基于核心素養提升的探究教學與反思

摘 要：在“橢圓的標準方程”一課經歷概念生成及方程構建之后，筆者開展追求理解的高中數學概念課教學實踐，以強化學生對問題本質的理解，遵循循序漸進的原則，適時利用即時生成的教學素材補充安排一節探究課，從方程化簡變形環節出發，側重于對各個代數式的直觀想象，開展基于核心素養提升的探究教學.

關鍵詞：核心素養；幾何意義；自主探究

筆者近期閱讀了《中學數學教學參考》中“指向深度學習的教學實踐與反思——以‘橢圓的標準方程’為例”.作者邵愛國在該文中提出：“高中數學教學要注重培養學生的自主學習能力，深度學習就是基于自主學習的基礎上實施的.”^［1］筆者注意到，作者在“橢圓的標準方程”一課中在概念引入環節特別注重讓學生動手操作，實現橢圓的再創造，有利于學生深度理解橢圓的含義；在建立橢圓方程的環節中，特別注重啟發學生深入探究，放手讓學生操作演算，從不同角度對比，很好地提升了學生數學運算的核心素養.

不過，筆者認為在方程化簡變形環節，若有意識地引導學生對變形過程中出現的各個代數式進行觀察、想象，尤其關注不同代數式的幾何意義，再作一些有益的變形推導，不但能很自然地推導出橢圓的焦半徑公式以及橢圓的第二定義，即橢圓上任意一點到焦點的距離比上到相應準線的距離為常數（離心率），而且能很好地提升學生直觀想象的核心素養，促進學生對數學問題本質的理解.因此，筆者在方程推導完成以后，又安排了一節探究課，從方程化簡變形環節出發，側重對各個代數式的直觀想象，開展基于核心素養提升的探究教學.

1 適時延伸探究，提升學生直觀想象素養

1.1 直觀想象兩點間距離，推得橢圓焦半徑公式

學生在對（x－c）2＋y2＋（x＋c）2＋y2＝2a的化簡變形中，通過探究發現，采用先移項得（x＋c）2＋y2＝2a－（x－c）2＋y2，再平方相對簡單，可以得到a2－cx＝a（x－c）2＋y2.

師：觀察等式兩邊，是否發現某些式子具有明顯的幾何意義？

@amp;生：amp;@發現（x－c）2＋y2可表示橢圓上任意一點P（x，y）到右焦點F2（c，0）的距離.

師：將等式變形為a－cax＝（x－c）2＋y2，你有何發現？

@amp;生：amp;@發現橢圓上任意一點P（x，y）到右焦點F2（c，0）的距離|PF2|＝（x－c）2＋y2＝a－cax，該距離的大小只與動點P的橫坐標有關，是關于動點P的橫坐標的一次函數.

師：能否用同樣的方法表示|PF1|？

@amp;生：amp;@同理，先移項得（x－c）2＋y2＝2a－（x＋c）2＋y2，再平方得a2＋cx＝a（x＋c）2＋y2，注意（x＋c）2＋y2表示|PF1|，所以|PF1|＝（x＋c）2＋y2＝a＋cax.

師：我們把這兩個公式叫作橢圓的焦半徑公式，由此發現，橢圓的焦半徑公式可以表示成關于動點P的橫坐標的一次函數，你還有什么辦法推導出焦半徑公式？

@amp;生1：amp;@既然已經觀察到橢圓的焦半徑公式只與動點P的橫坐標有關，又因為點P坐標滿足橢圓方程，可以實現減元，得|PF1|＝（x＋c）2＋y2＝（x＋c）2＋b21－x2a2＝c2a2x2＋2cx＋a2＝cax＋a2＝a＋cax＝a＋cax.

同理，可得|PF2|＝cax－a2＝cax－a＝a－cax.

@amp;生2：amp;@注意到這個等式（x－c）2＋y2＋（x＋c）2＋y2＝2a①，它的左邊是兩個焦半徑的和，要想求出焦半徑，從解方程組的角度，我們只需要表示出兩個焦半徑的差即可，所以需要對①式進行分子有理化，得－4cx（x－c）2＋y2－（x＋c）2＋y2＝2a，即（x－c）2＋y2－（x＋c）2＋y2＝－2cax②，聯立①②兩式，可得 |PF1|＝（x＋c）2＋y2＝a＋cax，|PF2|＝（x－c）2＋y2＝a－cax．

1.2 直觀想象點到直線的距離，推得橢圓的第二定義

師：觀察等式（x－c）2＋y2＝a－cax，左邊表示橢圓上任意一點到右焦點的距離，等式的右邊是否也能看成某個幾何意義呢？

@amp;生1：amp;@我覺得，左邊這個式子只和點P的橫坐標有關，如果把右邊x前面的系數變成1，那就可以把它看成點P（x，y）到一條豎線的距離了.

@amp;生2：amp;@對，所以我們應該把x的系數提出來，得到caa2c－x，那么a2c－x就可以看成是點P到定直線x＝a2c的距離了.

師：a2c－x一定可以表示距離嗎？

@amp;生：amp;@我們通常表示距離的時候要加絕對值，即a2c－x.

師：a2c－x這個絕對值能不能直接去掉？

@amp;生1：amp;@因為點P的橫坐標x的范圍在［－a，a］，a2c－x是一個正數，可以把絕對值直接去掉.

