工科研究生矩陣分析課程的思政案例探討

摘"要：隨著課程思政研究的逐漸深入，各高校教師積極探索如何將思政元素融入課程教學(xué)中。研究生是科學(xué)研究的主力軍，在研究生課程中融入思政教育，是研究生課程建設(shè)的內(nèi)在要求。“矩陣分析”是工科研究生的一門基礎(chǔ)課程，其內(nèi)容在研究生階段的多門專業(yè)課中有著重要作用。本文探討了如何在課程教學(xué)過程中融入思政元素，設(shè)計(jì)思政案例，達(dá)到增強(qiáng)學(xué)生的文化自信，提高學(xué)生的辯證思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)課程思政立德樹人的目的。

關(guān)鍵詞：矩陣分析；課程思政；文化自信；數(shù)學(xué)思想

中圖分類號：G4"""""文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A""""""doi：10.19311/j.cnki.16723198.2024.18.081

0"引言

教育是國之大計(jì)，黨之大計(jì)，承擔(dān)著立德樹人的根本任務(wù)。習(xí)近平總書記在2016年召開的全國高校思想政治工作會議上強(qiáng)調(diào)：“要把立德樹人內(nèi)化到大學(xué)建設(shè)和管理各領(lǐng)域、各方面、各環(huán)節(jié)，做到以樹人為核心，以立德為根本。”習(xí)近平總書記也提出："“各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)”。"在2019"年召開的學(xué)校思想政治理論課教師座談會上，習(xí)近平總書記再次強(qiáng)調(diào)："“要實(shí)現(xiàn)顯性教育和隱性教育的統(tǒng)一，發(fā)揮各課程與思政課程的協(xié)同效應(yīng)，實(shí)現(xiàn)全過程全方位育人”。2020年教育部印發(fā)了《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，強(qiáng)調(diào)要充分發(fā)揮思想政治課程之外的其他各門課程的育人作用，全面推進(jìn)高校課程思政工作。課程思政主要指的是以構(gòu)建全員、全程、全課程育人格局的形式，將各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)，把立德樹人作為教育的根本任務(wù)。近年來，作為高等教育改革的重要內(nèi)容，高校的課程思政建設(shè)受到國家的高度重視。在大思政的背景下，各高校教師積極探索課程改革，將思政元素融入課程教學(xué)，并取得了一些成果。

1"研究生矩陣分析教學(xué)中融入課程思政的重要意義

研究生教育肩負(fù)著國家高層次人才培養(yǎng)和創(chuàng)新的重大使命。研究生不僅需要掌握一定的科研能力和較強(qiáng)的專業(yè)技能，也需要具備堅(jiān)定的共產(chǎn)主義信仰和較好的政治素質(zhì)。在新的形勢下，研究生的教育問題也面臨著多方面的挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的思想政治理論課程的教學(xué)模式無法充分解決研究生理論與實(shí)踐問題，也無法滿足他們多樣化的需求。相比之下，采用“課程思政”模式可以更好地彌補(bǔ)傳統(tǒng)思政教育與研究生需求之間的不足。因此，結(jié)合目前研究生教育的特點(diǎn)，將課程思政融入研究生的教學(xué)之中，對研究生的培養(yǎng)具有重要的意義，也對教師提出了更高的要求。在研究生課程中引入課程思政，是對研究生課程建設(shè)的內(nèi)在要求。我們需要充分發(fā)揮研究生課程思政的作用，在教學(xué)中潛移默化地影響學(xué)生對所學(xué)專業(yè)價(jià)值的認(rèn)知，培養(yǎng)研究生的人生觀、價(jià)值觀、社會責(zé)任感和國家意識，以達(dá)到立德樹人，全面提升育人效果。

矩陣分析是面向工科研究生的一門重要學(xué)科基礎(chǔ)課程。該課程從線性空間與線性變換、向量與矩陣的范數(shù)、矩陣標(biāo)準(zhǔn)形、矩陣分解、矩陣函數(shù)和矩陣的直積等各個方面，系統(tǒng)闡述了矩陣分析理論的基本定義與基本原理。它不僅是高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的后續(xù)課程，也是研究生階段多門專業(yè)課程的基礎(chǔ)，在數(shù)值分析、人工智能、工程技術(shù)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。在課程教學(xué)過程中，引入思政元素，將其與專業(yè)知識進(jìn)行融合，對教學(xué)方法進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)，可在教學(xué)過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的人生觀和價(jià)值觀，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信，激發(fā)學(xué)生的民族責(zé)任心。

