將軍飲馬模型解決動點最值問題

【摘要】面對“將軍飲馬”問題，我們常常將其問題數學化，并抽象歸納成為一個數學模型.其模型有很多變種，但核心理論基礎只在以下兩點：一是兩點之間線段最短；二是垂直平分線定理.在尋找對稱軸時，動點在什么位置，對稱軸就在相應的位置.連接對稱點，經過計算，便可求出相應線段的最小值.在解題過程中，可運用對稱性質進行等量代換，將動點問題轉換為兩點之間的距離問題，以及通過平移手段將復雜問題轉化為標準的將軍飲馬模型.

【關鍵詞】初中數學；將軍飲馬；動點最值問題

類型一兩定一動

例1如圖1所示，在邊長為2的正三角形ABC中，點E，F，G為三條邊的中點，P為線段EF上一動點，則△BPG周長的最小值為" """ ".

分析這是最基本的“將軍飲馬”問題，題目中正三角形即等邊三角形.這里提供兩個思路，一是作點B關于直線EF的對稱點；二是作點G關于直線EF的對稱點，兩種思路都比較便捷.本題適用于作點G的對稱點，實際上，點A就是點G關于直線EF的對稱點，可得到AP=GP.而當點P和點E重合時，AP+BP的值最小.

解如圖2所示，作點G關于線段EF的對稱點，即為點A，

此時△BPG的周長為BG+BP+PG，其中AP=GP，

當點P移動到點E的位置，則AP+BP的最小值為2.

即BP+PG≥2.

又因為BG的長度是定值，BG=1，則BG+BP+PG≥1+2=3.

由此可得△BPG周長的最小值為3.

類型二兩動一定

例2如圖3所示，BD平分∠ABC，點E，F分別為線段BC，BD上的動點，其中AB=8，△ABC的面積為20，求EF+CF的最小值.

分析本題存在兩個動點，其核心與將軍飲馬問題仍然沒有什么區別.可用兩種思路解題.一是作點C關于線段BD的對稱點，記為點C′；二是作點E關于線段BD的對稱點，記為E′，計算過程如何便捷就如何作對稱點.本題適用于第二種思路，此時，求EF+CF的最小值就變換為求E′F+CF的最小值.

解要求EF+CF的最小值，如圖4所示，需作點E關于線段BD的對稱點，記為點E′.

因為BD為∠ABC的平分線，則點E′位于線段AB上.

此時只需要求出E′F+CF的最小值.

過點C作線段AB的垂線，其交點即為動點E′.

因為△ABC的面積為20，

用面積公式可得，S△ABC=12×8×h=20，

得出△ABC的高為5，

即E′F+CF的最小值為5，因此EF+CF的最小值為5.

類型三多點問題

例3如圖5所示，∠AOB=30°，OC=5，OD=12，點E，F分別是射線OA，OB上的動點，求CF+EF+DE的最小值.

分析該題仍是“將軍飲馬”的模型拓展，采用最簡單的對稱方法解題即可.作點D關于線段OA的對稱點，記為點D′，則DE=D′E，繼續作點C關于線段OD的對稱點，記為點C′，則CF=C′F，此時求C′F+EF+D′E的最小值C′D′即可.

解如圖6所示，作點D關于射線OA的對稱點，記為D′，作點C關于射線OB的對稱點，記為C′.連接C′D′，與射線OA和OB的交點分別是動點E和動點F，此時CF+EF+DE有最小值.

連接OD′，因為∠AOB=30°，又射線OA平分∠BOD′，

則∠DOD′=60°，由OD=OD′得知△DOD′是一個等邊三角形.

已知OD=12，則OD′=12，

再連接OC′，因為OC=OC′，可得OC′=5，

由此可推導出∠C′OD′=90°，△C′OD′是一個直角三角形.

由勾股定理可得，C′D′的最小值為（OC′）2+（OD′）2=52+122=13，

即CF+EF+DE的最小值為13.

結語

求解與一個或多個動點有關的線段最值問題時，大部分題目都可用將軍飲馬模型進行解析，解題技巧只在于研究動點的對稱點，學生需懂得轉換思路，尋找最適合的動點作對稱點，問題便可迎刃而解.