初中數學解題教學中逆向思維的應用策略

【摘要】數學知識體系具有顯著的內在邏輯性，因此數學學習過程中，思維方式決定了學生的解題思路及學習效果.逆向思維屬于創造性思維的范疇，其與常規的正向思維模式是相輔相成、對立統一的關系，在正向思維的基礎上發展逆向思維，可以引導學生從不同角度、不同層次思考問題，拓展思維的寬度與廣度，促進其創造性思維的發展.本文探討初中數學解題教學中逆向思維的應用策略.

【關鍵詞】逆向思維；初中數學；解題教學

常規正向思維與知識體系的生成方向一致，而逆向思維則是反向探索解決問題方法的思維模式，正向思維呈現出大眾認知的普遍性，而逆向思維則屬于創造性思維.在初中數學教學中發展學生的逆向思維可以拓展學生思維路徑，優化思維模式，促進其創新意識的發展.

1逆向思維在初中數學解題教學中的應用價值

首先，逆向思維可以強化學生對知識的記憶與理解.初中階段數學科目涉及很多概念、定理及公式，這些復雜的知識內容需要學生深入理解與記憶，才能在解題過程中靈活應用.逆向思維從知識形成的反方向進行分析，學生在了解問題的解決方法后反推知識的形成過程，可有效加強學生對相關理論知識的記憶，且逆向思維可幫助學生從不同層面理解知識點，幫助學生提高知識應用能力.

其次，驅動學生想象力與創造力的發展.正向思維主要講解知識的形成過程，按部就班的講解方式對學生來說比較枯燥，而數學知識復雜且抽象，學生采用傳統的正向思維模式不利于對知識的理解與記憶.逆向思維可以引導學生從不同角度思考問題，激發其想象力、創造力，通過逆定理、逆運算等訓練提高其知識應用能力.

再次，打破學生思維局限.學生在學習數學時思維受到局限，無法掌握有效的學習方法，會增加其學習數學的難度.而逆向思維可以幫助學生打破思維定式，引導學生從反向角度思考問題、解決問題，激發學生學習的興趣，降低數學學習難度.

最后，促進學生全面發展.逆向思維不僅僅是一種解決數學問題的方法，還是一種解決其他問題的思維方式，培養學生的逆向思維，可以使學生更加全面地了解問題，形成批判性思維，不斷提升學生的自主學習能力.

2逆向思維在初中數學解題教學中的具體應用

逆向思維的培養需要經過大量的練習，教師在教學過程中要有意識地將逆向思維培養融入各類數學解題教學中，幫助學生通過不同形式的練習，掌握應用逆向思維解題的方法，促進其逆向思維的發展.為更好分析逆向思維在初中數學解題教學中的應用，本研究針對不同題型分別論述：

2.1逆向思維在幾何問題中的應用

幾何題目是初中數學中的常見題型，學生在解題時通常會從題干中分析已知條件，再根據已知條件求解.但實際解題中學生采用正向思維解題很難從已知條件中得出結論，這種情況下教師就可以引導學生采用逆向思維，以結論為出發點推導出解題思路.比如采用補集法，所謂補集法是指取集合的補集來解決問題，通過證明補集的特點逆推集合特征及性質.補集法適用于幾何題目，在解題過程中結合題目中圖形的特點進行補圖，使得圖形變得更加具體，以降低推導難度.

例1已知下圖1中△ABC，∠BAC=45°，AD⊥BC于D點，如BD=2，CD=1，則△ABC面積是多少？

求三角形面積需要知道底、高等條件，上圖中BD、DC的長度為已知條件，可得出三角形底邊的長度，AD為三角形的高，未知；但題干中有另外一個條件，即∠BAC=45°，根據這一已知條件進行補充，在AC右邊再做出∠CAE =45°，如圖2.

