探索多元表征：數學概念建構的新途徑

[摘 要] 小學數學知識體系的基礎是數學概念。數學概念不僅是數學知識學習的起點，也是數學思維的起點。數學概念是抽象的，數學思維則包括形象思維和抽象思維等多種類型。對數學概念的深度理解有助于數學思維的拓展。本研究探討了教師應如何利用學生的生活經驗，通過多元表征方法深化對數學概念的理解，進而促進他們數學思維的健康發展。研究指出，多元表征不僅能夠作為理解數學概念的切入點，還能有效展現數學思維的生成過程，符合小學生的認知規律。

[關鍵詞] 數學概念；多元表征；數學教學；思維發展；概念可視化

在新課標背景下，如何在教學中幫助學生理解數學概念，進而提升學生的數學核心素養是教師亟待思考的問題。教師要幫助學生學會運用數學思維構建數學知識結構。如何通過概念的學習培養學生的數學思維呢？學生通過數字、圖形、符號、算式和數據等多種表征方式學習，在此過程中能夠內化數學概念，使數學思維得以全面提升，進而充分發展數學核心素養。

一、借助多元表征的呈現，讓概念真正落地

低年級小學生的思維已經從形象思維逐漸轉向抽象思維。對于一些概念，如數的讀寫、組成，他們已經能夠理解，但對于“大數具體有多大”沒有概念。教師雖然多次講解，但是學生仍然無法理解的情形時有發生。

究其原因，主要是教師依賴于自己腦海中的表征，并以自己理解的方式講解概念。如果學生無法理解這種表征，就會導致師生雙方的理解出現偏差。教師需要分析學生的心理特點、社會經驗和知識結構，在教學時充分利用數字、圖形、符號、算式和數據等多元表征來引導學生探究。學生不僅可以學到數學知識和方法，還能在學習和運用多元表征的過程中內化數學概念。這樣，學生的數學思維就能得到較大提升，數學核心素養也能得到充分發展。

以學生能接受的表征方式進行教學，是教師提高教學實效的關鍵。多元表征的呈現需要教師準確把握數學知識概念，并層層遞進地引導學生理解并掌握。教師應運用多種表征方式，多視角、多維度展現數學概念內容，引導學生對數學概念進行深度思考，從而使學習真正“落地生根”，達成教學目標。

（一）基于課本的把握，準確切入概念

新課標倡導以學生為主體，同時強調課堂教學要以課本為主要教學資源。教師要準確把握課本，讓課本中的例題生動化。在教學時，教師可以對數學概念等較抽象的內容進行二次加工，重新創設貼近學生現實生活、能夠激發學習興趣并調動學習積極性的問題情境表征，讓學生主動參與學習過程并積極思考，從而有效激活并拓展他們的數學思維。

以教學蘇教版《數學》二年級上冊“認識米”為例。課本直接呈現了使用米尺測量較長物體的內容，并引入了米這一概念，然而學生對米尺感到陌生，對米這一單位更是缺乏直觀認識，這導致他們難以將新學的米與已掌握的厘米知識進行有效銜接。在測量過程中，學生感受到用厘米尺測量比較煩瑣，進而會思考能否換用更大一點的單位或測量工具，來更方便地測量生活中的大物體。這樣的教學，教師巧妙地找到了學生對于米與厘米兩個概念之間的銜接點。學生通過情境表征，運用自己的想法去解決問題，變得更加積極主動。經歷過這一情境探索體驗過程，學生自然會思考對于更大物件的測量是否存在更大的單位，對于很小的物件是否也存在更小的單位。這樣的教學，不僅有助于學生掌握數學知識，更重要的是有利于培養學生的問題意識、探索精神和解決問題的能力。

（二）借助教具的開發，助力概念內化

數學是抽象的，數學概念更具有高度概括性，它需要用嚴密的邏輯解釋事物的本質屬性和特征。在教學數學知識時，教師要引導學生自己去感知和認識，而不是直接“引見”。教師需要引導學生質疑，關注概念產生的必然性和本質特征，通過多元表征展現知識概念的形成過程，讓學生加深理解，促進知識的內化。

以教學蘇教版《數學》三年級下冊“認識面積”一課中的“什么是面積”為例。教師可以先引導學生運用生活常識去比較數學書的封面和桌面，問問自己“哪個面更大”。學生在思維中自然會形成一種“面的大小就是面積”的直覺感知。隨后，教師可以通過讓學生摸一摸這些物體的表面，使他們進一步深入感知和理解面積這一概念。

這樣的表征形式雖然不是傳統的，但因在情理之中，會顯得尤為自然。教師需要準確把握概念的本質，并靈活運用多種表征，使得數學概念既直觀又貼近實際，這樣可以讓學生思維的條理清晰，從而加深對數學知識的理解。

二、依托多元表征的聯系，讓概念可視化

小學數學知識具有其獨有的連貫性結構。在教學數學概念時，教師要抓住數學知識間的多元聯系，引導學生熟練應用不同的表征形式來靈活展示數學概念。能夠通過多種表征形式展現數學概念，是學生從初步接觸到真正掌握數學知識的重要標志。在數學學習中使用多元表征，學生能夠更深入地理解概念、挖掘概念內涵、揭示概念本質，并促進數學思維的成長。

（一）圖形示意表征，概念直觀可視化

數學概念具有高度的簡潔性。符號表征和圖形表征不僅能讓數學知識獲得更直觀的展現，也能體現對數學知識的具體化理解。學生對符號表征、圖形表征的熟練使用，體現了他們對數學概念的理解和思考。

