數學逆向思維培養策略探討

摘要：逆向思維是學生應當具備的重要思維之一.文章首先闡述了逆向思維在初中數學教學中的價值，并對逆向思維的試題進行了分析，基于數學逆向思維培養存在的不足，提出了相應的教學策略.

關鍵詞：初中數學；逆向思維；應對策略

逆向思維是指以問題或已知結論為出發點，通過逆向推理、反向思考，從結果往原因追溯，從而找出解決問題的方法和策略的思維方式.它是一種非傳統的思維方式，要求學生放下固有的思維模式，從不同的角度和方向思考問題，尋找新的解決途徑.

1 逆向思維在初中數學教學中的價值

1.1 深化對數學概念的理解

通過逆向思維，學生可以從已知結論或問題出發，反向思考，找出解決問題的方法和途徑.這有助于他們深入理解數學概念的本質和內在關系［1］.例如，在解方程時，如果學生無法直接求解，則可以通過逆向思維，從已知的解出發，反推方程的解法.這樣可以幫助他們更好地理解方程的求解過程和原理.

1.2 提高問題解決能力

逆向思維要求學生靈活運用逆向推理和反向思考，從結果往原因追溯，找出解決問題的方法.這有助于他們培養解決問題的能力.例如，在解決幾何問題時，如果學生無法直接證明某個結論，則可以通過逆向思維，從結論出發，尋找可能的證明路徑.這樣可以提高他們的證明能力和問題解決能力.

1.3 培養創新思維

逆向思維要求學生跳出固有的思維模式，從不同的角度和方向去思考問題，尋找新的解決途徑.這有助于培養他們的創新思維.例如，在解決數學問題時，如果學生無法通過傳統的方法解決，則可以嘗試用逆向思維，尋找新的解題思路.這樣可以激發他們的創造力和創新能力.

2 考查逆向思維的試題分析

2.1 試題再現

已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖1所示，對稱軸是直線x＝1．下列結論：①abcgt;0，②2a＋b＝0，③b2—4aclt;0，④4a＋2b＋cgt;0，其中正確的是（""）.

A.①③

B.只有②

C.②④

D.③④

解析：對于選項①，結合圖象可確定系數a，b，c的正負性.由拋物線開口向上，得agt;0.依據“左同右異”的規律，得blt;0.由拋物線與y軸的正半軸相交，得cgt;0.故abclt;0.

對于選項②，其是關于a，b的式子，由此想到對稱軸x＝－b2a.由－b2a＝1，得b＝－2a，即2a＋b＝0.

對于選項③，欲判斷b2－4ac的正負性，需看拋物線和x軸的交點個數，由拋物線和x軸有兩個交點，得b2－4acgt;0.

對于選項④，4a＋2b＋c是x＝2對應的函數值，根據拋物線的對稱性，知拋物線和x軸的右交點的橫坐標小于2，故4a＋2b＋cgt;0.

故選答案：C.

2.2 考查特點

（1）考查解決問題的靈活性.逆向思維試題要求學生從不同的角度和方向出發，靈活應用逆向推理和反向思考，尋找解決問題的方法.這種靈活性考查了學生處理復雜問題的能力.

（2）考查對數學概念的深入理解.逆向思維試題通常要求學生從已知結果或條件出發，反推出問題的條件或結論.這考查了學生對數學概念本質和內在關系的理解程度.

（3）考查問題解決的綜合能力.逆向思維試題往往涉及多個數學概念和技巧的綜合運用，要求學生能夠綜合運用所學知識，找出解決問題的有效途徑.

（4）考查創新思維和解決問題的策略性.逆向思維試題鼓勵學生跳出固有的思維模式，尋找新的解題思路和策略，培養創新思維和解決問題的策略性.

（5）考查推理和論證能力.逆向思維試題常常要求學生進行推理和論證，從已知結果推導出問題的條件或結論，這考查了學生的推理和論證能力.

2.3 解題路徑

逆向思維試題的解題路徑強調從結果出發，反推出問題的條件或結論，靈活運用數學知識和技巧，合理推理和論證，最終得出正確的解答.具體的解題路徑包括：

（1）理解問題.首先要仔細閱讀題目，理解問題的條件和要求.確定已知條件和需要求解的目標.

（2）逆向推理.根據問題的要求，采用逆向思維，從目標出發逆向推理，思考可能的方法和步驟.通常是從結果出發，反推出問題的條件.

