基于矩形環境下的動態幾何

【摘要】矩形是學生從小學階段開始接觸幾何時就已經進行具體了解的圖形.但隨著學生的認知程度加深，對于其的考查也逐漸多樣化.矩形可與動態幾何問題，因此在矩形問題中，動點問題的解決方法也很多變.這不僅是由于矩形本身的性質特點，而且通過矩形進行構造的三角形性質也可以使用，折疊等圖形的變化特征也是學生進行解題突破的關鍵點.其中題目中展現的數學思維也值得學生學習.

【關鍵詞】矩形；動點問題；初中數學

1引言

矩形作為學生在小學階段開始學習的圖形之一，關于它的考查一直在進行，從關注基礎的圖形特點開始，側重點逐漸向組合圖形轉移.通過不同圖形的相互組合或者構造，尋找滿足題意的解決方法，最后達到解題目的.其中關于輔助線思想、分類討論思想均是在幾何問題中最常見的解題思路，為學生高中階段學習奠定基礎.

2中考數學矩形綜合題解析

例題已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8.如圖1，點E是邊AB上的一個動點，將△BEC沿CE折疊，點B落在點F處，連接AF，DF，當△ADF是等腰三角形時，求tan∠BCE的值.

解題指導

根據題意分析，由于△ADF是等腰三角形且相等的邊不確定，故需要分情況討論.

①AD=FD.

如圖2，過點F作FH⊥CD于點H，HF的延長線交AB于點G，

要求tan∠BCE的值，可以將其放在一個直角三角形中，根據銳角三角函數求解.

所以tan∠BCE=BEBC，

由矩形性質可知，BC=AB=8，所以只需要求出EF的長度，嘗試將其放在不同的三角形中.

由于△CEF是△BCE折疊可得，

所以BC=CF=8，BE=EF，

FH⊥CD且HF的延長線交AB于點G，

所以FG⊥AB，

∠EGF=∠FHC=90°.

由矩形ABCD可知，∠EBC=∠EFC=90°，

所以∠EFG+∠CFH=90°.

在Rt△EFG中，∠EFG+∠GEF=90°，

所以∠CFH=∠GEF，

由此可得△CFH∽△FEG，

得到GFHC=EFCF，

AD=FD=CF=8，

根據等腰三角形三線合一的性質，可以得到HC=HD=12CD=3，

與此同時，GF=GH－FH，GH=8，

在Rt△FHD中，因為HD=3，

FD=8，

AE=82－32=55，

所以GF=8－55

因此得到GFHC=EFCF=8－553，

故EF=64－8553

所以tan∠BCE=BEBC=8－553.

②AF=FD.

如圖3，過點F作FM⊥AD于點M，過點F作FN⊥ND交CD的延長線于點N.

因為AF=FD，FM⊥AD，

所以MD=12AD=4，FN=MD=4.

在Rt△FCN中，

sin∠FCN=FNFC=48=12，

所以∠FCN=30°

由矩形ABCD可知，∠BCD=90°，且△CEF是△BCE折疊可得，

所以∠BCE=∠ECF=12∠BCF=12（90°－∠FCN）=30°，

所以tan∠BCE=33.

③AF=AD.

因為點E為邊AB上的一個動點，根據動點的移動范圍和三角形中兩邊之和大于等于第三邊，

所以AE+EF=AE+EB=AB=6，

即AF≤6，

所以AF≠AD恒成立，這種情況不滿足題意，舍去.

綜上所述，tan∠BCE的值為8－553或33.

分析解題時，學生可以發現當題目中并未出現明顯的條件時，需要轉化思維或者分類討論進行求解.另外在解題時，可以根據三角函數的性質利用邊長的比例求解，也可利用特殊角度的三角函數直接得出答案.

3結語

矩形類綜合題是學生在中考數學中常見的題型之一，平行四邊形也同樣重要，關鍵是在解題過程中，它們的內部可以通過動點構建出不同的圖形，再根據圖形的性質或者相似三角形等轉化出現更多的隱含條件，需要學生進行自主判斷，對學生的數學實踐能力要求較高，也因此成為熱點問題.學生在面對題目求解時，要做到眼中有圖心里不慌，對內部圖形進行詳細分析，找到所需要的條件，得出答案.