以例題為載體活化數學教學思維

【摘要】勾股定理翻折題常見于中考，備受出題者關注.解此類題，應重隱含條件，翻折圖形全等導致線段相等、角度相同.矩形翻折現直角三角形與線段交織.翻折具備軸對稱性，折痕垂直平分對應點連線且并平分兩角.把握隱含條件并結合知識，即可破題.

【關鍵詞】初中數學；勾股定理；翻折問題

處理勾股定理應用中的圖形折疊計算問題，通用策略為：在圖形里明確一個直角三角形.設某未知量為x，用數值或代數式表示三角形三邊.借勾股定理到方程，求解線段長.此幾何與代數相結合，益于提升數學思維.

1折痕與對角線重合的折疊問題

解涉折痕（為圖形對角線）幾何題，關鍵在察圖形隱匿相等線段，隨后，梳理其邏輯關系框架.最終，再巧用勾股定理設解方程式，精準作答，盡顯數學思維嚴謹.

例1如圖1，現有矩形ABCD，邊長BC=6，將△ABC沿對角線AC折疊，得到△AEC，AE與DC交于點F，∠BAC=30°，則EF=（）.

（A）23. （B） 3. （C）33. （D）6.

解因為BC=6，∠BAC=30°，所以AB=63，∠ACB=60°，折痕為對角線AC，則有BC=CE=6，AB=AE=63，∠BAC=∠CAE=30°，∠ACB=∠ACE=60°，

因為∠BAC=∠CAE=30°，所以∠CAF=∠ACF，所以AF=CF=63－EF，

所以在Rt△CEF中，通過勾股定理可知CF2=CE2+EF2，

所以（63－EF）2=62+EF2，解得EF=23，故答案為A.

2折痕過一頂點的折疊問題

折疊問題常見于幾何，如以矩形的頂點起，沿其邊某點與該頂點連線折疊.根據折疊后頂點位置分三類：落于矩形內；恰在矩形邊上；在矩形外.此類題要解題者具備較強思維與幾何推理力.

例2如圖2所示，有一個矩形ABCD，邊長AB=10，BC=8，點P從點B出發，沿著BC邊向點C運動，在點P運動的過程中，沿折線AP翻折△ABP，形成以下四種情況，設BP=x，△ABP與矩形重疊部分面積為y，則

（1）如圖5，此時P點與C點重合，則重疊面積y為？

（2）如圖3，此時B點的對應點B′在DC邊上，則重疊面積y為？

解（1）如圖5所示，由題意可得∠BAC=B′AC，折痕為對角線，

所以AE=EC，

設AE=EC=n，則BE=10-m，

在Rt△ADE中，n2=82+（10－n）2，解得n=8.2，所以y=12×8.2×8=32.8.

（2）如圖3所示，由題意可得△BAP≌△B′AP，所以AB′=AB=10，PB′=BP=x，

在Rt△AB′D中

因為AB′=AB=10，所以DB′=102－82=6，所以CB′=4

在Rt△PCB′中，x2=42+（8－x）2=5，此時y=12×AB×BP=12×10×5=25，

所以當BP=5時，點B′恰好落在DC邊上，此時y=25.

3折痕過任意兩點的折疊問題

解矩形翻折題，應細辯三類情境：一是翻折點位于矩形內，考量翻折線與各邊的交點及角度變化；二是翻折點于矩形邊上，翻折影響相鄰邊與對角線；三是翻折點在矩形外，需空間想象，翻折線對整體的影響.各情境均需詳析，確保解題的全面.

例3如圖6，ABCD是一個矩形紙片，其中AB和CD為短邊，AD和BC為長邊.現在，沿著折線EF將矩形紙片進行折疊，使得頂點B與頂點D重合.在折疊過程中，點A在矩形外的對應位置變為點A′.若AB=6，BC=9，則△AA′E的面積為.

解析根據長方形得到AB=CD=6，∠B=∠C=∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，根據折疊性質得到A′D=AB=6，∠A′DF=∠B=90°，∠DAE=∠BAD=90°，根據全等三角形的性質得到DE=DF，A′E=CF，由勾股定理得到DF=132，根據三角形的面積公式即可得到結論.

解因為紙片ABCD為矩形，所以AB=CD=6，∠B=∠C=∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，

因為將紙片沿EF折疊，頂點B與頂點D重合，

所以A′D=AB=6，∠A′DF=∠B=90°，∠DAE=∠BAD=90°，

所以∠A′DE=∠CDF，AD=CD，∠DAE=∠C.

所以根據全等三角形邊角邊性質，則有△A′DE≌△CDF，所以DE=DF，A′E=CF，

所以CD2+CF2=DF2，所以62+（9-DF）2=DF2，解得DF=132，

所以DE=DF=132，所以過A′作A′H⊥AD于H，所以A′H=A′E·A′DDE=3013，所以△AA′E的面積為12A′E·A′D=12×52×3012=7526.故答案為：7526.

圍繞勾股定理在翻折問題中的應用，通過例題詳細剖析，活化數學教學思維.從識別直角三角形到代數求解，展現了幾何與代數的深度融合.分類探討過對角線、頂點及任意兩點折痕的翻折問題，掌握解題技巧.不僅傳授數學知識，更強調思維訓練，激發學習興趣，培養解決問題能力.未來教學應繼續探索此類方法，豐富學習體驗，促進學生數學發展.