2"矩陣分析課程思政案例

在課堂教學(xué)中，由于矩陣分析課程的內(nèi)容較為抽象，一些學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能會對公式推導(dǎo)等內(nèi)容感到枯燥。對于工科類的研究生而言，應(yīng)用數(shù)學(xué)能否解決實(shí)際問題更為重要，這就要求授課內(nèi)容在理論性和應(yīng)用性之間有所調(diào)整，以免降低學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。為提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使用案例教學(xué)法設(shè)計(jì)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，將思政要素與授課內(nèi)容相結(jié)合。

案例教學(xué)法是根據(jù)課程的特點(diǎn)來設(shè)計(jì)教學(xué)過程，針對不同的教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容，引入案例，通過討論、分析和解決問題的方式來進(jìn)行教學(xué)的方法。在教學(xué)過程中，通過引導(dǎo)學(xué)生分析案例中的問題，增強(qiáng)學(xué)生對知識的理解和掌握。鼓勵學(xué)生之間互相討論并尋找解決方案，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力以及團(tuán)隊(duì)合作的能力，激發(fā)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造力。

在授課中應(yīng)用案例教學(xué)法時，于課程開始階段預(yù)先給學(xué)生提出一個待解決的問題，此問題往往和學(xué)生已學(xué)的內(nèi)容相關(guān)或需要想出其他辦法解決。針對此問題，鼓勵學(xué)生分析思考，并可互相討論，用他們已學(xué)的知識嘗試解決。當(dāng)學(xué)生得出一定的結(jié)論時，指出此問題與本節(jié)課主要內(nèi)容的關(guān)系。在講解本節(jié)課程的主要知識點(diǎn)后，使用本節(jié)學(xué)習(xí)得出的新方法解決預(yù)先給出的問題。在問題解決后，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件，編程輔助解決問題，驗(yàn)證理論的正確性，可調(diào)節(jié)課堂氛圍，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。此時向?qū)W生指出此問題的求解過程中所蘊(yùn)含的思政元素，啟發(fā)他們的思考。為將思政教育順利融入課程案例的教學(xué)之中，在具體的授課環(huán)節(jié)，主要包括以下五個部分：

（1）提出問題：在講解本節(jié)課程的主要內(nèi)容之前，引入一些需要學(xué)生解決的題目。這些例題用學(xué)生已掌握的方法不易求解或難以求解；

（2）內(nèi)容講解：引入本節(jié)課的主要內(nèi)容，包括相關(guān)的概念、定理、公式以及對應(yīng)的解題方法；

（3）解決問題：以本節(jié)所學(xué)方法解決問題，并與之前學(xué)生的解法進(jìn)行對比，說明本節(jié)所學(xué)方法的有效或優(yōu)于之前學(xué)生的解法，引發(fā)學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的興趣；

（4）軟件驗(yàn)證：以MATLAB或其他數(shù)學(xué)軟件輔助解決問題，鼓勵學(xué)生掌握數(shù)學(xué)工具，加深學(xué)生對于科學(xué)計(jì)算的認(rèn)識，提高學(xué)生利用計(jì)算機(jī)來解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；

（5）案例啟發(fā)：將前面解題時的情景與對應(yīng)的思政元素相結(jié)合，向?qū)W生講解此次問題解決過程中受到的啟發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生自信，提高學(xué)生辯證思維能力。

在矩陣分析的課堂教學(xué)過程中，通過以上五步設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，將思政案例融入其中，使學(xué)生更積極地參與到課堂之中，讓他們對所學(xué)內(nèi)容有更深刻的理解。下面是本課程典型的幾個思政案例，從中展示了以上各個教學(xué)環(huán)節(jié)如何具體實(shí)施。

