∠AOM+∠BON=120°]，∵[∠MOC=k∠AOC]，[∠NOD=k∠BOD]，∴[∠AOM=∠MOC+∠AOC=（1+k）∠AOC]，[∠BON=∠NOD+∠BOD=（1+k）∠BOD]，∴[∠AOC+∠BOD=1k+1∠AOM+1k+1∠BON=1k+1（∠AOM+∠BON）=120°k+1]，∴[∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=120°k+1+30°]。

（二）解法賞析

從解法來看，該題在第（1）問探究的4種解法適用于各個小問，是典型的“一題多解”題。而當一道題有多種解法時，通常表明這些不同的解法在知識點上具有內在的邏輯聯系或相互對應的關系?；仡櫛绢}的4種解法，其涉及的知識貫穿小學和初中，依次為“數的運算→方程的運算→式的運算→圖轉換成式的運算”，體現了知識體系的螺旋上升，符合學生的認知發展規律。本題從特例感知、拓展遷移到類比探究，問題層層遞進，體現了從特殊到一般的思想方法；由線段問題轉化為角度問題，通過類比第（1）問的解法得出第（2）問的解法，類似的，第（3）問也類比了第（2）問的解法，兩者均體現了類比的思想方法。第（1）問，解法2假設一個變量為[x]，但解題過程不求出[x]的具體數值，而是整體代入求得結果；解法3假設兩個變量[x]和[y]，依然不求出[x]和[y]的具體數值，而把[x+y]當作一個整體，求得[x+y]的數值直接整體代入，兩種解法體現了“設而不求，整體代入”的思想。

三、試題與課程標準中核心素養表現的一致性分析

核心素養是中考試題命題的主要依據，中考試題對學生核心素養的考查情況成為評估試卷質量的重要指標。因此，對試題與課程標準中核心素養表現的一致性進行分析至關重要。喻平教授在研究布魯姆、威爾遜等學者關于目標分類的理論后，根據課程標準中的核心素養表現，將數學核心素養劃分為三個水平——知識理解、知識遷移、知識創新，不僅為數學核心素養的評價提供借鑒，還為學業質量的評價提供參考框架。

鑒于當前試題評價主要側重于學生能力的評估，本文在對試題的數學核心素養水平進行測定時，參考喻平教授基于數學核心素養水平劃分提出的內容框架。具體的評價框架見表1。（注：[A1]表示抽象能力水平一）

本文選取的試題共3小問，總分為12分?；谏鲜鰯祵W核心素養水平評價框架，從核心素養的類型、水平及賦分情況三個方面對本文試題的解題過程進行分析，得出各個能力的分值和比重見表2。

（一）核心素養占比分析

本文所選試題的解題過程主要考查學生的運算能力、推理能力、模型觀念、應用意識和創新意識等關鍵能力，但這些能力在試題中所占的比重并不均衡。其中，推理能力、應用意識和創新意識各占25%，占比最高，是考查的重點；抽象能力、幾何直觀、空間觀念和數據觀念則未涉及（如圖8）。出現這樣的情況，反映了試題設計更傾向于考查學生的知識遷移應用能力，即學生將所學知識應用于解決新情境問題的能力。

（二）核心素養水平占比分析

數學核心素養的考查在不同水平上呈現出顯著差異。具體而言，水平一的考查占比最高，達到了75%，超過總比重的一半，水平二的考查占比為25%，占總比重的四分之一，而水平三未在試題中得到體現（如圖9）。這表明本文所選試題的難度相對較小，主要側重于考查學生對數學知識的理解和應用，而在更高層次的認知能力，如抽象思維、空間想象和數據處理等方面，考查的深度和廣度有限。即本文所選試題注重考查學生基礎概念的掌握和初步應用，而非高級的認知技能。

根據上述分析結果得出，本文所選試題側重考查學生的推理能力、應用意識和創新意識，與課程標準強調培養學生模型觀念、應用意識和創新意識的目標基本一致。這說明本文所選試題有效落實了課程標準的要求，有助于學生的數學核心素養得到全面提升。

