看見不可見，讓數學教育更加平易近人

【摘 要】“看見不可見”的教學主張，始于數學可視化的教學理解。文章以圓錐曲線的概念教學和單元設計為例，以GeoGebra為技術軟件平臺，從三個層面解讀和詮釋了“看見不可見”的內涵與價值：扎根踐行，在技術應用中實現融合賦能；反思循證，在路徑探尋中達成教研相長；自覺擔當，在教學創新中推動學科育人，從而實現平易近人的數學教育的目標。

【關鍵詞】教學主張；圓錐曲線；可視化教學；核心素養；單元教學

數智時代的當下，教育數字化已成為開辟教育發展新賽道、塑造教育發展新優勢的重要突破口。那么，如何回應數字教育這一熱點話題，推動數學教育的場景創新和教學形態變革呢？筆者認為，一方面要“看見不可見”，挖掘數字技術的表征優勢，在抽象的數學與生動的現實間搭建聯系通道，為學生理解概念創設背景，為學生探索規律啟發思路，為學生解決問題提供路徑；另一方面要探尋數學的教育價值，追求平易近人的數學教育，構筑學生身心成長與學科之間的生動關聯，使學生在頭腦中尋找概念、在概念關聯中產生方法、在方法梳理中形成模式。基于這樣的思考，便有了“看見不可見，讓數學教育更加平易近人”的教學主張。本文以圓錐曲線的概念教學和單元設計為例，以GeoGebra為技術軟件平臺，從三個層面解讀和詮釋“看見不可見”的內涵與價值。

一、扎根踐行，在技術應用中實現融合賦能

“看見不可見”的提出，始于數學可視化的教學理解［1］。二十多年的信息技術應用的實踐研究，在用什么技術、如何使用技術、為什么用技術的不斷追問中，我們認識到數學是抽象的、不可見的、難以被感官直接感知。想要推動信息技術與數學課程的深度融合，便要想方設法讓數學變得具象化、看得見、可操作，正如“讓我聽見的，我會忘記；讓我看見的，我就領會了；讓我做過的，我就理解了”。

圓錐曲線作為橢圓、拋物線和雙曲線的統稱，其實就是用平面去截兩個對頂圓錐所得的截線。第一，圓錐曲線屬于平面幾何內容，而平面截圓錐則是立體幾何問題，于是，實現平面與立體間的穿梭過渡便是概念教學的第一個難點。第二，截線的形狀取決于截面與圓錐的相對夾角，其中的分類標準往往只可意會，很難言傳。于是，技術賦能的要點在于構建出如圖1所示的學習場景（其中α為圓錐軸線與母線的夾角、β為圓錐軸線與截面的夾角）。由圖1可知，拖動滑動條改變α、β的值，可以“看見”截線形狀的變化。結合兩個平面視圖，不難發現相應的數學結論：β＞α時截線為橢圓，β＜α時截線為雙曲線，中間的“分水嶺”則是拋物線（β=α時）。事實上，構造對頂圓錐正是為了“看見”雙曲線的雙支，而GeoGebra中的“無限長圓錐（lt;點gt;，lt;直線gt;，

lt;度|弧度gt;）”指令恰可以有效彌補我們的認知短板。

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圖1 平面截圓錐模型中理解截線定義

借助數字技術的表征優勢，構建所見即所得的學習場景，可以形象、直觀地幫助學生理解圓錐曲線的截線定義，但數學不能只是停留在猜測與想象層面，還得有推理和論證。如何證明圖1中的曲線是橢圓還是雙曲線，需要從軌跡定義的視角給出進一步的推斷。為了實現截線定義與軌跡定義的關聯佐證，比利時數學家旦德林發明了雙球模型，即在對頂圓錐內“放入”兩個球（與圓錐面和截面均相切），利用球外一點到球的切線長相等和圓臺母線長度的不變性，可以推導出軌跡定義，從而得到相對嚴謹的數學論證。具體來說，以橢圓截線為例（如圖2），球O1、O2與截面相交于點F1、F2，與圓錐面相切得到圓周π1、π2，任取橢圓上一點M，設圓錐母線VM與圓周π1、π2分別交于P、Q兩點，則有MF1=MP、MF2=MQ，于是MF1+MF2=MP+MQ=PQ（定值），從而證得M點的軌跡為橢圓（雙曲線可以類比得證）。