2.1"增強(qiáng)學(xué)生的文化自信

案例1：基變換和坐標(biāo)變換。

在講解基變換和坐標(biāo)變換時，先向?qū)W生提出一個問題，令他們用已掌握的知識求解。題目為已知線性空間中某一特定元素，問在兩個不同的基底之間，它的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系。學(xué)生會嘗試使用列方程組的方法進(jìn)行求解，可以解出對應(yīng)的兩組坐標(biāo)，但坐標(biāo)之間的關(guān)系無法推知。在講解了本節(jié)內(nèi)容后，學(xué)生學(xué)習(xí)了過渡矩陣和坐標(biāo)變換公式的相關(guān)知識，發(fā)現(xiàn)使用坐標(biāo)變換方法后，待解決的問題可視為矩陣之間的一系列運(yùn)算，無須再列方程組，便于求解。在學(xué)生成功解題后，向?qū)W生演示如何使用MATLAB工具軟件進(jìn)行計(jì)算，將較為枯燥的公式計(jì)算與計(jì)算機(jī)編程相聯(lián)系，以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)習(xí)興趣。

在講解完例題后，向?qū)W生引入坐標(biāo)變換的重要應(yīng)用。例如，在我國空天技術(shù)的發(fā)展中，基變換和坐標(biāo)變換方法都有著重要的應(yīng)用。飛行器在執(zhí)行任務(wù)的途中，時刻需要知道它和地面坐標(biāo)系的關(guān)系，以及它和其他飛行器之間的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算并調(diào)整它的位姿，確保任務(wù)的順利完成。在飛行器的導(dǎo)航、姿態(tài)控制、路徑規(guī)劃和交會對接等方面，坐標(biāo)變換方法都在其中發(fā)揮著重要的作用。2024年，我國的航空航天事業(yè)仍將繼續(xù)發(fā)展，包括中國空間站的常態(tài)化運(yùn)營，神舟號載人飛船的多次往返，探月工程中嫦娥探測器的月球任務(wù)等，都離不開坐標(biāo)變換方法應(yīng)用于其中。通過向?qū)W生介紹坐標(biāo)變換法的應(yīng)用案例，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信，強(qiáng)化學(xué)生的民族自豪感，激發(fā)學(xué)生的家國情懷和使命擔(dān)當(dāng)。

2.2"提高學(xué)生辯證的思維能力

案例2：求解矩陣的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

在求解矩陣約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的過程中，首先給出一個高階矩陣，需要學(xué)生將其用前面學(xué)過的行列式因子法化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)此題求解起來較為困難。在講解了本節(jié)的史密斯標(biāo)準(zhǔn)型方法后，可以用將矩陣化為史密斯標(biāo)準(zhǔn)型后來得出其約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，對于高階的矩陣，用史密斯標(biāo)準(zhǔn)型法來求解更為簡便。求解的過程并不唯一，但最終都可以得到唯一的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型（除去約當(dāng)塊的排列次序外）。而后運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行求解，并對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，提高學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件輔助解決問題的能力。

通過此案例，讓學(xué)生體會到約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的唯一性是一個矩陣的本質(zhì)屬性，在求解其標(biāo)準(zhǔn)型的過程中對矩陣做的每次變換，雖然都改變了矩陣的外表樣貌，但其本質(zhì)始終未變。教育學(xué)生深刻理解馬克思主義哲學(xué)中現(xiàn)象和本質(zhì)之間的辯證關(guān)系。本質(zhì)是事物內(nèi)在的屬性和規(guī)律，而現(xiàn)象是事物的外部表象。教育學(xué)生要具有透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，在生活中要辯證地看待身邊的事物，不要僅憑外部表現(xiàn)來認(rèn)識它，而要對事物的表現(xiàn)進(jìn)行全面的觀察和分析，看清事物的本質(zhì)。鼓勵學(xué)生在解決問題時要有探究精神，看清隱藏在問題表面現(xiàn)象背后的本質(zhì)，找到解決問題的辦法。

2.3"培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)之美的感受

案例3：應(yīng)用蓋爾圓方法估計(jì)矩陣特征值。

在講解蓋爾圓的概念時，預(yù)先給出一個特定的5階或6階方陣，提出能否迅速估計(jì)此矩陣的特征值，或確定此矩陣是否相似于對角陣的問題。在學(xué)生用求矩陣特征值的方法較為費(fèi)時費(fèi)力地得出結(jié)論后，講解蓋爾圓定理，并以此方法，迅速有效地得出同樣的結(jié)論。與之前需要求解一元高次方程，得出特征值后再判斷矩陣是否可對角化相比，蓋爾圓方法只需對矩陣元素進(jìn)行一些代數(shù)運(yùn)算，并在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的圖形，即可得出結(jié)論。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，對于維數(shù)不大的矩陣，在估計(jì)其特征值方面，手工繪制圖形比精準(zhǔn)計(jì)算更為便捷。然后，運(yùn)用計(jì)算機(jī)MATLAB程序編程繪圖進(jìn)行演示，并求出對應(yīng)矩陣的特征值進(jìn)行驗(yàn)證，以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算機(jī)編程能力。

