例析初中數(shù)學(xué)函數(shù)與圓結(jié)合的計(jì)算

【摘要】在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)與幾何圖形是兩塊十分重要的領(lǐng)域.二者看似毫無(wú)關(guān)聯(lián)，可實(shí)際上卻是密不可分.為了加深學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想的理解與運(yùn)用，本文就函數(shù)圖象與圓相結(jié)合的計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行了探討.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；反比例函數(shù)；初中數(shù)學(xué)

函數(shù)的分類包括二次函數(shù)與反比例函數(shù)，其中二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，而反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它們的圖象各具特色；圓作為幾何圖形中最為基礎(chǔ)的存在，其本身更是具備獨(dú)特之處.下面將分別對(duì)“二次函數(shù)與圓的結(jié)合”和“反比例函數(shù)與圓的結(jié)合”進(jìn)行例題講解，旨在幫助學(xué)生加深對(duì)此類問(wèn)題的理解，以及對(duì)解決方法的熟練掌握.

1二次函數(shù)（拋物線）與圓的結(jié)合

拋物線與圓結(jié)合的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查的不僅僅是學(xué)生對(duì)于拋物線和圓的基本性質(zhì)的理解與運(yùn)用，還是在鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和空間幾何能力.想要解決此類問(wèn)題，往往需要先根據(jù)題目中給定的條件建立方程，然后再利用代數(shù)運(yùn)算求解未知數(shù).當(dāng)解題過(guò)程中遇到較為復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，就需要借助幾何知識(shí)進(jìn)行求算.

例1如圖1所示，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），y軸是它的對(duì)稱軸，且它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)0，0與點(diǎn)a，116.已知點(diǎn)P在此拋物線上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)以點(diǎn)P為圓心的圓P總是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，2）.

（1）試求a，b，c的值.

（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，圓P始終與x軸相交.

解題思路（1）依據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的一般形式，代入已知條件即可得出a，b，c的值.

（2）根據(jù)拋物線的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，14x2），結(jié)合曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，進(jìn)而表示出圓P的半徑，再與14x2進(jìn)行比較，利用直線與圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)果.

解析（1）由題意可知，此拋物線的一般式為y=ax2，因?yàn)樗膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)a，116，所以aa2=116，解得a=±14；觀察圖1可知拋物線開(kāi)口向上，故a=14，所以拋物線的解析式是y=14x2.

綜上所述，a=14，b=0，c=0.

（2）點(diǎn)P在此拋物線上運(yùn)動(dòng)，故可假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，14x2）.

因?yàn)閳AP總是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，2），所以圓P的半徑r=x2+14x2－22=116x4+4；

又因?yàn)閞=116x4+4gt;14x2，所以點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，圓P始終與x軸相交.

2反比例函數(shù)（雙曲線）與圓的結(jié)合

在初中數(shù)學(xué)的幾何領(lǐng)域中，雙曲線與圓均是重要的研究對(duì)象.雙曲線的漸近線、焦點(diǎn)和離心率，圓的圓心、半徑以及對(duì)稱性等特征，皆為初中學(xué)生所熟悉的內(nèi)容.這兩種圖形相互結(jié)合后所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是非常值得探索和研究的，其不僅能夠加深學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)的理解，同時(shí)還為解決實(shí)際問(wèn)題拓寬了解題思路、增加了解題方法.在解決此類問(wèn)題時(shí)，就需要對(duì)反比例函數(shù)和圓的性質(zhì)進(jìn)行靈活運(yùn)用.

例2如圖2所示，某一反比例函數(shù)y=kx（kgt;0）的圖象，與一次函數(shù)y=x的圖象在第一象限中交于點(diǎn)A.現(xiàn)有一個(gè)半徑為2的圓B，圓心B的坐標(biāo)為7，0，點(diǎn)C是圓B上的一點(diǎn).已知線段AC的最大值是7，那么此反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式是.

解題思路根據(jù)題意可知，想要線段AC達(dá)到最長(zhǎng)，其必須經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，可得出AB的長(zhǎng)度；作出輔助線，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，并交x軸于點(diǎn)D，可得△ADB是直角三角形；因點(diǎn)A在一次函數(shù)的圖象上，假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是m，m，然后可利用勾股定理，得出點(diǎn)A的準(zhǔn)確坐標(biāo)；最后，又因點(diǎn)A同樣也在反比例函數(shù)的圖象上，可得出反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式.

解析過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，并交x軸于點(diǎn)D，如圖3所示.

因?yàn)辄c(diǎn)A是一次函數(shù)y=x上的一點(diǎn)，所以假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是m，m；

又因?yàn)辄c(diǎn)C是圓B上的一點(diǎn)，ACmax=7，由此可得出AB=7－2=5；

在Rt△ADB中，AD=m，BD=7－m，AB=5，

依據(jù)勾股定理可得：m2+7－m2=52，解得m=3或者m=4.

因?yàn)辄c(diǎn)A同樣也在反比例函數(shù)y=kx（kgt;0）的圖象上，故此可得出k=9或16.

綜上所述，反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式是y=9x或者y=16x.

3結(jié)語(yǔ)

當(dāng)遇到函數(shù)圖象與圓相結(jié)合的這一類題型時(shí)，首先要做的就是熟讀題目，明確給出的已知條件，同時(shí)仔細(xì)觀察圖象，聯(lián)系之前已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想，將之綜合運(yùn)用，逐步分析并抽絲剝繭，求解出最后的結(jié)果.