新課標下高中數(shù)學復數(shù)的有效教學研究

摘要：新課標將“課堂有效性”作為數(shù)學教學工作的主要方向，為教學創(chuàng)新提供了重要參考，促進了數(shù)學教學的改革發(fā)展.復數(shù)作為高中課程體系中的教學內(nèi)容，在數(shù)系擴充理論發(fā)展和學生思維培養(yǎng)方面具有積極的影響，需要教師以實際教學情況為基礎進行深入研究.

關鍵詞：新課標；高中數(shù)學；復數(shù)

復數(shù)的合理化應用，對于解答數(shù)學問題、培養(yǎng)數(shù)學思維具有重要的影響.復數(shù)在運算和幾何中都有廣泛應用.因此，在整合高中數(shù)學知識點時，教師應加強復數(shù)概念學習，通過引入相關知識點，使學生主動探索復數(shù)的幾何意義；通過強化學生對復數(shù)知識的應用技能，使其逐步形成良好的數(shù)學學習行為，為學習復數(shù)的四則運算奠定基礎.在教學過程中，教師通過幫助學生解答復數(shù)疑慮，強化復數(shù)學習技能，旨在幫助學生提高綜合性實踐能力，為發(fā)展數(shù)學思想奠定堅實基礎.

1“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”教學設計

1.1教材分析

“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”知識點是人教A版《普通高中教科書數(shù)學必修第二冊》第七章中7.1節(jié)“復數(shù)的概念”第1課時的知識，其教學內(nèi)容涵蓋復數(shù)的產(chǎn)生、數(shù)系的擴充、復數(shù)的概念.教師在類比實數(shù)系擴充的方法下，引入復數(shù)的概念、定義虛數(shù)的概念，這個過程能夠體現(xiàn)復數(shù)知識點的學習必要性，使學生養(yǎng)成良好的數(shù)學科學思維.［1］在這一階段學習過程中，學生已掌握非負整數(shù)集、正整數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集和實數(shù)集的概念知識以及運算法則，為復數(shù)學習做好知識鋪墊.同時，學生已經(jīng)對方程的概念、方程的解，以及通過一元二次方程求解進行學習與應用，為本章節(jié)知識學習做好準備工作.義務教育階段對數(shù)學知識的介紹較為詳細，但學生只了解一部分知識，因此，在復數(shù)教學過程中，教師應通過優(yōu)化教學路徑和創(chuàng)新教學方法，幫助學生建構抽象思維.在復數(shù)學習過程中，以強化數(shù)學能力，提高學科核心素養(yǎng)為目的.

1.2教學目標、教學重點與難點

1.2.1教學目標

本節(jié)課的教學目標如下.

（1）探究數(shù)系逐步擴充的發(fā)展歷程.

（2）深入理解與復數(shù)相關的基礎概念.

（3）熟練掌握復數(shù)的各種表示方式.

1.2.2教學重點與難點

本節(jié)課的教學重點與難點如下.

（1）重點在于了解數(shù)系擴充的基本過程，以及復數(shù)核心概念.

（2）難點是接受并理解虛數(shù)單位的引入.

1.3教學過程

1.3.1創(chuàng)設情境，引入新知

問題1基于一元二次方程相關知識點，x2—10x＋40＝0是否有實數(shù)根？

分析：因為Δ＜0，所以該方程沒有實數(shù)根.

問題2歷史上有位數(shù)學家曾表示該方程其實存在兩個根，大家能否猜測這兩個根是什么？

【設計意圖】通過提出看似矛盾的數(shù)學問題，引發(fā)學生對所學知識的好奇心，使學生脫離傳統(tǒng)框架束縛，探索新知領域，為后續(xù)教學活動的順利實施提供保障.

