高中數學建模“四階三維”教學的內涵、模式與實踐

【摘 要】數學建模是數學學科核心素養之一，是聯系數學與外部世界的重要橋梁，同時對培養拔尖創新人才有重要的意義。如何讓高中數學建模教學落地是一線數學教師較為關心的問題。文章探索了高中數學建模教學落地的“四階三維”教學范式，為當前中學數學教師進行數學建模教學所面臨的新挑戰提供思路與對策。

【關鍵詞】數學建模; 核心素養; 四階三維

【作者簡介】吳佐慧，正高級教師，特級教師，柳州高級中學視導室主任。

【基金項目】廣西教育科學“十四五”規劃2024年度基礎教育教師發展專項重點課題“拔尖創新人才培養視域下高中數學教師專業發展的實踐研究”（2024ZJY151）；廣西八桂教育家搖籃工程；柳州市教育研究專項課題“指向拔尖創新人才培養的高中數學課程體系構建與實踐”（2023-B05）

一、引言

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）強調，數學模型搭建了數學與外部世界的橋梁，是數學應用的重要形式。數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題和用數學方法構建模型解決問題的素養。數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力。［1］數學建模的實施與推進主要采用數學建模活動與數學探究活動的形式，《標準》對高中數學建模實施與推進的相關論述為基礎教育階段數學建模的實施指明了方向。積極引入數學建模與數學探究課程，能激發學生的學術志趣，并顯著提升他們的科學素養。

筆者通過調研發現，數學建模走進高中數學課堂教學仍然是廣西高中一線數學教師比較關注的問題之一。同時，大多數學生對于高中數學建模僅是聽說過，熟悉數學建模基本步驟的學生只占很一小部分。這在一定程度上表明教師在日常數學教學中對應用意識和問題解決能力培養的忽視，同時也揭示了數學建模教學上的不足。此外，不少學生和教師混淆了數學建模與解決應用題之間的根本區別，這進一步凸顯了教學導向上的偏差。

基于以上問題，教師要加強數學建模的教學與實踐，培養學生的問題意識和問題解決能力，同時明確區分數學建模與解決應用題之間的差異，幫助學生建立正確的數學應用觀念。筆者團隊探索出高中數學建模教學“四階三維”的新范式，希望能為中學數學教師進行數學建模教學提供思路與對策。

二、“四階三維”教學的內涵

高中數學建模“四階三維”模式的教學目標直接定位于發展學生的核心素養。“四階三維”圍繞數學學科育人的總目標，提煉并實踐具體的教學范式以及評價模型，開發高中數學建模系列資源，為解決高中數學建模教學問題提供相應的理論支撐以及方法策略上的支持，踐行“教是為了不教”的教育理念。

1.四階

“四階”指嵌入式、單元復習式、活動探究式和自主科研式等四種遞進的教學模式。根據皮亞杰的兒童心理學發展理論以及建構主義教育理論，建模教學要充分考慮學生能力的差異以及知識儲備的個體差異，因材施教是教師在教學中必須深入思考的問題。為了確保數學建模能夠平穩地融入日常教學，教師需要有層次地推進教學進程。依據《標準》的闡述，數學建模過程對教師與學生的要求均頗高。若教師一開始便要求學生嚴格按照數學建模的基本步驟來完成相關活動，不僅會使學生陷入困惑與無助的境地，還可能直接影響課堂的教學效果。因此，教師需要循序漸進地引導學生逐步熟悉和掌握數學建模的過程，從簡單的實例入手，逐漸增加難度和復雜度，讓學生在實踐中逐步領悟數學建模的精髓。同時，教師也需不斷提升自身的專業素養和教學能力，以更好地指導學生完成數學建模活動，確保教學效果的最優化。

認知發展是一個連續不斷的過程，每一階段都是在前一階段的基礎上發展起來的，并超越前一階段。為了讓不同水平的學生在數學建模的學習與活動中都能得到相應的發展，同時增強數學建模教學的可操作性和實效性，筆者基于日常的教學經驗和研討，精心設計了四種教學模式——嵌入式、單元復習式、活動探究式和自主科研式［2］。四種模式層層遞進，隨著學習的推進，學生的能力和素養得到不斷提升（見圖1）。