技術應用中的“看見不可見”，就是將抽象的數學內容可視化，是一種信息技術與數學課程的融合策略。推進信息技術與數學課程的深度融合，重要的是揚技術表征可視之長，避數學抽象理解之短，構建數學可視化學習場景，將抽象的數學內容用可視化的形式進行清楚、直觀地呈現和表達，實現在提升學生數學學習興趣的同時，推動學生的數學理解。技術應用中的“看見不可見”更是一種數學可視化的實施路徑。教師在抽象的數學與生動的現實間構建聯系通道，可以為學生插上直觀想象的翅膀，讓他們看到客觀現象的數學本質，理解數學概念的抽象生成。學生通過進一步的實驗操作和自主探索，可以發現豐富翔實的案例資源，讓數學理性的種子得以生根發芽。

二、反思循證，在路徑探尋中達成教研相長

技術融合固然可以改進我們的教與學，但要實現真正的賦能教學，則離不開課堂教學探索和反思研究跟進。在推進技術融合的過程中，往往會遇到很多隱性的教與學的問題，重要的是要看見問題而不能熟視無睹。教師在想方設法將問題顯性化的同時，也為探討教與學的改進提供了可能，這樣“看見不可見”便成了一種教學研究策略和教師專業成長的行動指南。

圖1告訴我們角度值α、β的變化決定了截線的形狀，那么直觀的背后有著怎樣的真相？由于離心率e是刻畫圓錐曲線形狀的重要變量，我們自然有了“用α、β來表示離心率e”的設想。我們將如圖2所示的軸截面圖局部放大，得到圖3（以橢圓為例），顯然有∠VUA1=α，∠UVA1=β，又設△VA1A2的外接圓半徑為r、周長為2p。則A1A2=2rsin2α，VA1=2rsin（β-α），VA2=2rsin（β+α）；又VQ1+VQ2=VA1+A1Q1+VA2+A2Q2=VA1+A1F2+VA2+A2F2=VA1+VA2+A1A2=2p，則VQ1=VQ2=p，所以A2F2=A2Q2=p-VA2，A1F1=A1P1=p-VA2；F1F2=A1A2-2A2F2=A1A2-2p+2VA2=VA2-VA1。

從而，有F1F2=2rsin（β+α）-2rsin（β-α）=4rcosβsinα。

得到橢圓的離心率e=[ca]=[F1F2A1A2]=[4rcosβsinα2rsin2α]=[cosβcosα]。

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圖3 雙球模型下的軸截面圖

拋物線是橢圓、雙曲線的中間狀態，與橢圓、雙曲線關系密不可分，卻又獨具特色，它只有一個焦點。那么怎樣理解拋物線的離心率呢？顯然上述推導過程無法自圓其說，我們得另起爐灶重新思考。可以構造圓周π1所在平面與截面的交線l1（準線），過橢圓上一點M作l1的垂線（垂足為點N1），作面π1的垂線（垂足為點K1）（如圖4）。為了方便說明，類似地，將圖4中的3D繪圖區局部放大，得到圖5。

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圖4 夾角模型以尋求統一定義

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圖5 夾角模型的局部放大圖

因為MK1平行于圓錐軸線VU，所以∠PMK1=α，∠N1MK1=β；于是MK1=MPcosα，MN1=[MK1cosβ]，從而[MF1MN1]=[MPMN1]=[MK1cosαMK1cosβ]=[cosβcosα]=e。