問題3該方程的兩個根是x＝5±－15，與以往我們所學的實數(shù)根有哪些區(qū)別呢？

分析：經(jīng)過對比之后，學生發(fā)現(xiàn)根號下是負數(shù)，按照常規(guī)理解，根號下的負數(shù)是沒有意義的，這正是引入復數(shù)概念的好時機.

師：當意大利數(shù)學家卡爾達諾（G.Cardano）面對這種類型的方程時，也遇到了類似的疑問，他沒有停止探索，而是采取了一元三次方程探究法對方程進行解答，即x3＋px＋q＝0的一個求根公式，

對x3－7x＋6＝0進行求解.

分析：求解過程中，存在負數(shù)需要開方的問題.

師：解得這個方程的三個根是1，2，－3，得出負數(shù)開方具有現(xiàn)實意義，像－15這樣的數(shù)存在研究價值.

師：卡爾達諾把5±－15叫作“虛構的數(shù)”，即為a＋b－1.繼卡爾達諾后，法國數(shù)學家笛卡爾（R.Descartes）將其命名為“虛數(shù)”，瑞士數(shù)學家歐拉（L.Euler）用“i”表示－1.

【設計意圖】教師通過教學過程中的有效引導，幫助學生進行數(shù)學聯(lián)想，利用實數(shù)系的擴充學習方法，類比出同樣的情境，得出數(shù)學系數(shù)的擴充形式，由此幫助學生建構數(shù)學思維.［2］

師：學習復數(shù)相關知識，如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)稱為復數(shù)，其中i為虛數(shù).由復數(shù)組成的集合可以被稱為復數(shù)集，通常用z＝a＋bi表示，a為實部，b為虛部.

問題4怎樣計算復數(shù)中的i，需要運用什么計算規(guī)律？

分析：學生能夠在教師引導下，觀察方程由于根是復數(shù)無法開平方，沒有實數(shù)解，則x2＋1＝0無實數(shù)解.又由于i＝－1，則方程x2＋1＝0有解x＝i，則x2＝－1.

【設計意圖】教師通過循序漸進的教學過程，使學生對復數(shù)有更全面的認知.根據(jù)歷史上數(shù)學家經(jīng)歷的問題，培養(yǎng)學生科學探究意識，使學生能夠在計算中發(fā)現(xiàn)知識中存在的矛盾.在此背景下，幫助學生強化知識學習能力，培養(yǎng)發(fā)散性思維，提高數(shù)學問題解答能力，與高中數(shù)學教學目標保持一致性.基于對復數(shù)開平方的深入研究，了解i的計算方法，學習系數(shù)擴充本質(zhì)，使學生在復數(shù)中虛數(shù)單位i不是憑空捏造的實際情況下感受數(shù)學內(nèi)涵，加強學生對數(shù)學概念的認知.［3］

問題5當復數(shù)的形式為a＋bi，其中a和b均為實數(shù)，如果b＝0，則可以得出什么？

分析：當b＝0時，z＝a為實數(shù).

問題6如果a和b均等于0，則這個復數(shù)表示什么？

分析：表示實數(shù)0.

問題7如果b≠0，a＝0，又得到什么？

分析：可以得到bi，

稱其為純虛數(shù).

問題8我們能否從上述討論中得出復數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)之間的關系？怎樣用圖形表示？

分析：得出復數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)之間的關系，如圖1所示.

【設計意圖】分析實數(shù)、復數(shù)、虛數(shù)等的概念，探索其相互關系，培養(yǎng)學生推理意識，促進學生數(shù)學思維發(fā)展.

1.3.2組織練習，鞏固知識

練習1對5＋6i，8－3i，12－2i，－4－56i，－0.6i，5進行分類？

練習2虛數(shù)m是什么數(shù)時，復數(shù)z＝m＋6＋（m－3）i是以下哪種數(shù)？

（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).

【設計意圖】通過練習1，使學生學習如何對復數(shù)進行分類，提高其對數(shù)集的理解.通過練習2，融合實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)等概念，引導學生進行習題練習，理解本節(jié)課程所學知識，從而判斷復數(shù).

