數形結合思想在初中數學課堂中的運用策略研究

【摘要】數形結合是數學領域中重要的思想方法.在初中日常課堂教學中以形思數，以數想形，數形結合，借助信息技術增強學生數形結合意識，使復雜代數問題簡單化，抽象的代數知識具體化，促使學生理解數形結合思想方法，達到抽象思維與形象思維的結合，促進學生數學思維的發展.

【關鍵詞】數形結合；初中數學；教學策略

“數”與“形”是數學研究的兩個重要方面：“數”是“形”的抽象概括，“形”是“數”的直觀表現.尊重學生的認知發展，把相對復雜抽象的代數知識，以及代數之間的關系與幾何圖形或圖象結合起來進行思考，以形思數，以數想形，有效地改進教學方式，優化數學教學方法，促進數形結合思想的形成.

1以形思數，在直觀中理解“數”

1.1以形思數，建立數學概念

教師通過畫直觀圖前后對問題理解程度的對比，突出圖的形象思維，理解圖在解決問題時的優勢，將抽象的數學概念、運算性質和數量關系直觀體現，找到解題思路，讓學生從已有的知識經驗出發在思考的過程中體會方法、理解本質、發展思維、獲得數形結合思想.

例如在絕對值的授課中，教師如果僅僅用是語言敘述什么是絕對值，或者讓學生朗讀它的定義，即使記住概念，他們在實際應用時仍可能感到困難.如果教師能創設情境，并利用點、數軸等圖形，讓學生經歷絕對值概念形成的過程，這將有助于對學生實際操作能力的培養.

例1甲、乙兩輛汽車在一條東西走向的街道上行駛，記向東行駛的里程數為正.兩輛汽車都從O地出發.

（1）請以O為原點，適當長度為單位長度，畫一條數軸；

（2）甲車向東行駛3km到達A處，乙車向西行駛3km到達B處.請在數軸上標出A，B的位置；

（3）甲車繼續向東行駛1.5km到達C處，乙車繼續向西行駛1.5km到達D處，請在數軸上標出C，D的位置.

觀察數軸，你發現了什么？此時，學生會發現互為相反數（0除外）的兩個點到原點的距離一樣.于是，我們就把一個數在數軸上對應的點到原點的距離叫作這個數的絕對值.

在這一過程中，學生自己畫數軸，描點，數單位長度，既復習了舊知，又在舊知中找到生長點，將零碎的知識點拼湊在一起，形成一個較為完整的體系，這有利于學生對這一塊知識點的掌握.

1.2以形思數，明析數量關系

學生通過畫圖這一活動，明確具體問題，把文字語言轉化成圖形語言，明確其中的數量的關系，形成思維體系，完整地構建了“數形結合”從外化到內化的過程.

例2閱讀了7世紀的印度的數學發展史上的一個賺與賠的例子后，以此例為模型創設一個與學生生活相關的例子——班級小金庫.班級小金庫9月和10月的收入和支出的數量如下，其中收入為正，支出為負（單位：百元），表1如下.

表格中的第一列運算對學生而言很輕松，第二列也容易推導，關鍵是兩行的運算，需要引導學生從實例的意義出發，并引入加法的數軸表示，能更直觀地反映了有理數加法法則的合理性.例如：（+5）+（-2）=？，+5表示9月份收入為500元，-2表示9月份支出為200元，則在500元的基礎上少去200元，對應在數軸上的表示就需要在5的基礎上向左移動2個單位長度，即可得到（+5）+（-2）=3.同理，（+3）+（-4）=？，+3表示10月份收入為300元，-4表示10月份支出為400元，則在300元的基礎上少去400元，對應在數軸上的表示就需要在3的基礎上向左移動4個單位長度，即可得到（+3）+（-4）=-1.

通過這樣的探究過程，引導學生從“和與兩加數的符號”與“和與兩加數的絕對值”的角度觀察（+5）+（-2）=3與（+3）+（-4）=-1這兩個式子，便于歸納出異號兩數相加的法則.同樣的，我們仍可以通過數軸法，歸納互為相反數兩數相加的法則與一個數同0相加的法則，讓學生能深入本質，理解法則，從而能熟練計算.

1.3以形思數，進行有序思維

在平時的教學中，特別是遇到關系比較復雜，或者關系鏈比較多的時候，學生很難理清它們的關系.遇到這樣的情況，就可以運用簡單的畫圖，讓它幫助我們明確方向，找到目標.這樣的方式不但有助于學生直觀地看清關系，進行有序的思維，也助于他們準確表述.

例3方程的根與對應函數圖象的零點存在對應關系，我們可以用一元二次函數的圖象來解決一元二次方程的根的問題，幫助學生構建嚴謹的思維體系.

若關于x的方程x2+2kx+3k=0的兩根都在-1和3之間，求k的取值范圍.

在此題中令f（x）=x²+2kx+3k，它的圖象與x軸的交點的橫坐標就是f（x）=0的解，由y=f（x）的圖象可知，要使兩根在-1，3之間，只需f（－1）gt;0，f（3）gt;0，f（－b/2a）=f（－k）lt;0同時成立，解得－1lt;klt;0.

