山重水復探試題奧秘 柳暗花明顯創新思維

摘要：2024年高考數學天津卷第19題是一道數列大題，以等比數列為背景，通過遞推關系將等差數列融入其中，考查數列基本概念和公式，涉及與數列有關的數列通項、不等量關系證明、數列求和等問題，綜合考查學生解讀數學語言和分析數學問題的能力.

關鍵詞：數列求和；不等式證明；數學核心素養；創新思維

2024年高考數學天津卷第19題將等差、等比這兩種基本數列融為一體進行考查，試題設問層層遞進，呈現形式新穎，引導學生研究數列量與量之間的基本關系，綜合考查學生解讀數學語言和分析數學問題的能力.學生在解題時易有山重水復疑無路之感，需要靜心探索數列的特點和規律，發揮創新思維，才能走出困境，欣賞到柳暗花明又一村之美景.

1 題目呈現

已知數列{an}是公比大于0的等比數列，其前n項和為Sn.若a1=1，S2=a3－1.

（1）求數列{an}前n項和Sn；

（2）設bn=k，n=ak，bn－1+2k，aklt;nlt;ak+1，

b1=1，其中k是大于1的正整數.

（ⅰ）當n=ak+1時，求證：bn－1≥ak＼5bn；

（ⅱ）求∑Sni=1bi.

2 試題解析

2.1 第（1）小題的解析

該問可以將已知項及前n項和的數量關系，轉化為等比數列基本量之間的關系，通過解方程組求得a1和q，再求和.在轉化S2時，

二維碼1

可以考慮用Sn的定義式，得到S2=a1+a2，還可以使用等比數列的前n項和公式得到a1與q的關系，但要注意分類討論公比q與1的大小關系，故而產生兩種不同的解題思路.（詳解見二維碼1）

2.2 第（2）小題中第（i）問的解析

由數列{bn}的定義，先求出當n=ak+1時bn的表達式.由（1）可知ak=2k－1，且k∈N*，k≥2.

在{bn}定義式中，當n=ak=2k－1時，bn=k，所以，當n=ak+1=2k時，bn=k+1.

關于bn－1表達方式的突破是這一問的難點所在.解題中需要明確這是一個插項問題，在哪兩項之間插項以及插入項的特征是需要深入考慮的.由于要證明的不等式中含有兩個變量，所以思考能否通過減元的方式將問題轉化為只含有一個變量的不等式的證明.由于bn，ak都可以用變量k表示，所以此時只要再求出bn－1如何用k表達，第（i）問即可突破.

思路一" 觀察法——列舉歸納

當抽象思維受到限制，不能很好地理解題目所給的遞推關系時，可以利用具象思維的優勢，逐一列舉數列{bn}中的項（如表1），觀察其特點，尋找bn－1隨n的變化規律，歸納總結獲得bn－1.在列舉的過程中，根據列舉結果化簡形式的不同，又會得到以下不同的思路.

化簡整理，得到bn－1=（2k－1）k.

列舉法是從特殊到一般的思維方法，是形象思維和抽象思維的相互轉化.

根據數列{bn}的定義，當n=ak+1=2k時，bn=k+1，則aklt;n－1lt;ak+1，所以由遞推關系可得以下思路.

思路二" 定義法——通項公式

由已知可得bn－1=bn－2+2k，所以數列{bn}中的第ak項到第ak+1－1項（即第n－1項）構成公差為2k的等差數列，故有bn－1=bak+（n－1－ak）×2k，即bn－1=k+（2k－1－2k－1）×2k=（2k－1）k.

思路三" 迭代法——逐層轉化

根據遞推關系，知道bn－1可以向前層層迭代至確定項bak，最終轉化為與已知項bak有關的式子，進而求得bn－1.

依題意，bn－1=bn－2+2k=bn－3+2×2k=……

=bak+（n－1－ak）×2k.

所以bn－1=（2k－1）k.

思路四" 累加法——遞推化歸

根據遞推關系，通過累加法求得bn－1.

法1：依題意，得

bn－1－bn－2=2k，

bn－2－bn－3=2k，

…………

bak+1－bak=2k.

將以上2k－1－1個式子累加，

得

bn－1－bak=（2k－1－1）×2k.

所以bn－1=（2k－1）k.

法2：

由于已知n=2k，因此可以將遞推關系bn－1=bn－2+2k消元為僅含k的式子進行累加.

依題意有b2k－1－b2k－2=2k，

b2k－2－b2k－3=2k，

…………

b2k－1+1－b2k－1=2k.

將以上2k－1－1個式子累加，得

b2k－1－b2k－1=（2k－1－1）×2k.

所以bn－1=b2k－1=（2k－1）k.

