巧用二次函數的對稱性解題

【摘要】二次函數是中學數學中的重要內容，其對稱性具有廣泛的應用．本文通過實例詳細闡述如何巧妙利用二次函數的對稱性，解決各類數學問題，包括確定函數解析式、解決最值問題等，旨在幫助讀者更好的理解和運用這個數學工具．

【關鍵詞】初中數學；二次函數；對稱性

二次函數在數學中占據著重要的地位，它不僅是函數知識的重要部分，也是解決數學問題的有力工具．二次函數的對稱性是其重要的性質之一，巧妙地利用這一性質可以使一些復雜的問題變得簡單明了，從而提高解題的效率．

1利用對稱性確定函數解析式

例1如圖1，小李同學設計的一個動畫示意圖，光點從點P2，1發出，其經過的路徑為拋物線 G：y=ax－h2+k的一部分，并落在水平臺子上的點Q4，1處，其達到的最大高度為2，光點在點Q處被反彈后繼續向前沿拋物線L：y=－2x2+bx+c的一部分運行，已知臺子的長AB=4，AQ=1，點M是AB的中點．

（1）求拋物線G的對稱軸及函數表達式；

（2）若光點被彈起后，落在臺子上的BM之間（不含端點），求b所有的整數值．

解析（1）點P2，1，點Q4，1是拋物線上的一對對稱點，所以，對稱軸為直線x=3.

因為拋物線G達到的最大高度為2，

設解析式為y=ax－32+2.

將點P2，1代入，得1=a×2－32+2，

解得a=－1，

所以拋物線G的函數表達式為y=－x－32+2.

（2）因為AB=4，AQ=1，

所以BQ=3，

又Q4，1，

所以點B7，1，點M5，1，

所以當點Q4，1與點M5，1是拋物線上的一對對稱點時，－b2×－2=4+52=92，

所以b=18.

當點Q4，1與點B7，1是拋物線上的一對對稱點時，－b2×－2=4+72=112，

所以b=22，

所以18lt;blt;22.

所以b所有的整數值為19、20、21.

點評本題考查二次函數的圖象和性質，拋物線的對稱軸．（1）根據題意得出對稱軸為直線x=3，進而求得頂點坐標，設解析式為y=ax－32+2，將點P2，1代入，待定系數法求解析式，即可求解；（2）根據拋物線的對稱性，求得QM，QB的中點進而求得b的范圍，即可求解．

2利用對稱性解決最值問題

例2已知二次函數y=－14x2+bx+c的圖象經過原點O和點A8+t，0，其中t≥0．

（1）當t=0時，

①求y關于x的函數解析式；求出當x為何值時，y有最大值？最大值為多少？

②當x=a和x=b時a≠b，函數值相等，求a的值．

（2）當tgt;0時，在0≤x≤8范圍內，y有最大值18，求相應的t和x的值．

解析（1）①當t=0時，A8，0.

把A8，0、O0，0代入y=－14x2+bx+c，

得－16+8b+c=0c=0，

所以b=2c=0，

所以二次函數為y=－14x2+2x.

因為y=－14x2+2x=－14x－42+4，

所以當x=4時，y有最大值，最大值為4.

②因為x=a和x=b時a≠b，函數值相等，

所以－14a2+2a=－14×22+2×2，

整理得a2－8a+12=0，

解得a=2（不合，舍去）或a=6，

所以a=6.

（2）因為二次函數y=－14x2+bx+c的圖象經過原點O，

所以c=0，

所以二次函數y=－14x2+bx，

所以對稱軸為直線x=2b.

因為二次函數y=－14x2+bx+c的圖象經過原點O和點A8+t，0，

所以2b=8+t2=4+12t（t＞0）.

當t≤8時，對稱軸x=2b≤8.

因為0≤x≤8，

所以x=2b時，y有最大值18，

即－14×2b2+b×2b=18，

整理得b2=18，

所以b=－32或b=32.

因為4lt;2b≤8，

所以2lt;b≤4，

所以b=－32或b=32不合，舍去；

當tgt;8時，對稱軸x=2bgt;8，因為－14lt;0，所以在對稱軸的左側，y的值隨x的增大而增大，

因為0≤x≤8，

所以當x=8時，y有最大值18，

即－14×82+8b=18，

解得b=174，

所以4+12t=2×174，

所以t=9.

綜上t=9，x=8．

點評本題主要考查了二次函數的對稱性和最值，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．本題第（1）問中，①當t=0時，求出點A坐標，利用待定系數法即可求出函數解析式，根據函數解析式即可求出二次函數的頂點坐標，進而解答問題；②根據x=a和x=b時a≠b，函數值相等，列得方程－14a2+2a=－14×22+2×2，解方程即可求解.本題第（2）問中，求出二次函數y=－14x2+bx的對稱軸x=2b，由二次函數圖象經過原點O和點A8+t，0，可得2b=8+t2=4+12t，分t≤8和tgt;8兩種情況，根據二次函數的性質解答即可求解．

3結語

二次函數的對稱性是解決二次函數相關問題的重要工具．通過巧妙地運用對稱性，可以簡化計算過程，快速準確地確定函數解析式、解決最值等問題．在學習和應用二次函數的過程中，深入理解和熟練掌握其對稱性的性質和應用方法，將有助于提高學生的數學思維能力和解題能力，為進一步學習和解決更復雜的數學問題奠定堅實的基礎．

總之，二次函數的對稱性在數學解題中具有不可忽視的重要作用，學生應充分認識并善于利用這一性質，以提升解決數學問題的能力和水平．

參考文獻：

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