（3）分析問題.分析問題的結構和特點，考慮問題的關鍵點和解決路徑.根據已知條件和目標，尋找可行的逆向推理路徑.

（4）運用數學知識.根據問題的特點，靈活運用所學的數學知識和技巧，可能涉及代數、幾何、邏輯推理等方面的知識.

（5）確定解題方法.根據逆向推理的結果，確定解題方法和步驟.可能需要進行假設推理、條件判斷等.

（6）檢驗和驗證.完成解題后，要對結果進行檢驗和驗證，確保解題過程的正確性和邏輯性.

（7）總結歸納.最后，對解題過程進行總結歸納，反思解題思路和方法，提煉解題經驗，為以后解決類似問題做準備.

3 逆向思維的培養策略

3.1 引導學生提出反向問題

具體的方法包括：

（1）示范引導.教師可以先舉出一個例子，然后演示如何從已知條件出發，提出一個與之相反的問題.例如，在學習一個幾何問題時，教師可以示范如何從一個已知結論出發，提出一個相關的問題，讓學生明白逆向思維的過程.

（2）啟發式提問.在教學中，教師可以通過啟發性的提問引導學生思考.例如，可以問：“如果我們已經知道了一個問題的解決方案，那么這個問題可能是什么？”或者“如果我們希望達到某個目標，那么需要做哪些事情？”這樣的問題可以激發學生的逆向思維.

（3）案例分析.提供一些具體的案例或情境，讓學生通過分析案例提出逆向問題.例如，讓學生分析一個實際問題的解決方案，并思考如果問題的解決方案是某種特定情況下的結果，那么可能存在哪些反向問題.

（4）引導反思.在學習的過程中，教師可以定期引導學生對所學內容進行反思，讓他們思考問題的來源、解決方法以及可能存在的反向問題.這種反思可以幫助學生養成逆向思維的習慣，并逐漸提高他們的逆向思維能力［2］.

3.2 設計逆向思維訓練題

設計逆向思維訓練題是培養學生逆向思維能力的重要手段之一.具體的方法包括：

（1）反向問題設計.設計一些與已知問題相反的問題，要求學生通過已知條件來推斷未知情況.例如，如果已知一個幾何定理，可以設計一個與之相反的問題，讓學生思考如何推導出這個定理.

（2）引導性問題.設計一些啟發性的問題，引導學生從不同的角度思考問題.例如，可以提出一些“如果……會怎樣？”或者“假設……會有什么結果？”的問題，讓學生從反向思維的角度進行思考.

（3）多樣化題型.設計不同類型的題目，包括選擇題、填空題、解答題等，讓學生在不同的題型中都能夠有機會運用逆向思維.這樣可以全面培養學生的逆向思維能力.

（4）思維導圖.使用思維導圖等工具幫助學生組織思維，從而更好地提出反向問題.思維導圖可以將相關的知識點和思維路徑清晰地呈現出來，有助于學生形成逆向思維的習慣.

3.3 建立思維評價體系

（1）明確評價目標.首先，教師需要明確逆向思維的評價目標，包括評價的內容、標準和方法.評價目標應該具體明確，能夠清晰地指導學生的學習和思考.

（2）制定評價標準.根據逆向思維的特點和要求，制定相應的評價標準，包括思維的深度、廣度、邏輯性、創造性等方面.評價標準應該具體、可操作，便于教師和學生理解和應用.

（3）多元化評價方法.采用多種評價方法對學生的逆向思維進行評價，包括考試、作業、項目、討論、展示等.通過不同的評價方法可以全面地了解學生的思維水平和表現.

（4）建立評價記錄.教師可以建立學生的思維評價檔案，記錄他們在逆向思維方面的表現和進步情況.通過定期的評價和反饋，幫助學生建立自信心，激發他們的學習動力.

（5）注重過程評價.除了評價結果，還應注重評價學生的思維過程.通過觀察學生的思考方法、解決問題的策略和思維路徑，了解他們的思維能力和水平，為進一步的指導和培養提供依據.

參考文獻：

[1]鄭榮.初中數學教學中學生逆向思維能力的培養[J].學園，2024，17（11）：30-32.

[2]鐘曉冬.論如何在初中數學教學中培養學生的逆向思維能力[J].教育界，2024（5）：38-40.