通過前面的解答已經用k表達出了bn和bn－1，所以不等式bn－1≥ak＼5bn可以轉化為只含有k的不等式.接下來可以用證明不等式常見方法“作差（商）法”完成證明，還可以考慮用分析法將目標不等式轉化為其他易證的形式.另外，

二維碼2

由于該不等式與數列知識相關，因此還可以考慮用數學歸納法予以證明.結合以上分析可得三種思路及不同證法的思維導圖，如圖1.（詳解見二維碼2）.

2.3 第（2）小題中第（ii）問的解析

由于數列{bn}結構復雜，因此考慮能否將其變形為特殊數列后再求和.結合前面的分析可知，數列{bn}分段成等差數列，所以首先想到的處理方式是利用等差數列求和公式對第ak項到第ak+1－1項先進行并項處理.

思路一" 分段并項

由（1）可知，Sn=2n－1=an+1－1.

由題意，知∑Sni=1bi=b1+（b2+b3）+（b4+……+b7）+……

+（b2n－1+……+b2n－1）

=∑nk=1（b2k－1+……+b2k－1）.

下求b2k－1+……+b2k－1.

法1：基本量公式求和.

從b2k－1到b2k－1共有2k－1項，則

∑2k－1i=2k－1bi=

k＼52k－1+2k－1（2k－1－1）2＼52k=k＼54k－1.

法2：首尾項公式求和.

每段的尾項為k+（2k－1－1）＼52k=k＼52k－k，則

∑2k－1i=2k－1bi=2k－1［k+（k＼52k－k）］2=k＼54k－1.

所以∑Sni=1bi=∑nk=1（k＼54k－1）.

思路二" 分組求和

若未發現數列{bn}分段成等差數列這一特點，則還可以利用分組求和進行變形處理.

∑Sni=1bi=b1+（b2+b3）+（b4+……+b7）+……

+（b2n－1+……+b2n－1）

=1+［2+（2+2×2）］

+［3+（3+2×3）+（3+4×3）+（3+6×3）］

+……+{n+（n+1×2n）+（n+2×2n）+……+［n+（2n－1－1）×2n］}

=（1×1+2×2+4×3+8×4+……+2n－1×n）+{1×（2×2）+（1+2+3）×（2×3）+……+［1+2+3+……+（2n－1－1）］×（2n）}

=∑nk=1（k＼52k－1）+∑nk=2［k＼5（4k－1－2k－1）］=∑nk=1（k＼54k－1）.

經過以上兩個思路處理后，求數列{bn}的前Sn項和就等價于求差比數列{k＼54k－1}的前n項和，可以采取以下兩種解法.

解法1：錯位相減法.（略）

解法2：裂項相消法.

設k＼54k－1=［λ（k+1）+μ］＼54k－（λk+μ）＼54k－1

=［3λk+（4λ+3μ）］＼54k－1.

比較系數，得3λ=1，4λ+3μ=0.

解得λ=13，μ=－49.

故

k＼54k－1=13（k+1）－49＼54k－13k－49＼54k－1.

于是可得，

∑Sni=1bi=∑nk=1k＼54k－1

=∑nk=113（k+1）－49＼54k－13k－49＼54k－1

=－13×1－49＼540+13×（n+1）－49＼54n

=（3n－1）4n+19.

3 小結

問渠哪得清如許，為有源頭活水來.觀察天津市近幾年的高考題可以發現，數列題的命題方式一脈相承，通常每題設置3個小問題.第（1）問均為等差（或等比）數列基本量的計算.第（2）（3）問的設問基礎是以新概念定義的方式給出一個新數列的遞推公式，考查學生解讀數學語言和分析數學問題的能力.在此基礎上第（2）問考查等量關系或不等量關系的證明，第（3）問考查數列求和問題.其中數列求和的考查形式也從以往單一的一種求和方法轉變為不少于兩種求和方法的考查，并進一步進階為近三年考題中出現的先利用并項法對數列的項進行變形處理，然后再運用其他常見方法求和.其中并項這種處理方法在2016年、2019年的天津市高考題中都有出現，在2022-2024年這三年的出現其實可以看作老高考在新高考中的延續.

2024年的高考第19題的命題方式延續了天津市以往“低起點、高觀點”的命題風格，在考查數列“四基”的同時，考查了學生對具有抽象性、簡潔性等特點的數學語言的理解能力，綜合考查了學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等學科核心素養［1］.其目的在于鼓勵教學注重培養學生的創新意識和探索精神，對打破固化僵化的復習模式、破除備考中的單純套路訓練和“機械刷題”現象具有積極的影響，有助于引導教師在教學中把握數學本質，回歸課本，有利于促進學生關鍵能力與數學核心素養的提升［2］.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021.