通過此案例，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)使用蓋爾圓方法估計(jì)矩陣特征值的優(yōu)越之處。與原代數(shù)方法相比，此方法數(shù)形結(jié)合，結(jié)論更加簡潔和直觀，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔之美。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，笛卡爾坐標(biāo)系的引入，將代數(shù)方程和幾何圖形聯(lián)系起來，數(shù)形結(jié)合的方法自此發(fā)展起來。使用蓋爾圓法估計(jì)矩陣的特征值，將結(jié)論用幾何圖形來進(jìn)行直觀的呈現(xiàn)，展示了數(shù)學(xué)與幾何的密切聯(lián)系，體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)。學(xué)生在應(yīng)用直觀的幾何圖形解決問題時，可從中領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的簡潔之美。鼓勵學(xué)生在解決問題時，善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，在平時遇到問題時，可以多嘗試運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和對稱等數(shù)學(xué)思想來解決問題。

2.4"培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

案例4：求解矩陣微分方程組。

在克羅內(nèi)科積的應(yīng)用部分，首先向?qū)W生提出一個關(guān)于求解矩陣微分方程組的問題，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)此問題用以往的方法難以求解。在講解完課程的主要內(nèi)容即矩陣的拉直后，再次嘗試解決前面提出的問題。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用矩陣?yán)钡姆椒ǎ瓤此齐y以解決的問題轉(zhuǎn)化為求解齊次線性微分方程組的問題。這種線性方程的解法是學(xué)生在前面章節(jié)中已經(jīng)掌握的，并且易于求解。學(xué)生在用已有的方法解出此線性微分方程組的解后，發(fā)現(xiàn)可以通過拉直的反向變換得到對應(yīng)原矩陣微分方程組的解。最后，使用MATLAB軟件對問題進(jìn)行求解并與驗(yàn)證。

通過此案例，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)中一個重要的思想——轉(zhuǎn)化的思想。轉(zhuǎn)化的思想是把一種數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考的方法。歷史上流傳的司馬光砸缸和曹沖稱象的故事都蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用。合理運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，我們可將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，或是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，從而使問題得到解決。教導(dǎo)學(xué)生在處理和解決問題時，要靈活分析問題，善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，將不易解決的問題轉(zhuǎn)為與它相關(guān)的較為熟悉的問題，通過將新舊知識聯(lián)系在一起，來嘗試解決，加深學(xué)生對知識的理解和融會貫通。

3"結(jié)語

研究生是我國科技進(jìn)步的主力軍，將課程思政融于學(xué)校的課程教學(xué)，有著重要的作用。矩陣分析作為一門基礎(chǔ)課程，課程思政的融入，改善了其課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，加深了學(xué)生對知識的理解和融會貫通。課程思政是每位教師的責(zé)任與使命，我們要理論聯(lián)系實(shí)際，積極推進(jìn)高校教學(xué)和課程思政的融合，讓課堂內(nèi)容和思政素材高度相融，提升課堂教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義事業(yè)建設(shè)者和接班人。

參考文獻(xiàn)

［1］張爍.習(xí)近平在全國高校思想政治工作會議上強(qiáng)調(diào)把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程開創(chuàng)我國高等教育事業(yè)發(fā)展新局面[N].人民日報(bào)，20161209（1）.

[2]嚴(yán)亞強(qiáng)，顧振華.不定積分中的課程思政元素賞析[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2023，39（6）：2935.

[3]趙靜，高有，金永，等.新工科背景下線性代數(shù)課程教學(xué)改革與實(shí)踐[J].高等數(shù)學(xué)研究，2024，27（1）：9194.

[4]孫銘娟，賈瑞玲，張冬燕，等.“大思政”格局下高等數(shù)學(xué)課程思政的探討[J].高等教育研究學(xué)報(bào)，2023，46（3）：9297.

[5]王義康，李海芬，王一，等.高校研究生課程思政實(shí)施中的問題與對策研究[J].研究生教育研究，2022，3：5760，82.

[6]孫繼兵，鄭士建，張興華，等.以六結(jié)合模式創(chuàng)新研究生課程思政的隱性育人功能[J].高教學(xué)刊，2024，6：6468.