2.三維

“三維”是指從三個維度進行評價，即評什么、怎么評、誰來評。在三個維度中又分八個一級指標和二十二個二級指標，注重過程性評價。

3.教學目標

教師的角色不再是純粹的知識傳遞者，而是引導者和激發者，鼓勵學生主動參與學習過程。在遵循《標準》指引的基礎上，筆者希望通過精心設計的層次化教學活動，達成以下課程總目標：學生能夠立足于現實生活，完整經歷從發現問題、分析問題到解決問題的過程，從而深刻理解數學與現實世界的內在聯系。在這個過程中，學生不僅要學會運用數學模型解決實際問題，更要體會數學的實際應用價值，認識到數學模型在跨學科領域中的重要作用。這對培養學生的應用意識、創新意識和科學精神有極大幫助。

鑒于高中數學教學的獨特性和重要性，筆者選擇在高一和高二實施數學建模教學。為了更精準地實現總體目標，筆者根據學生的認知成長規律和能力階梯，制訂遞進式的階段性目標［2-3］。

三、“四階三維”教學的實踐

1.“四階”教學模式

嵌入式、單元復習式、活動探究式和自主科研式教學模式旨在適應不同學生的需求，提供多樣化的學習路徑，讓數學建模教學更具可操作性。

（1）嵌入式

嵌入式教學側重于選擇接近實際應用的問題，即具備明確條件和明確答案的實用性問題。如圖2所示，該教學模式的核心目標在于通過將數學實際問題與理論知識相結合，激發學生的學習興趣，讓學生深刻體會數學在現實生活及生產活動中的實用價值，從而真正認識數學的力量。嵌入式教學模式尤其適合數學建模基礎相對薄弱的學生。

例如，在“探究圓錐曲線的光學性質”課例［4］中，教師選取教材中圓錐曲線的光學性質作為本節課的主要內容，引入相關生活情境（如彈珠、反射鏡、太陽灶等），激發學生的探究欲望，引導學生建立橢圓、雙曲線與拋物線模型，解決實際問題。

（2）單元復習式

如圖3所示，單元復習式教學模式摒棄了傳統的“知識+題型”的復習框架，通過解決實際問題來回顧和應用知識。在這種模式下，教師可根據學生具體的能力水平來靈活選擇實際問題，選取的問題既可以是具有明確條件和答案的應用題，也可以是更為開放、具備實際背景的挑戰性問題。這一教學模式的核心在于將學生置于數學應用的生動場景中，讓學生在實際操作中深化對數學的理解，強化應用知識的能力，從而達到鞏固知識的目的。同時，這一教學模式也著重培養學生分析問題和解決問題的綜合能力。

例如，在“不同增長的函數模型”課例［5］中，教師先播放微課動畫視頻《指數爆炸》，引導學生回顧幾個基本初等函數的性質、圖象，引出本節課主題——不同增長的函數模型；接著呈現兩個情境，讓學生體會數學知識的實際應用性，引導學生把實際問題轉換成數學問題，建立相應的函數模型并解決之；最后讓學生總結歸納。

（3）活動探究式

如圖4所示，活動探究式教學模式著重激發學生學習的內驅力，引導學生自主面對并解決問題。盡管這一模式的課型依然是由教師安排選題，但特別適用于初步掌握數學建模要領的學生。這一教學模式的目標在于：引導學生參與課外的調研、信息收集等活動，提升他們運用數學知識解決實際問題的自覺性；同時，在運用知識構建和求解模型的過程中，學生能夠察覺自己在知識掌握上的短板和不足，進而形成深入回顧和深化學習相關知識的內驅力。教師在這一模式的課堂中主要承擔引導者和組織者的角色。

例如，在“緩解學校門口道路通行壓力”課例［6］中，教師先確定“校門口紅綠燈時長”的主題，引導學生提出相應的數學問題，然后學生自己收集、分析數據，接著確定參數并計算求解，最后完成相關的調查報告，在教師的組織引導下分享與交流成果。

（4）自主科研式

如圖5所示，自主科研式教學模式以學生為主體，教師在初期僅提供指導和協助，學生需獨立完成從選題到論文撰寫的全過程。這一模式特別適用于已具備一定數學建模能力的學生，目標在于：著重培養學生的自主學習能力和探索精神，強調學習的實踐性、開放性和創新性；確保學生能夠親身經歷數學建模的每一個環節，在具有挑戰性的學習環境中激發學生的好奇心和求知欲。

