學習遷移視角下高中數學章起始課教學設計

摘要：章起始課是單元教學的第一課，在明確學習方向、構建知識框架、確定思想研究方法等方面具有綱領性的作用.本文以學習遷移為基礎，以高中數學“函數的概念”為內容載體，從“舊知引新知、情境生概念、新知喚舊知、課堂小結”等方面進行教學設計，并提出教學反思.

關鍵詞：章起始課；學習遷移；函數的概念；教學設計

學習遷移是指學生原有認知結構中的知識和技能對新的學習過程的影響，是知識轉化、遷移、整合等過程中的心理活動.［1］學習遷移強調在不同情境中靈活運用知識和技能的能力.在數學教學中，教師運用這一理論可以促進學生對概念的深入理解和靈活運用.［2］同時，普通高中數學教育應將重點放在提升學生能夠將所學知識靈活運用到實際生活中的能力.［3］

章起始課作為單元的“先行組織者”，對學生的整體學習過程和數學素養的提升有著深遠影響，在知識的引入、學習動機的激發、思維能力的培養、知識的遷移等方面也起到了重要的作用.［4］通過對以往知識的復習，將新舊知識融會貫通，使學生對新概念、舊知識之間的聯系有更清晰的認識與理解，從而形成知識的系統化網絡結構.本文以人教A版《普通高中教科書數學必修第一冊》第三章“函數的概念”章起始課為例，從學習遷移視角進行了教學設計，并提出了教學設計反思.

1學習遷移視角下“函數的概念”章起始課教學設計

1.1內容分析

函數作為高中數學課程的主線之一，其知識內部具備很強的整體性、關聯性與同構性.［5］“函數的概念”是高中數學學習階段除“預備知識”之外，學生接觸到的第一個數學知識內容，所以這節課不僅是“函數的概念”章起始課，也是高中函數主線的起始課程.同時本節課也是一節在初中“函數變量說”基礎上的概念課，學生嘗試用集合語言對函數概念進行定義，進一步將函數概念抽象為“對應關系說”，使學生理解“對應關系說”函數概念的本質，為學生在后面章節中繼續學習函數的表示法、圖象和性質做好準備.

1.2學情分析

學生在初中已初步學習過函數知識，知道“與之對應”“因變量會隨著自變量的變化而變化”，對一次函數、二次函數、反比例函數等常見的函數模型也比較熟悉，但是已有認知結構中沒有自變量取值范圍這一概念.學生在以往的學習中雖然接觸了多種函數的表現形式，但對其本質的理解仍顯不足.函數的概念涉及大量文字描述和復雜的邏輯表達，抽象程度高且符號化、形式化明顯.

經過預備知識的學習，學生雖在知識、技能方法、思維品格等方面為函數新篇章打下了基礎，但現階段其數學抽象素養、數學語言的嚴謹性、邏輯性等方面仍顯不足.由此可見，本節課的重難點在于對對應關系本質的理解以及抽象形成函數概念的過程.為了有效突破這些難點，本節課將通過復習初中所學函數知識，借助情境引入來激發學生的研究興趣，采用問題驅動的方法引導學生進行合作與交流.此外，借助信息技術可實現抽象內容的可視化和靜態內容動態化，從而幫助學生更好地理解函數概念.

1.3教學目標

本節課的教學目標如下.

（1）運用“變量說”描述具體情境中對應的函數關系，分析并歸納出函數的共同特征，抽象出函數概念，建立“對應關系說”，增強數學抽象和邏輯推理素養.

（2）通過解析式、圖象、表格等形式理解函數的對應關系，體會引入符號f表示對應法則的必要性；并能用函數概念刻畫簡單具體的函數.

1.4教學重點與難點

本節課的教學重點與難點如下.

教學重點：函數的概念、函數的三要素.

教學難點：函數的概念、對應法則的含義，符號y=f（x），x∈A.

1.5教學過程設計

環節一：舊知引新知.

問題1在初中我們學習過哪些基本函數？初中函數的定義又是什么呢？根據已學知識回答下列兩個小問題.

（1）正方形周長l與邊長a的關系是l=4a，l是a的函數嗎？它與正比例函數y=4x相同嗎？

（2）根據已學函數知識，能否判斷出y=x與y=x2x是否相同？

【設計意圖】兩個小問題引導學生在判斷兩個函數是否相同時，從自變量和對應關系入手，為后面強調函數的三要素作鋪墊，同時也讓學生認識到對函數概念進一步研究的必要性.

環節二：情境生概念.

問題2某高速列車加速到200km/h后，保持勻速行駛0.5h.這段時間內，列車行進的路程s（單位：km）與運行時間t（單位：h）之間的關系可以表示為s=200t.

（1）根據初中所學知識，s是t的函數嗎？

（2）當列車加速到200km/h后，列車運行15min行進距離是多少？能否求出運行1h的行進距離？

（3）時間t和路程s的變化范圍如何用集合A1和集合B1來表示？集合A1和集合B1之間的對應關系是什么？

（4）根據上述問題，如何更精準地表達s與t的關系？

【設計意圖】 第（1）小問是讓學生回顧初中函數知識，根據初中所學的函數定義回答問題，培養用定義作判斷的意識；第（2）小問是讓學生認識到函數關系要考慮自變量的變化范圍；第（3）（4）小問是讓學生關注自變量與因變量的變化范圍，在具體情境中嘗試用更嚴謹的語言表達函數的概念.

問題3一家電器維修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超過6天.如果公司確定的工資標準是每人每天350元，并且每周付一次工資，回答以下四個小問題.

