結構化視域下小學數學“圖形與幾何”板塊教學的設計及實施

【摘 要】新課標強調，在教學中建立結構化的數學知識體系，促進學生從內到外深度理解知識、發展結構性思維。“平行四邊形面積”的教學重在讓學生經歷測量活動，逐步推理面積計算方法，從整體化的視角進行“面積”概念本質的統一化：面積的大小=每排面積單位個數×排數，從而讓學生建構與表達平面圖形面積概念和計算方法的一致性，有效發展數學核心素養。

【關鍵詞】結構化教學 教學一致性 教學設計 小學數學教學 平面圖形的面積

圖形與幾何是義務教育階段學生數學學習的重要領域，其中，“圖形的認識和測量”是有效發展學生量感和推理意識的重要板塊。“平行四邊形面積”是小學階段平面圖形面積教學中的重要內容，它承接在長方形、正方形面積的基礎之上的教學，又引領三角形面積、梯形面積及圓面積的教學，地位突出、作用巨大。教材中，這一內容的教學通過引導學生通過剪切、平移等方法，逐步推理得到平行四邊形的面積計算公式，這無法滿足新課標提倡結構化數學知識和教學一致性的要求。因此，統整教材、系統設計成為教學這一內容的必然路徑。本文圍繞這節課的設計與實踐，探尋新課標背景下小學數學結構化教學設計與實踐的可能樣態。

一、新、舊教材過渡時期的嘗試與破局

如何基于新課標，對教材內容和結構進行有效的整編和調整是每位教師面臨的難題。因此，筆者進行了“平行四邊形面積”一課教學前的解構和分析，并形成了初步的想法和實踐指向。

（一）關注核心理念，確立素養導向的教學目標

新課標將“圖形的認識與測量”并為一個主題，這不是詞語的簡單合并，而是在表達圖形的認識離不開測量，測量的過程也是認識圖形的過程。因此，本節課應定性為一節數學測量課，而非一節面積計算課。教師要以“量起源于量”為核心理念，引導學生在圖形的測量過程中，逐步建構知識體系和認知結構。在教學中，可嘗試讓學生在利用已有經驗測量平行四邊形面積的過程中，體會到平行四邊形面積的大小與一組相互垂直的線段有關，即底和高，從而從圖形的關鍵元素上引導學生感知圖形的面積的計算方法，從而更加系統、深刻地完成平行四邊形面積計算方法的逐步建構，有效提升量感和增強推理意識。其中，還逐步指引學生經歷從合情推理到演繹推理的過程，培養學生演繹推理的能力，讓學生在學習歷程中發展提升知識技能和學科素養。

（二）重在具身學習，豐富學生參與的學習歷程

具身學習是有效幫助學生積累數學活動經驗的重要方式，同時具身學習可以有效對接學生已有的實踐經驗，幫助學生形成具有生長性的認知結構。因此，本節課重在讓學生經歷測量過程，讓學生在“面積的大小=每排面積單位個數×排數”的概念本質的基礎上，充分進行“面積單位個數”的測量，逐步積累有效的數學活動經驗。相比于傳統意義上的從“割補”“轉化”的路徑去研究平行四邊形的面積，本節課在兩次測量活動的過程中引導學生觀察比較、主動思考、推理想象，讓學生自然完成了從“直接測量”到“間接測量”的過渡，逐步探索出平行四邊形的面積計算公式。

（三）打通前后聯系，建構融通一致的認知結構

“教學一致性”是新課標對數學課程結構化呈現和實踐的重點要求，也是有效發展學生學科素養的必然要求。因此，在這節課中，如何體現數學課程的一致性值得重點關注。筆者在研究中主要從教學內容和思想方法兩個層面體現教學一致性。首先，喚醒學生已有的長方形面積計算知識和推導的經驗，明確“平面圖形面積的大小就是包含面積單位的多少”這一核心概念。因此，在平行四邊形面積的研究探索中，也是圍繞面積單位的多少進行測量和推理，從而打通了前后知識的聯系，完成平面圖形面積概念的一致性表達和圖形面積測量方法的一致性呈現。其次，在測量過程中，逐步優化測量方法，引導學生將平行四邊形轉化為長方形，感受對應這兩種圖形要素的關聯（底—長，高—寬），從而推理出平行四邊形面積計算公式。這體現了將未知問題（平行四邊形面積公式）轉化為已知知識（長方形面積公式）的數學思想方法。