這樣，便得到了圓錐曲線的統一定義——平面內到一個定點和到一條定直線的距離之比等于常數的點的軌跡。因此，教師不僅要看到教的困惑，更要關注學的問題。事實上，早在公元前3世紀前后，古希臘學者便發現了圓錐曲線，但直到1822年旦德林發明雙球模型，才填平了截線定義到軌跡定義的鴻溝。數學史與數學教育的“歷史相似性”告訴我們，學生數學理解的過程也遵循數學思想的歷史發展順序。因此，圓錐曲線的概念教學很難一教了之、一蹴而就。教師不僅要講述其中的道理，讓學生“知其然，也知其所以然”，更要適當留白，讓學生有機會操作實驗，在動態關聯情境中深度思考。如在教學中，教師僅以橢圓為例講解其中的軌跡定義和離心率計算，而雙曲線和拋物線中的類似結論由學生類比發現、自主論證。

教學研究中的“看見不可見”，就是將隱性的教學問題顯性化。首先要有問題意識，“看見”就是要明察秋毫、初見端倪，在習以為常的場景中發現問題，在面臨困境時反思問題，在事出意外時查找問題，正如“處處留心皆學問”。其次要解決問題，“看見”就是要植根現場尋找答案，以研究的態度審視自己的教學，以推理的要求查找可能的緣由，以實驗的方式收集變化的數據，以循證的姿態探討教學的改進。“看見不可見”不僅是一種教學研究策略，更是一種教師成為研究者的行動指南。如何幫助學生理解數學本質，積累活動經驗，促進高水平思維參與？關鍵在教研，重點在課堂。教師需要看到更多的教學可能，并通過實實在在的行動來改進教與學，將本真的教育追問融通于日常教學中，以教研促教學，用科研帶教研，在成就學生中發展自我。

三、自覺擔當，在教學創新中推動學科育人

面對教育高質量發展的時代需求，如何以核心素養統領課程，以學科實踐提升學習效果，以學業質量標準引導學習水平？重要的是以“質”致遠、向“新”而行。教師通過腳踏實地、持之以恒的教學研究，將課程專家眼中有確定內涵的概念構想落實到課堂中，從案例到模式，從資源到課程，做出看得見的實踐案例和可操作的方法策略。

聚焦核心素養的單元教學是實現高質量課堂教學的關鍵，做好單元教學設計是實現數學單元教學的基礎，也是搭建學生核心素養培育與教師專業發展的橋梁。［2］如何從知識、技能或方法學習的整體出發，綜合考慮學生核心素養長遠發展，開展完整的單元教學規劃？筆者認為，以數字化資源為聯系紐帶，恰恰可以構建一線貫通的問題情境、一脈相承的知識體系和一如既往的思想方法。

對于“圓錐曲線與方程”一章的學習，蘇教版高中數學新教材（2021年版選擇性必修第一冊）從平面截圓錐出發［3］，引發橢圓、雙曲線和拋物線的學習需求，然后從平面解析幾何的視角具體探討三類曲線的概念、標準方程、幾何性質和應用。新教材雖有研究方法的類比探討，也有“圓錐曲線的統一定義”的閱讀鏈接，但單元教學設計的系統性與整體性卻難見蹤影。以新教材的“圓錐曲線與方程”內容為基礎，融合蘇教版高中數學舊教材（2005年版選修4-1）“圓錐的截線”中的實驗探究元素［4］，貫穿三種模型的可視化資源，可以構建出“圓錐曲線”單元教學案例，實現流暢自然、環環相扣的“起承轉合”教學樣態（如圖6）。“起”是開始，從呈現平面截圓錐模型入手，創設學習情境幫助學生理解截線含義。“承”是過程，引入雙球模型探討軌跡定義，再由立體到平面，從解析幾何的視角具體探討橢圓和雙曲線的概念、標準方程、簡單幾何性質及應用（即“圓錐曲線與方程”一章的相應內容）。“轉”是變化，從拋物線的特殊性看到軌跡定義的局限性，構造夾角模型以尋求內在統一。在初步建構統一定義的基礎上，具體探究拋物線的概念、標準方程、簡單幾何性質及應用。“合”是收尾，從挖掘三種曲線、三類定義之間的系統關聯入手，通過進一步的推理論證構建完整的知識結構圖。在這樣的單元教學中，可視化的教學資源得到反復應用，提供了遞進與并列交織的學習研究線索。更重要的是，核心素養的導向貫穿教學始終，如對應截線定義、軌跡定義、統一定義的三種模型更迭，體現了數學建模的周期性。

