類比推理在高中數學教學中的應用策略探究

摘 要：文章結合類比推理在高中數學學科核心素養中的重要地位，著重分析類比推理在高中數學教學活動中的具體應用策略.教師可以從概念類比、方法類比、知識類比、問題類比等角度，豐富高中數學課堂上的教學活動和學習環節.

關鍵詞：高中數學；教學；類比推理

中圖分類號：G632

文獻標識碼：A

文章編號：1008-0333（2024）33-0030-03

收稿日期：2024-08-25

作者簡介：梁麗珠（1974.4—），女，福建省浦城人，本科，中學高級教師，從事高中數學解題研究.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）指出，數學學科的核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數據建模等內容.其中，邏輯推理包括兩類，一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；另一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.其中類比推理是高中數學課程中非常重要的論證方法，是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，同時也是發展高中生數學思維能力的重要教學手段.

1 類比推理在高中數學教學中的應用優勢

1.1 知識點整合優勢

在高中數學課堂上，類比推理具備知識點的整合優勢.數學學科中的抽象概念、公式定理數量非常多，因此要求學生在歸納、分類和匯總所學知識的基礎上，精準把握知識之間的內在聯系.學生在整合、建構知識體系的過程中，可以運用類比推理和其他思想方法，深入探索數學知識之間的共性.類比推理是學生生成邏輯推理素養的重要工具^[1].在運用類比推理方法時，高中生應結合知識與經驗，在數學課堂教學活動中發揮主體優勢.教師則關注學生對知識框架、體系結構的整體認知建構情況，協助其發展邏輯推理素養.

1.2 思維訓練優勢

在高中數學課堂上，類比推理可以作為一個專項模塊，協助學生達成深度學習、思維訓練、變式訓練等任務目標^[2].類比推理可以協助學生透過現象看到本質，快速構建抽象的概念模型.學生在解決實際問題時，可以運用類比推理方法，將數學知識層面上的相似特征，作為遷移運用、綜合實踐的參考依據.類比推理還可以鍛煉學生的多重思維能力，使其快速適應數學課堂上的多元教學情境.更可以讓學生形成辯證、嚴謹的思維能力^[3].

2 類比推理在高中數學教學中的應用策略

2.1 類比數學概念，找準教學切入點

在高中數學課堂的教學活動中，數學概念是學生深入理解數學世界的鑰匙.類比數學概念，是教師找準教學切入點的重要手段.在單元總結、專題復習等教學活動中，學生可以結合具體知識點，運用類比推理等數學方法，深入探究概念之間的相似點和不同點.在類比數學概念時，教師應以嚴謹、凝練的數學語言為工具，與學生共同揭示數學問題的本質.根據學生對概念的實際理解情況，教師應動態化調整類比推理方法的應用方式.

在等差數列和等比數列的類比概念教學活動中，教師可以從兩種數列的基本定義、通項公式、中項公式、前n項的和S_n開始，引導學生歸納、類比兩者之間的相似特征.在人教版高二選擇性必修第二冊第四章的概念教學活動中，學生可以循序漸進地理解數列的基本概念、等差數列、等比數列以及數學歸納法.

2.2 類比數學方法，掌握數學差異性

在高中數學課堂上，類比推理方法一般運用在知識整合、思維訓練、問題探究等學習活動之中.教師可以根據實際學情，結合問題探究情境類比數學方法，讓更多學生掌握“最優”的解題方法.數學學科具備工具性、差異性等特征，因此每個學生在運用類比推理方法時，應將數學知識匯總到思維導圖或者微課上.

以人教版高一必修第一冊的“二次函數與一元二次方程、不等式”一課為例，教師應類比函數方程思想、數形結合方法，讓學生經歷真實的探究學習過程，靈活運用類比推理方法解決實際問題.學生在借助二次函數圖象研究一元二次方程、一元二次不等式的過程中，可以將函數方程思想運用在數學建模與問題解析環節之中，進而掌握三者之間的共性和差異.

從函數的觀點看一元二次方程，則需要將二次函數值設為0，解方程即為“自變量為何值時，函數值為0”.如果二次函數圖象與x軸有交點，則交點的橫坐標為函數的零點.從函數的觀點看一元二次不等式，當二次函數值大于0或小于0時，則得到一個一元二次不等式，不等式的解集則是自變量x的取值范圍.學生在對比三者概念和圖象的過程中，能夠總結出：我們可以利用二次函數圖象來判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數，并求解一元二次不等式.

學生在類比函數方程思想、數形結合方法時，可以自主判斷一元二次函數根的實際情況，將函數圖象和交點坐標作為求解函數問題的工具.運用類比推理方法，二次函數、一元二次方程、一元二次不等式這三類數學問題，均可以歸納到同一個平面直角坐標系上，引導學生觀察圖象、構造解析式解決實際問題.

2.3 類比數學知識，重構教學框架

在高中數學課堂上，類比推理方法具有知識整合的應用優勢，因此教師可以引導學生類比數學知識，重構單元知識框架.學生在建構和完善知識結構的過程中，可以靈活運用類比推理方法，將有相似點的數學知識點、數學要素關聯起來，并在思維導圖上詳細分析數學語言的表達規律.