二、“平行四邊形面積”教學設計與評析

以下呈現了“平行四邊形面積”一課的課堂實錄和教學評析，較為精練地展示了這節課的內容結構和實踐過程，并為小學數學“圖形與幾何”板塊的結構化教學提供設計與實踐方向。

（一）借助長方形框架，孕伏圖形間聯系

提問：這是一個長方形框架，指一指它的面積在哪里。

回顧：還記得長方形的面積公式是如何推導出來的嗎？

說明：長方形面積的大小就是數出長方形里包含多少個面積單位。

強調：根據乘法的意義，可以優化數的方法，只要沿著長數出每排面積單位的個數，再沿著寬數出排數，用“每排面積單位的個數×排數”就能知道包含了多少個面積單位。

（二）研學探究，逐步建構知識網絡

1.框架變形，提出猜想

思考：瞧，從長方形變為平行四邊形，周長和面積有沒有變化？

明確：周長不變，仍是四條邊的總長；而對于面積變化，學生的看法不同。

操作：師生一起下壓長方形框架，直觀感受圖形的面積變化。

提問：平行四邊形的面積大小與它的什么有關？

揭示課題：今天這節課，我們一起來深入研究平行四邊形的面積。

【設計意圖】課堂教學要關注學生認知的現實起點和邏輯起點，注重學生現有的認知發展水平和學習基礎。長方形面積的概念和計算方法是學生學習平行四邊形面積的重要知識儲備，引導學生主動將研究長方形面積的知識基礎、活動經驗、認知方法等遷移過來，并借助活動框架變形的直觀感受，初步感知平行四邊形的面積含義，從而有效搭建新舊知識的橋梁。

2.研學任務1：多方法自主測量平行四邊形的面積

圍繞學習探究單中研學任務1，對提出的“平行四邊形里面包含多少個面積單位”這一問題，學生借助方格紙進行解決。

①呈現研究結果，學生對比交流。

學生上臺展示，逐一進行交流。

②理解測量方法，探尋測量本質。

提問：回顧這些方法，它們有什么共同點？

說明：這些測量方法都解決了有幾個面積單位的問題，抓住了研究問題的本質。

③比較優化，篩選最優方法。

提問：你比較喜歡哪種方法？

明確：將平行四邊形沿高剪開，平移、拼接成長方形，方便數出面積單位的個數。

【設計意圖】在第一次研究中，重點圍繞“圖形面積測量的本質就是看這個圖形包含多少個面積單位”展開教學，這既是面積內涵的本質呈現，也是學生在長方形面積學習過程中的已有經驗。教師引導學生借助方格紙進行直接測量，并在測量過程中對比不同測量方法的優劣，再通過交流研討，遷移已有知識經驗，初步感知平行四邊形面積的概念內涵和測量方法。

3.研學任務2：優化測量方法，轉化推理方法

啟迪：用你最喜歡的方法測量兩個平行四邊形，并看看有什么新發現。

研究：研學任務單呈現兩種不同形狀的平行四邊形，學生隨機測量，并進行對比研究與思考。

交流：深入交流，體會將平行四邊形轉化成長方形進行研究的方法，以及兩種圖形要素之間的聯系，感受推理的數學研究方法。

發現：長方形的長相當于平行四邊形的底，寬相當于平行四邊形的高。

提煉：總結平行四邊形面積的計算方法為“底×高”。

【設計意圖】第二次測量是在第一次測量的基礎上的進一步操作，重點圍繞“怎樣很快知道平行四邊形包含多少個面積單位”這一問題進行活動探究，讓學生在測量過程中感受到平行四邊形面積大小的決定因素是一組垂直線段（底和高），為平行四邊形面積計算公式的揭示奠定基礎。這一測量活動有效突破了學生思維提升的難點，實現了從直接測量面積到間接測量面積的方法進階。

（三）歸納總結，指向深遠

談話：通過這節課的學習，我們一起測量研究了平行四邊形的面積公式。通過這節課，你有什么收獲？

（四）前后呼應，結構聯系

回顧：回到課前的框架問題，面積究竟是變大了，還是變小了？為什么？

思考：下壓形成的平行四邊形可以轉化為怎樣的長方形？原來的長方形又是由怎樣的平行四邊形轉化來的？

總結：圖形之間有著密切的聯系，我們要能夠在千絲萬縷的變化中抓住知識的本質。

【設計意圖】課開始時的問題到這里并沒有得到正面解決，學生仍然對“在長方形到平行四邊形的變化過程中，面積如何變化”這一問題存疑。經過這節課的充分操作和深度思考，學生已經能夠從理性的角度對這一問題進行精準解答。這一設計既呼應了前面遺留的學習疑惑，更深度完成了知識技能的轉化與提升，促進了學生知識結構的進一步優化。