2“復數(shù)的幾何意義”教學設計

2.1教材分析

當完成對復數(shù)基礎知識的學習后，引導學生進行更深入的學習，為學生掌握復數(shù)四則運算規(guī)律奠定基礎.學生在學習實數(shù)的幾何意義、平面向量知識后，通過類比幾何意義，幫助學生借助復平面認識過程，強化對知識點的解讀和理解能力，為學生建構二維思想奠定堅實基礎.

2.2教學目標、教學重點與難點

2.2.1教學目標

本節(jié)課的教學目標如下.

（1）對比實數(shù)與復數(shù)的關系，引導學生理解復數(shù)的幾何意義，認識到每一個復數(shù)都可以在復平面上找到一個唯一的對應點.

（2）能夠識別復平面上的實軸和虛軸，并理解這兩個軸是如何劃分復平面的.

（3）熟練應用公式計算復數(shù)的模，深入理解復數(shù)的模所代表的幾何意義.

2.2.2教學重點與難點

本節(jié)課的教學重點與難點如下.

（1）重點在于讓學生理解復數(shù)的幾何意義.

（2）難點在于讓學生理解復數(shù)的模的含義.

2.3教學過程

2.3.1創(chuàng)設情境，引入新知

問題1復數(shù)與實數(shù)有何種聯(lián)系？

分析：復數(shù)通常形式為z＝a＋bi，當復數(shù)的虛部等于0時，該復數(shù)簡化為實數(shù)，表明實數(shù)集是復數(shù)集的子集.

【設計意圖】通過分析復數(shù)與實數(shù)間的聯(lián)系，輔助學生明確復數(shù)的根本概念，幫助學生進行歸納與總結，以夯實未來探討復數(shù)與幾何相互作用的基礎.

問題2我們是否有可能像表示實數(shù)那樣，采用數(shù)軸來表示復數(shù)呢？

分析：復數(shù)由實部與虛部組成，單一數(shù)軸無法表達，必須依靠兩條數(shù)軸進行表示.

問題3那我們應該如何利用兩條數(shù)軸來描繪復數(shù)？

分析：平面直角坐標系可以基于有序數(shù)對概念構建.

【設計意圖】通過串聯(lián)一系列問題的思考鏈條，引導學生深化研究，以提升其學習技能.

問題4由于復數(shù)z＝a＋bi可以被一個有序?qū)Γ╝，b）確定，二者之間存在著一一對應關系.如何在有序數(shù)與平面直角坐標系中建立這種對應關系？

分析：類似于平面直角坐標系中的表示方法，可以用兩條數(shù)軸分別代表實部與虛部.

問題5通過對圖2進行研究，實數(shù)軸和虛數(shù)軸上的數(shù)據(jù)點分別展現(xiàn)了怎樣的屬性？

分析：實軸上的所有點都表示實數(shù)（包括原點），虛軸上的點除了原點外均表示純虛數(shù).

問題6復平面上的點（2，－3）（0，－2）以及（5，0）分別可以表示什么？

分析：（2，－3）表示復數(shù)2－3i，（0，－2）表示純虛數(shù)－2i，（5，0）則為實數(shù)5.

師：根據(jù)本節(jié)課所學知識，發(fā)現(xiàn)二者之間的關系為

復數(shù)z=a+bi與復平面內(nèi)的點Z（a，b）一一對應.

問題7通過對有序數(shù)的分析，還可以發(fā)現(xiàn)什么信息？

分析：除了表示點的位置以外，可以用于表示平面向量.

問題8復數(shù)是否能與平面向量對應？

分析：考慮到平面向量可以與點Z（a，b）相對應，因此復數(shù)也可以通過類似的方式與之對應.

師：通過有序數(shù)對，我們發(fā)現(xiàn)復數(shù)z＝a＋bi、復平面上的點Z（a，b）以及平面向量OZ這三者之間存在著一一對應的關系，如圖3所示.