（1）該公司員工的每周工資由什么因素決定？如何確定員工的每周具體工資？

（2）該公司每位員工的每周工資ω（單位：元）是工作天數d（單位：天）的函數嗎？

（3）工作天數d和每周工資ω的變化范圍如何用集合A2和集合B2來表示？集合A2和集合B2之間的對應關系是什么？

（4）參考問題2，如何精準表示出ω與d的對應關系？

追問問題2中的s=200 t與問題3中的ω=350 d是同一個函數嗎？它們又有哪些異同點？

【設計意圖】本題是解決工資問題，學生很容易把它與工作天數聯系起來考慮，一是讓學生從具體情境中學會抽象函數的自變量；二是引導學生使用解析法、列表法、圖象法（可強調解析法，以便追問與問題1進行比較）等不同的函數表示法；三是讓學生根據變量間的對應關系判斷ω是否為d的函數，并讓學生再次刻畫出函數關系，訓練他們使用集合語言的表達方式.同時，通過追問，引導學生思考確定函數概念的基本條件，強調自變量范圍和因變量范圍的重要性.

問題4下圖為北京市2016年11月23日的空氣質量指數（Air Quality Index，簡稱AQI）變化圖.

（1）根據該圖，能否確定這一天內任意時刻t的空氣質量指數I？

（2）I是t的函數嗎？如果是，你能描述I與t的對應關系嗎？

追問1本題中，t和I的變化范圍大致是什么？如何用集合來表示？

追問2對于數集B3=｛t|0≤t≤24｝中任意一個t值，能否根據圖象判斷出是否有唯一的I與之對應？

【設計意圖】學生雖然初中已經學過函數的定義，有利用定義判斷是否是函數的經驗.但在學生固有思維中，他們通常認為只有可判斷出自變量對應的函數值，這樣的關系才能叫作函數，如解析式等.所以本題中學生根據圖象判斷“變量說”的函數概念比較困難，學生認為無法從圖象中得到具體的自變量與因變量對應關系，函數值不能準確確定，只能先引入一個較大數集，使得函數值能夠完全包含在內.根據追問2學生認可圖象可以表示函數，同時也加深了用集合語言描述函數關系的意識.

問題5國際上常用恩格爾系數rr=食物支出金額總支出金額×100%反映一個地區人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高.根據表1可以看出，該省城鎮居民的生活質量越來越高.

（1）根據表中數據，恩格爾系數r是年份y的函數嗎？

（2）仿照問題2到問題4的方法，你能精確描述這個函數嗎？

（3）聯系實際情況，如果我們引入集合B4=｛r|0lt;r≤1｝，對于任意一個年份y，都有唯一集合B4中唯一的r值與之對應嗎？

【設計意圖】通過問題2到問題5的訓練，學生能夠下意識利用初中的函數定義，判斷出這道題中的表格可以表示為函數.第（3）小問與問題4的追問2有異曲同工之妙，都是為了讓學生體會到函數值所在集合和函數值集合的區別與聯系.

問題6同學們，回顧問題2到問題5，你發現了它們有哪些共同點與不同點，請你借助這四個問題實例中完善“變量說”的經驗，嘗試完善初中函數的定義.

【設計意圖】學生歸納異同點時，答案會相對比較開放.教師可以引導學生從自變量取值集合、函數值所在集合、對應關系、函數表示方式等方面進行歸納總結，讓學生通過歸納四個函數的共同特點，體會到數學抽象的過程，并嘗試用集合語言刻畫出函數的概念，最后再由教師進行補充.

環節三：新知喚舊知.

問題7請你根據函數的概念，重新表述一下一次函數、二次函數、反比例函數.

【設計意圖】與已有認知形成閉環，對已學函數重新定義，加深函數定義理解的同時，也再次加深對函數三要素的認識.

環節四：課堂小結.

（1）體會函數是描述變量之間依賴關系的重要數學模型.

（2）用集合與對應的思想理解函數的概念.

（3）理解函數三要素和函數符號的深刻意義.

（4）函數概念學習的一般思路為創設情境—歸納共性—生成概念—辨析概念—應用概念.

2教學反思

有效的章起始課能夠促進學生在數學學習中的遷移能力，提高他們對新知識的理解和應用水平.本節課以“函數的概念”為例，以學生為中心，從學生對函數定義的已有認知出發.首先，通過四個實例引導學生感知函數三要素的重要性，使學生意識到“更新”函數定義的必要性.其次，四個實例層層遞進，其中既有離散的自變量取值，又有連續的自變量取值，也涉及函數的三種表示方式，為后續學習作鋪墊.問題2和問題3是讓學生學會用集合刻畫函數的定義域與值域，并用集合語言刻畫出函數的對應關系（或集合間的對應關系）.問題4和問題5是讓學生體會到函數值所在集合與函數值取值集合的區別.用對應關系將四個問題串聯起來，使學生逐漸從“變量說”過渡到“對應關系說”，在函數概念的生成過程中提升了學生的“數學抽象”素養.

參考文獻

［1］李保臻，劉凱峰.波利亞“怎樣解題表”的心理機制分析及其啟示［J］.西北師范大學學報（自然科學版），2003（2）：99-101.

［2］范秀雄.核心素養下高中數學培養學生知識遷移能力的研究［J］.才智，2020（20）：138-139.

［3］關心.學習遷移理論在高中數學教學中應用的研究［D］.延吉：延邊大學，2018.

［4］［5］邢成云，王尚志.初中數學“章起始課”的探索與思考［J］.課程·教材·教法，2021（3）：76-82.