（五）思維縱深，感悟一致性

觀察：長方形面積=長×寬，正方形面積=邊長×邊長，平行四邊形面積=底×高。

提問：仔細觀察圖形，你有哪些大膽的發現？

發現：它們的面積大小都與兩條相互垂直的線段長度有關，面積計算的本質都是求面積單位的個數。

猜想：其他的平面圖形的面積是不是也可以找到類似的兩條互相垂直的線段，量出它們的長度并相乘得到呢？

延伸：同學們的目光很敏銳，提出的猜想也很大膽和前瞻，就讓我們帶著新的問題和這節課的收獲，一起走出課堂，讓探究和思考延續。

【設計意圖】“一致性”是這節課的重要內容，學生在已知基礎上，經過操作深化、理性思考，逐步感受到平面圖形面積的大小都與每排面積單位的個數和排數有關，體會面積概念內涵的一致性。這一環節，重在讓學生能夠在足夠充分的學習歷程和學習收獲的基礎上，有理有據地關注到平面圖形面積大小的概念一致性和計算方法的相似性，為后續的學習打下堅實的基礎，也讓學生充分感受到數學學習的一致性和整體性。

三、追尋“潛移默化”的結構化教學

新課標背景下的教學需要注重一致性、結構化的表達，以有效發展學生的核心素養。但結構化教學的呈現并不是空想出來的，也不是生硬呈現的，需要通過精心的設計、深度的建構和精準的評價進行滲透和呈現，讓學生在學習歷程中自然流暢地完成知識結構和認知結構的有效建構，獲得素養的提升。

（一）“明暗”相輔，教學設計注重全面性

結構化教學在數學課堂上的體現并不僅僅是教學內容方面的，還有更加高階的數學思想方法方面的。因此，在教學設計時，不僅要注重教學一致性 “明線”的設計，還要注重其“暗線”的設計。例如，在本節課中，教學一致性的“明線”主要是指“所有的平面圖形面積的概念內涵都是包含面積單位的多少”，所采用的研究方法都是“測量—優化—推理”，快速完成“每排面積單位的個數×排數”的解答。這是明面上的數學內容一致性的呈現，也是幫助學生形成結構化知識的必然設計路徑。而這節課教學一致性的“暗線”則是指將“未知問題轉化為已知知識”的數學思想方法，這是引導學生深度體悟、充分感知數學核心思想的關鍵步驟。在設計中，明、暗兩條線索整體推進、相輔相成，幫助學生更加全面、完整地學習數學。

（二）活動建構，教學實踐注重直觀化

小學生處在從直觀思維過渡到抽象思維的關鍵時期，必要的直觀操作活動可以幫助學生更好地感知和體悟。在教學中，如果直接告知學生所有平面圖形的面積概念內涵和測量方法，缺乏相應的主動操作、對比感知、系統內化，那么學生對于知識技能一致性的感悟就是無本之源，所形成的知識結構也是碎片化和零散化的。因此，在教學中，兩次測量活動就十分重要。學生在測量活動中，圍繞活動主題和要求，主動探索、逐漸釋疑，直觀地感受到面積概念的內涵，完成平行四邊形面積計算方法的提煉。另外，兩次測量活動是遞進升級的。學生在第一次全面展開測量的基礎上，積累相關活動經驗，并在方法對比中感知測量方法的優劣，從而在第二次活動中快速測量，進一步發現平行四邊形面積的關鍵要素，獲得最終結論。通過直觀的操作活動，學生在感受知識的一致性、完整建構知識網絡時，更有依據和學理。

（三）系統測評，教學評價注重進階性

教學評價是教學活動的重要環節，全面、精準的教學評價可以有效監測課堂教學效果，提升課堂教學效果。本節課中，測評的方式設計多元、形式多樣，既有課堂練習，也有主動發言，還有猜想衍生等，這些都有效評價了學生知識結構的建構效果和對關鍵本質的內化程度。例如，基礎的面積計算練習，可以體現學生對平行四邊形面積計算方法的應用熟練程度；真實情境的實際問題，可以體現學生對知識本質和研究歷程理解的內化程度；課堂猜想，則是將學生對平面圖形面積知識一致性和研究結構化的理解程度全面凸顯。同時，課堂中對研究歷程中新發現的闡述、對學習收獲的分享等，也是不斷將學習內化過程外顯、認知建構展現的重要環節。這些系統化、多元化、進階化的測評方式，有效地幫助學生完成了知識學習、技能內化，獲得了學科素養的提升。

結構化視域下小學數學教學設計與實踐是素養目標導向下的必然路徑和育人要求。從一節課的研究，逐步推演至整體教學模式、實踐路徑和課堂樣態的建構，是當下小學數學教學研究的重點內容。結構化教學內容、統整化教學實踐，讓數學課堂向縱深處漫溯，為學生核心素養的提升助力，值得深度、系統地研究和實踐。