數學學科育人中的“看見不可見”，就是將肩負的教育責任行動化。在教育大變革的當下，面對現實的牽拉與扯拽，矛盾的糾結與紛擾，教師需要看見自己的責任使命，跳出“內卷”，化解“短視”，堅守教育的初心與良知，要基于現實情境開展專業探索，彌合教育理論與教育實踐“兩張皮”的落差，將新一輪課程改革真正落實在課堂中。因此，“看見不可見”是一種思想更是一種自覺，是道阻且長、行則將至的躬耕自覺，更是向著地平線出發的教育情懷。

教育的答案在現場，“看見不可見”的教學主張正是在迭代更新中不斷找尋著自己的“概念話語”（如圖7）。在表層的時間維度上，從技術應用走向融合賦能，是一種方法和路徑；在中層的空間維度上，從策略行動走向教研相長，是一種成長和發展；在深層的核心維度上，從學科教學走向學科育人，是一種精神和態度；最終的目標指向是“平易近人的數學教育”。“平”是平實，側重于“教什么”的思考，讓數學概念平實易懂、運算推理簡潔明了、方法模型普通高效，這就需要我們進行數學的再創造。“易”是簡易，側重于“如何教”的考量，重在“化易”，教師通過教學法加工，在學生頭腦中尋找概念，在概念關聯中產生方法，在方法梳理中形成模式。“近人”是貼近學生實際，側重于“為什么教”的探討，從學科教學到學科育人，重點是在“人—知”互動中推動學科核心素養的培育，讓學生學會用數學思維分析世界，用數學眼光觀察世界，用數學語言表達世界。

“看見不可見”如同一盞明燈，讓教師在照亮經驗、“看見”自己的同時，抬頭矚目前方，向著地平線前行。

參考文獻：

［1］張志勇." 高中數學可視化教學：原則、途徑與策略：基于GeoGebra平臺［J］. 數學通報，2018（6）：21-24，28.

［2］曹一鳴，孫彬博，蘇明宇，等. 促進學生核心素養發展的高中數學單元教學設計：以“導數及其應用”為例［J］.基礎教育課程，2023（6）：34-43.

［3］蘇教版高中數學教材編寫組. 普通高中教科書 數學（選擇性必修第一冊）［M］. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2021.

［4］單壿. 普通高中課程標準實驗教科書·數學幾何證明選講（選修4-1）［M］. 南京：江蘇教育出版社，2005.

（責任編輯：羅小熒）

【作者簡介】張志勇，正高級教師，江蘇省首屆蘇教名家培養對象，江蘇省“333高層次人才培養工程”培養對象，江蘇省高中數學名師工作室主持人，江蘇省教科研先進教師，主要研究方向為中學數學教育教學、試題研究及信息技術與數學學科的深度融合；張加紅，高級教師，江蘇省首屆師德模范，江蘇省“333高層次人才培養工程”培養對象，常州市特級教師后備人才，常州市學科帶頭人，主要研究方向為數學可視化教學與數學教師專業發展。

【基金項目】國家社會科學基金“十四五”規劃2022年度教育學一般課題“‘雙減’背景下義務教育階段作業設計研究”（BHA220139）；江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度課題“基于核心素養的高中數學大單元教學價值意蘊與路徑探析研究”（SJMJ/2021/10）