例如，蘇教版《數學》四年級下冊“確定位置”一課中的“數對”教學，是從方向和距離入手的研究。學生首先要在關于位置的討論中感受統一的必要性，然后在記錄位置的過程中體驗文本的復雜性，但這樣的安排其實不利于速記，也不利于數學表達的清晰明了。教師引導學生理解尺的方向規則，并將其延伸到確定位置。在這個過程中，教師可以引導學生從零開始統一方向，自主創新不同的表征，如4∶3、4.3、（4，3），這些都表示“第4列第3行”，進而讓學生比較得出（4，3）這個統一的符號表征，這樣就經歷了再創造過程。學生在這個過程中經歷了思維過程的具體化和可視化，體悟到了數學符號表征的簡潔性、直觀性和概括性，從而領略到了數學符號的獨特魅力。

（二）實踐操作表征，概念靈動清晰化

數學經驗往往源于生活實踐與主動思考，其中實踐操作發揮著關鍵作用。教師應鼓勵學生在“做”中學習數學，因為實踐是獲取數學概念知識和技能的重要途徑。學生具有豐富的想象力和獨立思考能力，教師需要激發他們的想象力，并通過實踐操作將解決問題的方法具體化，使得數學概念和知識更易被理解，同時有助于學生數學思維的清晰展現。

例如，在教學蘇教版《數學》二年級上冊“認識厘米”時，由于長度單位很抽象，學生往往缺乏具體的生活經驗可以對照。教師可以引導學生先用厘米尺去量手指甲的寬度（大約為1厘米），再利用指甲蓋去尋找生活中的“1厘米”。通過這種方式，學生學會了使用具體的數據來感知生活中實物的大小，積累了豐富的感性材料。隨后，教師可以讓學生畫出1厘米的長度，并用直尺進行測量。在這一系列“找—尋—畫—量”的過程中，學生經歷了“抽象—具體—抽象—具體”的思維轉換。抽象與具體的表征交織進行，使得厘米這一單位概念變得具體形象，學生在學習過程中牢固掌握了長度的概念，并初步建立了度量感。

針對具有一定經驗和概括能力的高年級學生，教師可以設計一系列操作實踐活動，讓學生通過觀察比較、測量計算和推理演繹等方法進行獨立思考和合作探究，從而概括、總結并解決問題。例如，在教學蘇教版《數學》五年級下冊“認識圓”時，教師可以設計小組探究合作活動，提供大小不一的教具模型表征——實物圓片（每組有相同和不同類型的圓片，同組之間也包含相同的和不同的圓片），讓學生進行合作探究。學生可以通過折紙、繪畫和測量等多種感官協同參與的活動，交流并總結圓的半徑和直徑的概念、特征及其關系，進而在豐富的表象中感知概念的本質，體驗知識的獲取過程，從而構建起清晰的概念知識體系。

三、實現多元表征的交流，增強概念整合性

在教學數學概念時，教師應強調運用數學思想來解決問題，以培養學生的數學思維能力，并助力他們構建堅實的數學概念體系。教師需要巧妙利用問題表征來培養學生的發散思維，引導他們進行有效的表征轉換，從而切實提高思維能力。教師可以通過語言、示意圖等個性化的外部可視表征來呈現概念問題，學生可以運用不同的表征方式來展現和表達問題結構，并在此過程中主動進行概括與反思，在教師的指導下進一步加工形成總結性或算式表征。經歷表征間的多元融合后，學生能夠對事物產生不同的認知和思考。

（一）語言交流，概念碰撞更深刻

語言是概念的外衣，概念是思維的內核，數學概念、思維語言是相互聯系、緊密結合的。在教學中，教師通過語言的表述將數學概念具體化，學生就可以借助語言在交流辨析中碰撞思維，查漏補缺。這樣的概念教學，有利于學生加深對概念的理解，錘煉邏輯思維。

例如，在教學蘇教版《數學》二年級上冊“乘法”概念時，6個5相加和6個5相乘是學生辨析概念的重點，需要學生運用多種表征——從在語言表征中體會，到在算式表征中體現。這個相互轉化的過程，能展現學生對概念的理解；不同表征間的熟練轉化，也體現了學生思維可以靈活切換。

（二）書面表達，概念整合更嚴謹

在數學概念表達中，教師應鼓勵學生從多樣的表征中，找到適合自己獨特的數學表達風格，促進其對數學問題進行轉換，最終內化為個人知識技能。在引導學生運用多元表征詮釋數學概念時，教師不要限制學生只能采用某一種形式，而應重視學生表征展現的有序性和多樣性。

例如，在引導學生探究蘇教版《數學》六年級下冊“解決問題的策略”中的“雞兔同籠”問題時，培養學生思維的關鍵在于讓他們先獨立思考。學生有的采用圖像表征，有的采用圖形表征。表征的方式雖然不一樣，但本質都是將不同的量假設成同一種量，都是在經歷數學思維從表象轉化為抽象、從粗淺轉化為深刻的過程。在學生將思考的過程以算式的形式表現出來時，他們的答題就是表達，每一個答題步驟都反映了其思維的軌跡。教師在教學時要讓學生先獨立思考，再合作交流。在這一過程中，學生可以了解他人是如何從不同角度看待問題、解決問題的，這種多元的視角能夠拓寬他們的思維邊界，有利于其在面對新情境時靈活運用所學策略。

在數學教學中，課堂不僅是學生獲得數學知識和技能的場所，還是收獲成功和喜悅的空間。在新課標背景下，教師要充分解讀課本、分析學情，創設適宜學生學習成長的情境，引導學生在掌握數學知識本質的前提下，依靠已有的生活經驗和所學數學知識探索數學世界的規律。教師要引領學生學習并運用多元表征，幫助他們頭腦中的數學概念從朦朧逐漸變得清晰，從表面深入內核，從局限拓展至廣闊。

參考文獻

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（作者單位：江蘇省宜興市太華小學）