2以數想形，在轉換中建立“形”

數學思維的主要表現是運算能力和推理能力.學生的數學學習是先學代數、后學圖形的一個過程，所以對圖形的認識相對單薄.所以要把對數和形認知的思維過程進行分解：數可以用怎么樣的圖形來表示？圖形有哪些數量關系？

2.1以數想形，理解各種公式

在初中的幾何學習中，勾股定理有著極其重要的地位.在教學過程中，如果能多去引導學生通過動手實踐、合作探究證明勾股定理，會有助于他們在解題時自然而然地運用勾股定理.

例如探索勾股定理這一課中，學生先通過課前查閱書籍、電子資料的方式了解勾股定理的歷史背景及重要性，然后在課上一起探索證明勾股定理.學生通過4張直角邊分別為a與b、斜邊為c的直角三角形紙片拼成邊長不一樣的正方形或直角梯形，通過不同的面積計算方法得到公式a2+b2=c2，巧妙地證明了勾股定理.

學生在親自動手的操作過程中能很好地體會代數與幾何的聯系，利用圖形的面積關系得到了勾股定理.所以當學生碰到變化多端的圖形問題無法解決時，教師可以通過數形結合讓學生手腦并用，用多種方式來理解各種公式、定理的含義，以達到深刻理解公式、定理的含義.

2.2以數想形，理解圖形性質

浙教版八年級下冊的第4、5兩章涉及平行四邊形、矩形、菱形和正方形的概念、性質定理與判定定理的內容.概念是學習性質定理的基礎，這些四邊形之間有著密切的聯系.為了幫助學生深入理解，不混淆各個概念，可通過幾何畫板的動畫效果來進行教學.

例4先回顧舊知，復習平行四邊形的性質與判定，再利用6根小棒擺成平行四邊形.

（1）能擺成多少個不同的平行四邊形？

（2）這些平行四邊形有什么共同的特點？

（3）有沒有面積最大的平行四邊形？

邊探索邊發現，可以擺成無數個平行四邊形.這些四邊形的周長都是6個單位長度，兩鄰邊都是2和1.將平行四邊形的一邊AD固定，其鄰邊的端點B在以A為圓心，1為半徑的圓上.在無數個平行四邊形中，當一組鄰邊垂直時，面積是最大的，從而很自然地引出了矩形的概念.

同樣地，在講授菱形、正方形的概念時，依舊可以借助圖形，動手、實踐、發現，更好地經歷思路形成的過程，從而幫助學生更好地理解基本概念.

2.3以數想形，接觸極限思想

極限思想的應用十分廣泛，在現代數學和物理學等學科中有著廣泛的應用.但極限思想在初中的教學中沒有得到普遍的認可和推廣，學生對這種思想方法比較陌生.雖然詳細講解極限思想的課程安排在大學，但在初中階段，可以適當地滲透一點思想方法.用數形結合的方法展開教學比較好.

例5如圖1，記拋物線y=-x₂₊₁的圖象與x正半軸的交點為A，將線段OA分成n等份，設分點分別為P₁，P₂，…P_n-1，過每個分點作x軸的垂線，分別與拋物線交于點Q₁，Q₂，…，Q_n-1，再記直角三角形OP₁Q₁，P₁P₂Q₂，…，P_n-2P_n-1Q_n-1的面積分別為S₁，S₂，…，，…；記W=S₁+S₂+…+S_n-1，當n越來越大時，你猜想W最可能的常數是（）

（A）2/3.（B）1/2.（C）1/3.（D）1/4.

對于這題，我們可以嘗試著用極限思想，記拋物線y=-x²+1交y軸與點B，S△AOB＜2Wlt;14S圓，即14lt;Wlt;π8，即答案選（C）.

借助數形結合，擴充學生對數學的認知廣度和深度：認識了無限、“變”、曲線與估計計算.另外，運用極限思想，可以把面積看成無數寬度極小的三角形面積之和，再合理構造數列極限公式，便可以估算出其精確值.

3數形結合，借助信息技術實現

數學新課程標準提出要恰當運用現代信息技術，抓住其靈活多樣的表現形式，優化教與學的方式，營造濃厚的學習氛圍.諸如希沃教學、微課等教學形式的出現，為“數形結合”的建立提供了更好的平臺，特別是幾何畫板這一軟件.

例6“勾股樹”在畫的過程中，我們不難發現每一步的小正方形面積的和等于大正方形的面積.這樣，當所做的三角形的形狀發生變化時，畢達哥拉斯樹的枝干的茂密程度也相應地發生了變化.圖形如圖2所示（參數n=5）.

通過動態的展示不僅可以讓學生對勾股定理有深入的了解，還可以讓學生體會用幾何畫板證明勾股定理的直觀性和便利性.在新的教學環境中，學生不僅對幾何畫板的作圖功能產生興趣，也能感受到數學的魅力所在，樂于主動學習更多的數學知識.

4結語

在教學中，數形具有同等的重要性.學生是否具備相互轉化的能力，重點在于教師的教學滲透.教師應多考慮學生的學情，結合學生熟悉的生活情境，一起探究合作、探討交流、動手實踐，一點一滴幫助學生建立數形結合的思想框架，使這一觀點扎根于學生的認知結構.

參考文獻：

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