四、教學啟示（評）

基于一道“綜合與實踐”題的解法探究和數學核心素養水平分析結果，本文提出以下教學建議：

（一）在“綜合實踐”中提升學生數學核心素養

隨著課程教學改革的推進，中考數學試題越來越強調對學生核心素養和綜合能力的考查，數學教學需要適應這一變化。例如，本文所舉例的“綜合與實踐”題中，通過分析、明確線段或角度之間的數量關系，推理出相關量的數量關系，這一由已知推未知的過程提升了學生的推理能力；而類比探究的過程，要求學生能夠將類似的解題思路、方法運用到新的問題情境，提升了學生的應用意識和創新意識。因此，綜合實踐的過程有助于提升學生的關鍵能力，進而提升學生的核心素養。教師在實際教學中應多設計綜合實踐活動，讓學生在綜合實踐中提升數學核心素養。

（二）在“一題多解”中發展學生數學思維

近年來，中考數學對“綜合與實踐”題的考查比例逐年遞增，此類試題不僅要求學生能夠掌握數學知識，還要求學生能夠靈活運用數學思想方法，如化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想等，旨在考查學生對數學知識的綜合運用能力，以及在解決實際問題時所展現的數學思維和方法。而“一題多解”鼓勵學生探索多種解題途徑，不僅能促進學生對數學概念的深入理解，還能幫助學生發展數學思維和提高問題解決能力。

解題對學生思維品質的提升至關重要。在一題多解的教學中，教師應對各種解法進行分析和歸類，引導學生厘清不同解法之間的區別與聯系，從而培養學生深入探究問題本質的思維習慣。本文從初中生的認知水平出發，分析了試題的4種截然不同的解法，引導學生提煉不同解法的核心思想和特點，明確它們之間的邏輯聯系。例如，解法1是數量關系的推理運算，特點是直接、簡單；解法2涉及一元一次方程，解法3涉及二元一次方程，兩者的特點是“設而不求，整體代入”；解法4展現了創新思維，且有快速、高效的顯著特征?？傊?，不同的解法源自不同的思維視角和思考方向，但都能有效地復習知識、拓展思維。

（三）在“課堂教學”中體現“教—學—評”一致性

在課堂教學中強調“教—學—評”一致性，意味著教學目標、教學過程和評價方式之間保持一致性和連貫性?！敖獭獙W—評”一致性能確保學生明確學習目標，教師能夠有效地助力學生學習目標的實現，同時教學評價能夠準確反映學生的學習成果和進步情況。

同樣的，教師在課堂教學中應注重“教—學—評”一致性，及時反思和評價自身的教學，進而調整教學策略，確保教學內容和活動與課程標準的要求相符合，為學生的全面發展打下堅實的基礎。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“評價建議”部分指出：“發揮評價的育人導向作用，堅持以評促學、以評促教。”本文通過對一道典型的“綜合與實踐”題的解法探究，展現了“以評促教”的全過程，體現了數學教學應以學生為中心、以評價為手段、以提升學生的核心素養為目標；經過不斷地教學實踐和評價反思，更好地理解和落實了新課標的要求，為學生的終身學習和全面發展奠定了堅實的基礎。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 邱志剛，遠勛平.一道中考“綜合與實踐”題的解法分析與教學啟示[J].理科考試研究，2023，30（22）：25-27.

[2]" 黃賢明.聚焦核心素養 重視綜合實踐 提升數學閱讀：以2021年蘇州數學中考第27題為例[J].中學數學雜志，2021（12）：55-57.

[3]" 喻平.《義務教育數學課程標準（2022年版）》學業質量解讀及教學思考[J].課程·教材·教法，2023，43（1）：123-130.

[4]" 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022．

[5]" 萬書河，李巖.思維引領·考查本質·凸顯應用：2023年中考數學試題命題分析及復習教學建議[J].中國數學教育，2024（1）：4-15.

（責任編輯 黃春香）