問題9以上提到的復數(shù)、復平面上的點、平面向量之間在描述時有哪些不同之處？

師生總結：復數(shù)強調(diào)復數(shù)的數(shù)值屬性及其在復數(shù)運算中的作用；復平面上的點關注于復數(shù)在復平面上的位置，直觀展示了復數(shù)的幾何意義；平面向量則強調(diào)復數(shù)作為向量的方向和長度屬性，有助于理解和應用復數(shù)的實際應用.

【設計意圖】基于數(shù)形結合思想的學習能夠幫助學生深入探索復數(shù)的相關知識，使學生能夠從實數(shù)的數(shù)學特征到復數(shù)的一般特征學習，由此提高學生的數(shù)學推理能力，有效建立數(shù)學思想.

問題10既然實數(shù)有絕對值的概念，那么復數(shù)的絕對值又是什么呢？

分析：復數(shù)的絕對值是指復數(shù)對應的點與原點之間的距離關系.

問題11如何計算這個距離？

分析：利用復數(shù)向量表示，可以得出｜z｜＝｜OZ｜＝a2＋b2.

師：復數(shù)在復平面上的位置可以用點Z（a，b）表示，該點與坐標原點O之間的距離被稱為這個復數(shù)的絕對值.這一概念類似于實數(shù)中絕對值的概念，但在復數(shù)域中，擴展到了包含虛部的復數(shù).

【設計意圖】通過科學的學習方法，使學生了解絕對值設計思路，提高學生對數(shù)量關系的解讀技能，增強學生對復數(shù)模型的理解能力.

2.3.2加強練習，鞏固所學

練習設復數(shù)z1＝4＋3i，z2＝4—3i.

（1）在復平面內(nèi)畫出復數(shù)z1，z2對應的點和向量.

（2）求復數(shù)z1，z2的模，并比較它們的模的大小.

【設計意圖】第（1）問強調(diào)對學生繪圖能力的考查，能夠幫助學生鞏固復數(shù)的幾何意義.第（2）問旨在通過進行新知識學習，增強學生計算能力，提高問題解決素質(zhì).

2.3.3知識拓展，概括總結

追問1復數(shù)z1，z2有什么關系？

分析：實部相等，虛部相反，位置則是關于實軸對稱.

師：當兩個復數(shù)的實部相等，同時虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù)，共軛復數(shù)用＝a－bi表示.

【設計意圖】培養(yǎng)學生幾何直觀的核心素養(yǎng)，增強學生學習能力.

追問2本節(jié)課學習中，你獲得哪些知識？

【設計意圖】回顧復數(shù)的幾何意義，幫助學生強化制圖能力，增強問題解決技能.

3結語

“核心素養(yǎng)”“雙減政策”“素質(zhì)教育”等理念的提出，對于提高教學質(zhì)量、減輕學生負擔具有現(xiàn)實意義.在解決數(shù)學根本問題過程中，教師應采用“理論＋實踐”的方式，增強學生數(shù)學學科思維、強化數(shù)學學習技能，發(fā)展學生的綜合能力.在高中數(shù)學教學中，教師既要發(fā)揮傳授者的作用，又要體現(xiàn)引導者的價值，幫助學生進行系統(tǒng)性學習，強化高中生數(shù)學核心素養(yǎng)，為學生終身發(fā)展奠定堅實基礎.

參考文獻

［1］廖明林.高中數(shù)學新課標視域下復數(shù)的有效教學研究［J］.高考，2023（31）：42－44.

［2］白小軍，李淑娥.新課標下高中數(shù)學有效教學評價策略分析［J］.新課程，2022（25）：58－59.

［3］張春立.淺談新課標下高中數(shù)學有效教學的實施策略［J］.數(shù)理化學習（教研版），2021（6）：21－22.