@amp;生2：amp;@等式右邊是點P到定直線x＝a2c的距離的ca倍，所以等式可化簡為（x－c）2＋y2a2c－x＝ca，即橢圓上任意一點到右焦點的距離比上到定直線x＝a2c（右準線）的距離為常數ca（離心率）.

師：我們知道橢圓有左、右兩個焦點，你能否同理得到其他結論？

@amp;生：amp;@由（x＋c）2＋y2＝a＋cax＝caa2c＋x＝cax－－a2c，即（x＋c）2＋y2x－－a2c＝ca，所以可以得出結論：橢圓上任意一點到左焦點的距離比上到定直線x＝－a2c（左準線）的距離為常數ca（離心率）．

2 教學反思

2.1 課堂教學要以發展學生核心素養為要義

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“在教學活動中，應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，使用恰當的數學語言描述問題，用數學的思想、方法解決問題.在問題解決的過程中，理解數學內容的本質，促進學生數學學科核心素養的形成和發展.”^［2］本節課在延續上節課提升學生數學運算的核心素養的基礎上，進一步凸顯直觀想象這一核心素養，如引導學生體會（x－c）2＋y2和（x＋c）2＋y2表示兩點間距離（橢圓的兩個焦半徑），a2c－x和x－－a2c分別表示點P到定直線x＝a2c和x＝－a2c的距離，以提升學生的直觀想象素養.蘇教版教材中更直接指出（x－c）2＋y2a2c－x＝ca，并讓學生解釋其幾何意義，對學生直觀想象素養的要求是明確的.因此，教師在課堂教學時，要始終以發展學生核心素養為要義，要善于挖掘有利于提升學生各種核心素養的有效素材，尤其是課堂教學過程中即時生成的一些好的素材，不要輕易放棄，以免錯失提升學生核心素養的有利時機，適時增加一些探究任務（課時），只要是有利于提升學生核心素養也是有必要的．

2.2 有效提升核心素養的課堂要突出學生自主探究

本課是根據人教A版《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊》中“橢圓的標準方程”一課中橢圓標準方程推導過程中的一系列代數式延展出來的一節探究課.教師在教學的過程中，不是僅僅局限于把橢圓的標準方程推導給學生看，而是要讓學生通過直觀想象，自主發現其中代數式的幾何意義.例如，學生觀察出（x－c）2＋y2和（x＋c）2＋y2表示兩點間距離（橢圓的兩個焦半徑），在求焦半徑的時候，學生注意到了動點P的坐標滿足橢圓方程，從而采用了減元思想，減少變量y，同時也注意到了橢圓定義，即給出兩個距離（焦半徑）的和，要想求出焦半徑，從解方程組的角度，只需要表示出兩個焦半徑的差，然后采用解方程組的思想得出焦半徑公式.自主探究在提升學生核心素養的同時，也能更好地幫助學生理解橢圓的焦半徑公式以及橢圓的第二定義，而且在后面雙曲線一節也可作類似的進一步探究，這樣一以貫之的學習也能為學生的學習提供完整串聯的知識框架，以及良好的邏輯思維習慣.在課堂上，教師要一以貫之地適時引導，激發學生自主思考，鼓勵學生交流、爭論，觸發學生真正的自主探究．

2.3 用好教材并善于捕捉即時生成的教學資源，適時開展探究教學

對于圓錐曲線的第二定義，人教A版教材是如下處理的.首先，在橢圓的簡單幾何性質一節中安排了一道例題6“動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和M到定直線l：x＝254的距離的比是常數45，求動點M的軌跡”，然后在習題3.1復習鞏固中安排一道習題“點M與定點F（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離的比是1∶2，求動點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形”，最后再安排了一節信息技術應用“用信息技術探究點的軌跡：橢圓”，把例題和習題的特殊情形推廣到了一般情形.在雙曲線中，同樣先安排一道例題，然后在綜合運用中安排一道一般情形的習題.蘇教版教材先在習題3.1（1）中安排了一道習題“動點P與定點F（1，0）的距離是到定直線x=9的距離的13，試判斷P的軌跡是什么圖形”，然后在習題3.1（2）的思考運用中直接指出，在推導橢圓的標準方程時，曾得到這樣一個方程a2－cx＝a（x－c）2＋y2，將其變形為（x－c）2＋y2a2c－x＝ca，并讓學生解釋其幾何意義.在雙曲線習題3.2（2）探究拓展中安排了一道一般情形的習題.最后在圓錐曲線章末鏈接中，總結了圓錐曲線的統一定義.兩個版本的教材在內容編排上略有不同，但都遵循了循序漸進的原則，從特殊到一般，都對學生的直觀想象提出了較高的要求.所以筆者認為，教師教學要用好教材，善于使用教材，適時捕捉課堂中即時生成的教學素材，在“橢圓的標準方程”一課中，尤其在標準方程的推導環節中，所產生的素材（各代數式所蘊含的幾何意義）能及時把握，將會收到較好的教學效果，所以筆者覺得在這個地方適時地引入這么一堂探究課是很有必要的，這種教學素材是在課堂中生成的，是自然的，是符合學生思維習慣的，也是符合知識發生發展的內在邏輯的．

參考文獻

［1］邵愛國.指向深度學習的教學實踐與反思——以“橢圓的標準方程”為例［J］.中學數學教學參考，2023（16）：32-34．

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017 年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020．

*基金項目：江蘇省中小學教學研究第十五期課題“追求理解的高中數學概念課教學實踐研究”（項目編號：2023JY15L54）.