例如，在“風險與決策”課例［7］中，教師先通過一節起始課“風險與決策——基于隨機變量的均值進行決策”，引導學生從風險與決策的角度分析問題，并歸納出風險型決策的特征。起始課之后教師留下相應的拓展作業，引導學生以個人或小組合作的形式自主選擇實際問題，查閱相關資料，建立數學模型解決問題并對結果進行檢驗。接著學生要給出相應的決策，形成對應的論文并模擬答辯。最后教師給出評價和總結。

在教學實施過程中，教師要關注學生的個體差異，根據實際情況進行有針對性的指導和幫助。同時，教師要鼓勵學生在數學建模活動中發揮主動性和創新性，通過自主探究和合作學習來提升建模能力和問題解決能力。這樣的數學建模教學能滿足學生的個性化需求，為學生的全面發展提供有力支持。

2.“三維”評價框架

當前的課堂教學面臨的一個問題是重成果、輕過程，實際上有些項目是不是有成果并不重要，因為在完成項目的過程中學生已得到充分的鍛煉。中學階段拔尖創新人才培養應該注重過程，因為過程是培養能力的，過程是提高素質的，過程要比結果重要得多。［8］

評價在數學建模教學中有舉足輕重的地位，精準、恰當的評價能極大地推動學生的成長和發展，它不僅是衡量學生學習成果的標尺，更是推動學生全面發展的重要動力。為精準有效地提升高中生的數學建模素養，教師必須摒棄單一的評價模式，采用多元化的評價策略。本文提出要從三個維度進行評價，即評什么、怎么評、誰來評，在三個維度中又分八個一級指標和二十二個二級指標（見表1），同時注重過程性評價。

數學建模素養多元化評價強調對學生綜合素質的全面考量，不僅關注成績，更重視學生在學習過程中展現出來的興趣、好奇心、思維品質、團隊協作能力、實踐能力等。筆者整合了數學探究性學習、文獻閱讀與寫作、數學素養測試等多種活動，為學生搭建展現自我、鍛煉能力的平臺，同時也為教師提供了更加全面、深入的評價依據。

四、小結

為了更好地提升教學效果，“四階三維”教學模式的課堂教學設計需要細化和明確。如何進行有效的數學建模課堂教學設計？首先，“四階三維”教學模式的學習目標不宜定得過高。通過多次實踐，筆者發現如果教師把學習目標定得太高，學生在有限的課時時間內很難完成相關任務，學習積極性就會受挫，因此，教師要根據學生的情況動態調整學習目標。其次，設計有價值的研究問題。在數學建模的課堂教學活動中，教師要格外關注所設計的研究問題，要明確問題鏈的主干問題，即問題邏輯要層層遞進。同時，由于問題鏈具有預設性以及課堂中師生有交互，因此，在課堂中教師要根據實際情況對問題鏈進行適當調整。

日本著名數學教育家米山國藏指出，學生在畢業之后不久，數學知識很快就忘掉了，然而，不管他們從事什么業務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終身。［9］因此，教師在高中階段的數學教學中應該教給學生的是數學的思維方式與解決問題的方法，引導學生主動并且自主地學數學、做數學、用數學，即會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020：6.

［2］吳佐慧，曾露儀. 高中數學建模教學關鍵問題的探索與解決思路［J］. 廣西教育，2021（6）：60-63.

［3］吳佐慧. 高中數學建模校本課程體系的構建與實踐［J］. 數學通訊，2022（22）：36-38，40.

［4］羅秋. 數學建模教學模式探索之嵌入式：以探究圓錐曲線的光學性質為例［J］. 廣西教育，2021（6）：64-66.

［5］曾露儀. 數學建模教學模式探索之單元復習式（1）：以不同增長的函數模型為例［J］. 廣西教育，2021（6）：67-69，82.

［6］何東潮. 數學建模教學模式探索之活動探究式：以緩解學校門口道路通行壓力為例［J］. 廣西教育，2021（6）：77-79.

［7］韋暢. 數學建模教學模式探索之自主科研式：以風險與決策為例［J］. 廣西教育，2021（6）：80-82.

［8］王殿軍. 拔尖創新人才培養應更關注過程［J］. 未來教育家，2014（9）：72.

［9］米山國藏. 數學的精神 思想和方法 ［M］. 毛正中，吳素華，譯. 成都：四川教育出版社，1986：序.

（責任編輯：潘安）