核心素養(yǎng)導(dǎo)向背景下的高中立幾識圖用圖能力的培養(yǎng)研究

摘 要：作為高中數(shù)學(xué)知識體系重要分支的立體幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生普遍存在著識圖、用圖、作圖能力薄弱的問題.本文以近幾年高考題目為實例，結(jié)合平時教學(xué)情況，闡述了基于核心素養(yǎng)導(dǎo)向培養(yǎng)立幾識圖作圖能力的教學(xué)應(yīng)對措施.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；模型化；向量化；坐標(biāo)化

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）24-0056-03

收稿日期：2024-05-25

作者簡介：蔡娜（1983—），女，碩士，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

新課程新教材背景下，“一核、四層、四翼”的高考評價體系，推動著高考命題的變革，由以往的能力立意向核心素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變.立體幾何作為高中數(shù)學(xué)知識體系的重要分支，學(xué)習(xí)過程主要體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也就是“想、證、算”的過程.

作為立體幾何學(xué)習(xí)最重要的環(huán)節(jié)之一，識圖和用圖能力主要體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的基本認(rèn)知，以及由常規(guī)幾何體變形出來的幾類圖形的轉(zhuǎn)化和處理能力.對于沒有圖形的題目，能考查學(xué)生的作圖能力；對于已知圖形的題目，位置和數(shù)量關(guān)系的研究則體現(xiàn)了學(xué)生識圖用圖的能力，即“無圖作圖”“有圖用圖”.這些更多地依賴于學(xué)生平時訓(xùn)練建立起來的知識體系和常見的處理方法的掌握程度.但是學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何的過程中總是力不從心，對一些基礎(chǔ)方法、基本模型的應(yīng)用及變形無法靈活使用，以致不能很好地識圖、用圖.筆者從以下幾點，闡述能力培養(yǎng)的方式方法.

1 示范引導(dǎo)培養(yǎng)識圖方法

教師要注重對識圖方法的示范與引導(dǎo)，帶領(lǐng)學(xué)生循序漸進(jìn)、有目的、有思考地從直觀到抽象，清晰完整地讀圖，并培養(yǎng)學(xué)生從圖中收集、分析和處理問題的能力^［1］.筆者以一道2023年高考真題為例，展示如下.

例1 （2023年北京高考第9題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖1，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若AB=25 m，BC=AD=10 m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面ABCD的夾角的正切值均為√ˉ14/5，則該五面體的所有棱長之和為（ ）.

A.102 m B．112 m C．117 m D．125 m

題中的幾何體是一個非常規(guī)的幾何體，有別于學(xué)生認(rèn)知范圍內(nèi)常見的柱體、錐體、臺體，也就是一個全新的幾何體.考場上學(xué)生遇到新問題，容易慌亂，看不懂圖，也就無法進(jìn)一步理解題意.立體幾何識圖、用圖的實質(zhì)就是觀察并識別條件和圖中所要傳遞與表達(dá)的數(shù)學(xué)信息，并且合理使用與轉(zhuǎn)化.因此，教師在分析題目時，應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生先從認(rèn)識圖形開始，比如可以設(shè)置問題：題中的“五面體”是由什么樣的平面圖形組成的？每一個面具有什么樣的幾何特征？常規(guī)的幾何特征要扣緊哪些？剖析認(rèn)識完幾何題面的特征，接著就是如何找到題中的二面角，也就是如何用圖的問題.這樣，利用二面角的平面角的常規(guī)作圖方式，通過做面的垂線和交線的垂線，循序漸進(jìn)地找到二面角的平面角.

類似這種非常規(guī)圖形的題目在近年的高考試題中層出不窮.筆者認(rèn)為，平時教學(xué)時教師如果能“刻意”示范引導(dǎo)學(xué)生如何識圖，以及用各種途徑促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)識圖方法，促使學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光體驗、操作、感悟，長此以往，形成識圖習(xí)慣，就能提升學(xué)生識圖的能力，提高學(xué)生的幾何直觀想象的核心素養(yǎng).

2 模型滲透培養(yǎng)用圖能力

例2 （2022年新高考全國Ⅱ卷第11題）如圖2，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB=ED=2FB，記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V₁，V₂，V₃，則（ ）.

A.V₃=2V₂ B．V₃=V₁

C．V₃=V₁+V₂ D．2V₃=3V₁

本題在已有圖形下，考查學(xué)生求解三個錐體的體積，其問題關(guān)鍵在于如何快速正確地求出V₃.從方法上，我們可以用等體積法、割補法、向量法解決.然而，實際考查結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：等體積法中以誰為底面、以誰為高線是轉(zhuǎn)化的難點，而這正體現(xiàn)了學(xué)生立幾學(xué)習(xí)中證明線面垂直的弱點.如果學(xué)生能想到割補法，將非常規(guī)幾何體轉(zhuǎn)化成常規(guī)幾何體，那么平時養(yǎng)成的識圖作圖能力就顯得格外重要了.將該不規(guī)則幾何體補成常見的正方體，利用正方體的體積和其余部分四棱錐的體積，便可以達(dá)到求解V₃的目的.所以，本題很好地詮釋了知識為基、能力為重的命題理念，做適當(dāng)?shù)妮o助線等是常考內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)的基本功，充分體現(xiàn)了學(xué)生用圖的能力，也就是核心素養(yǎng)導(dǎo)向的體現(xiàn).當(dāng)然，從應(yīng)試角度，本題在幾何法束手無策的情況下，向量法不失為關(guān)鍵時刻救命得分的稻草.章建躍教授曾經(jīng)說過，立體幾何課程改革中應(yīng)強調(diào)解析幾何方法^［2］.