以高一年級的“函數”知識模塊為例，學生可以按照一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的順序，運用類比推理方法歸納總結知識點.教師可以設計循序漸進的課堂探究性任務，重構教學框架，關注學情與學習目標之間的差距.

（1）在一次函數y=（2m+2）x+4中，y隨著x的增大而增大，那么m的取值范圍為.

（2）如果函數f（x）=x²+bx+c對任意實數t都有f（2+t）=f（2-t），那么f（2）f（1）f（4）.

（3）在函數y=1x²，y=3x³，y=x²+2x，y=x-1，y=x⁰中，冪函數有個.

（4）已知函數f（x）=a+22^x+1的圖象關于原點對稱，則a的值為.

（5）若函數y=f（x）是函數y=a^x（agt;0，且a≠1）的反函數，其圖象經過點（a，a），則f（x）的解析式是.

（6）已知π2lt;θlt;π，sin（π2+θ）=-35，則tan（π-θ）的值為.

在類比六種函數的相關知識點時，師生應選用類比推理方法，將上述例題所考查的知識點梳理出來，在學生“分析問題→探究問題→解決問題”的過程中，提高學生的類比推理和邏輯思維能力.（1）～（3）題非常基礎，（4）～（6）題則綜合考查學生對函數知識的理解和實際掌握情況.在學生分析函數問題時，教師可以從旁指導，適當給予探究提示，并合理設置問題情境、生活情境，使學生將函數知識遷移運用到情境之中.

以（4）題為例，學生可以通過“關于原點對稱”這一條件，判斷出題目中的函數為奇函數，并利用f（0）=0可得到解，即f（0）=a+22⁰+1=a+1=0，求得a=-1.奇函數是“函數”知識模塊中應用頻率比較高的基本性質，在學生類比推理、歸納總結數學知識點的過程中，容易忽略奇函數和偶函數，因此陷入解題誤區，將簡單的問題變復雜.在學生類比數學知識的過程中，教師可以準確判斷出學情和教學框架之間的差異，據此，動態化調整課堂教學環節.在學生運用類比推理方法時，教師可以適當給予提示，使其找到“最優”的問題解法.

2.4 類比數學問題，鍛煉解決能力

在高中數學課堂上，教師可以通過類比數學問題等方式，鍛煉學生的數學問題解決能力.類比推理方法兼具知識整合、思維訓練等應用優勢，因此可以根據學生的實際學情，量入為出地安排學習活動和任務.教師可以將易于理解的數學問題，共享給特定小組的學生，鼓勵其通過小組合作、探究實踐等方式共同解決問題.

以向量、解析幾何、立體幾何等學生難以攻克的數學問題為例，教師可以循序漸進地安排學生參與探究實踐項目，使其運用類比推理等方法，總結歸納出三者之間的關系.

（1）已知a=3，b=（1，2），且a⊥b，則a的坐標為.

（2）已知平面內有△ABC，點A（-1，4），B（3，-2），C（x，y），若△ABC為等腰直角三角形，求點C的坐標.

（3）已知△ABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，△ABD為等邊三角形，若二面角C-AB-D為150°，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為.

向量、解析幾何、立體幾何三個知識模塊有相似之處，也是學生運用類比推理方法的重要依據.教師應循序漸進地引導學生通過合作探究上述例題，將抽象復雜的數學問題轉化成數量化的運算問題.

在（3）題中，“二面角”與“平面角”是學生運用類比推理方法解決問題的切入點.在數學知識從二維過渡到三維的過程中，學生可以快速發展數學思維、空間想象能力.若題目中有非常明顯的等量關系，則可以將平面拓展延伸到空間維度，運用勾股定理，引導學生提出假設，并在問題情境中完成探究性任務.學生應運用類比推理方法，確定△ABC，△ABD與二面角C-AB-D之間的空間位置關系，根據正切值=對邊/鄰邊的計算公式，快速得出計算結果.在學生類比數學問題的過程中，可以“大膽猜想”“小心驗證”，將類比推理方法從概念、知識延伸到具體的問題層面上，鍛煉自己的問題解決能力.教師可以根據學生的實際學情，適當引導其拓展類比推理的數學解題思路.此外，教師需要鼓勵學生展示自己的類比推理思路，并將相似的數學問題歸納到筆記上.綜上所述，鍛煉高中生的問題解決能力，是在課堂上運用類比推理等數學方法的重要教學目標.

3 結束語

在高中數學課堂的教學活動中，類比推理是鍛煉學生思維能力、問題解決能力的重要教學工具.教師應結合類比推理的知識整合、思維訓練優勢，根據學生的實際學情，有的放矢地在課堂上滲透類比推理方法.在數學概念、數學方法、數學知識、數學問題的課堂教學環節中，教師應找準類比推理與教學活動的切入點，并引導學生掌握數學工具的差異性特征，結合實際學情重構課堂教學框架，著重鍛煉高中生的數學問題解決能力.

參考文獻：

[1] 孫啟柱.類比推理法在高中數學教學中的應用研究[J].數學學習與研究，2023（34）：134-136.

[2] 呂雪梅.高中數學教學中類比推理應用研究[J].基礎教育論壇，2023（20）：92-94.

[3] 梁宏暉.類比推理在高中數學教學實踐中的應用研究[J].高考，2023（21）：93-95.

[責任編輯：李 璟]