筆者還注意到，這道題的解法，其實都是求幾何體的表面積和體積時候常見的處理方法，而涉及的幾個錐體，也是平時的常規(guī)圖形.因此，我們平時還要給學(xué)生樹立“模型化”的意識，強化常見的幾類模型，除了常見的正方體、長方體、球體，還有如等腰共底的三棱錐、墻角模型、外接球模型等，都應(yīng)該讓學(xué)生對它們的常見處理方式了然于胸，研究其典型的結(jié)構(gòu)特征，深度挖掘蘊含的空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系.包括新高考Ⅰ卷第9題、全國甲卷文科第9題、全國乙卷理科第7題，都是以基本圖形為依托，突出對學(xué)科基本概念、基本原理的考查，注重通性通法，淡化特殊技巧解題，強調(diào)對知識本源性方法的深入理解和綜合應(yīng)用.筆者認(rèn)為高三復(fù)習(xí)階段可以以《常見幾何體的體積》這樣的微專題來呈現(xiàn)比較適合，熟練模型、提煉方法、強化訓(xùn)練、明確認(rèn)知，而這些都將內(nèi)化為學(xué)生解決某一類問題的核心競爭力，是考場上迅速找到入題點的基本功，可贏得寶貴的時間與分?jǐn)?shù).

3 合理思辨培養(yǎng)發(fā)散思維

即便有了識圖、用圖的基本功，也不意味著可以一勞永逸.因為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，除了空間直觀想象，還有很重要的邏輯推理核心素養(yǎng).

例3 如圖3，在長方體AC₁中，AD=AB=2，AA₁=1，E為D₁C₁的中點，平面ABD₁與平面B₁EC的交線為l，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A.直線BD₁∥l

B.平面BDD₁∥平面B₁EC

C.三棱錐A-BDD₁的外接球的表面積是9π

D.直線l與平面CC₁D₁D所成角的正弦值為2/3

這是一道交線不可見的問題.對于A選項的判斷，兩條路徑可走.要么找出交線是誰，要么找到與交線在位置上等價的可視化的直線.這就很好地體現(xiàn)了學(xué)生的思辨能力.選擇走第一條路徑的學(xué)生，需要找到兩個面的公共點，所以得把面延伸，這個過程滲透了作圖能力.

選擇第二條路徑的學(xué)生，需要證得與BD₁平行的直線，這個過程需要幾何定理支撐和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓裕瑵B透了用圖能力.而懂得兩條路徑都可行的，則是滲透了對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解，具有扎實的數(shù)學(xué)功底和很強的思辨性.筆者相信，在教師們?nèi)辗e月累的教學(xué)過程中，只要不斷滲透數(shù)學(xué)思想與方法，不斷帶領(lǐng)學(xué)生思考與分析，從多種方法中比較、提煉，一定能促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成邏輯推理和思辨論證.

4 核心素養(yǎng)培養(yǎng)創(chuàng)新能力

隨著這幾年高考改革，創(chuàng)新題型不斷涌現(xiàn).例如立體幾何中的動態(tài)問題、多個學(xué)科交匯問題、以數(shù)學(xué)文化為背景的命題等，就是這幾年出現(xiàn)的創(chuàng)新試題.動態(tài)問題對學(xué)生來說始終是難題，既要學(xué)會動中找靜，又要識圖、想圖，還要會解圖、算圖.如2022年新高考全國Ⅰ卷第8題，以正四棱錐的外接球為背景，考查錐體和球的體積公式，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，但是很容易被當(dāng)作是單獨的立體幾何問題，采用特殊位置解決.忽視了分析函數(shù)的最大和最小值，是丟分的原因之一.另外，本題的畫圖和計算都較為麻煩，容易導(dǎo)致學(xué)生做題過程丟分.連續(xù)幾年的高考試題各卷幾乎都有一個類似小題，甚至是壓軸題.但學(xué)生在這類題的得分率幾乎都不高，普遍反映出對這類題目的幾個常見心態(tài)：（1）害怕閱讀，這類題的題目普遍偏長，文字量大；（2）不能提取有效信息，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的圖形語言與符號語言；（3）計算慢或出錯率高.對于這類復(fù)雜而又創(chuàng)新的試題，確實對教師和學(xué)生都提出了比較高的要求.既要有扎實的基本功，又要有面對新題時的轉(zhuǎn)化與化歸能力、穩(wěn)定的心態(tài)和卓越的探索精神.

5 結(jié)束語

高中立體幾何的學(xué)習(xí)是漫長而又充滿趣味的，對于立體幾何的空間直觀想象和邏輯推理兩大核心素養(yǎng)的訓(xùn)練和培養(yǎng)，應(yīng)該是一個長期的過程.教師的授課，既要注意引導(dǎo)示范，又要培養(yǎng)學(xué)生的思維方式.充分經(jīng)歷由數(shù)學(xué)現(xiàn)象抽象到數(shù)學(xué)問題的過程，充分經(jīng)歷運用知識與技能對抽象出的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行邏輯推理，從而獲取新知的思維過程.正如教育部考試中心任子朝在《高考試題創(chuàng)新設(shè)計的研究與實踐》中闡述的那樣，教師授課應(yīng)當(dāng)遵循教學(xué)規(guī)律，教授數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)^［3］.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王英女.關(guān)于高中立體幾何教學(xué)中空間想象能力的培養(yǎng)［D］.大連：遼寧師范大學(xué).2007：9-10.

［2］ 章建躍.必須關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的變革［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2010（06）：50.

［3］ 任子朝，趙軒.高考試題創(chuàng)新設(shè)計的研究與實踐［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（07）：2.

［責(zé)任編輯：李 璟］