使AE=AB，且∠BAC+∠EAC=45°，可知△ABC和△AEC為全等三角形，則CE=BC=3，再根據全等三角形的條件構建正方形，再將所有面積問題轉化即可完成題目.這道題看似條件簡單、易懂，但是45°角的運用卻是其中關鍵點，利用逆向思維在現有圖形中添加輔助線，通過構造圖形將新圖形的特點直觀地呈現出來.這個過程就是采用了補集法，利用45°補充出正方形，通過逆向思維的轉化完成題目.

2.2逆向思維在方程問題中的應用

方程問題的重點在于方程知識的運用及計算，在解答方程問題時，學生的思維方式、計算能力差異較大，對于部分學生而言，解答方程問題時存在一定困難.針對這種情況，可以在解題教學中融入逆向思維，幫助學生拓展解題思路，提高其解題能力.

例2解以下方程：320×40%=（320-x）（1-20%）+20%.

在該題目中按照常規的解題思路，需要先將方程進行變形、移項轉換為80%x=320×40%+20%，這種轉換計算繁瑣，不僅降低解題效率，而且易出現計算錯誤.而采用逆向思維進行分析后，可在方程兩邊同時除以20%，得到以下算式：4x=320×2+1.

經過轉換后的算式簡單易算，大大提高了解題效率及正確率.正是由于逆向思維可以提高解題過程的靈活性，所以其在方程問題中的應用十分普遍.

例3已知x，y滿足方程組x－5y=20224x－2y=2023，求x+y的值.

在上式中利用正向思維解題，需先求解二元一次方程組計算x、y值.但這種解題思路過于繁瑣，利用逆向思維分析該題可知，x+y=134x－2y－x－5y，從問題入手，可分析出問題與條件的關系，大大簡化了解題過程.由上述兩個例題可知轉換思維模式可減少計算步驟，優化解題過程，在提升解題速度的同時，提升解題正確性.

2.3逆向思維在不等式問題中的應用

初中階段的不等式內容主要包括一元一次不等式，但還有一些特殊的不等式問題采用常規的解題思路很難計算出正確答案，這種情況下就需要學生打破思維局限，采用逆向思維模式分析題目.

例4已知 x－mlt;07－2x≤3是關于x的一元一次不等式組，且該不等式組共有4個整數解，解不等式求出未知數m的取值范圍.

在普通的一元一次不等式組解題思路中，需先求解不等式組中各個不等式的解集，將其分別表示在數軸上，再利用數軸求解不等式組的解集，這是典型的正向思維解題思路.但是該式的特殊點在于，第一個不等式中包含了另外一個未知數，因此無法求解不等式的解集.針對這一情況可以應用逆向思維，先將第二個不等式的解集計算出來，再根據題干中的另外一個條件“該不等式組共有4個整數解”做出逆向推理.根據第二個不等式的解題答案x≥2，逆向推理出該式的4個整數解分別為2、3、4、5；根據第一個不等式x-m＜0可知，x＜m，由上述推理得出x最大值不超過5，證明m至少大于5，并在5～6之間，假設m=6，則第一個不等式中的x為：x＜6，該條件下不等式組滿足4個整數解的條件；如m＞6則會增加不等式組的整數解數量，無法滿足題干中的條件，由此可得出5＜m≤6.在上述題目中很難采用常規的不等式組求解步驟計算出正確答案，而采用逆向思維先分析已知不等式組的解集，再將不等式組解集與不等式未知數、未知參數的聯系逆向推導出來，將不等式組的參數問題作為解題思路的關鍵，降低不等式題目的解題難度，提升學生的解題能力.

2.4逆向思維在函數問題中的應用

函數問題在初中階段的內容分布呈螺旋上升趨勢，學生在接觸一次函數后，再學習反比例函數及二次函數.函數問題抽象、復雜，相當一部分學生學習起來十分困難，一次函數基礎薄弱，后續反比例函數、二次函數的學習也會受到影響，在解題時不可避免地會遇到困難.針對這種情況，教師要視實際情況適時、適當地采用逆向思維引導學生反向推理函數關系，幫助學生從根本上理解函數的相關知識，打牢函數基礎.比如下面例題五就是關于反比例函數的題目：

例5平面直角坐標系中，反比例函數關系式為y=2x，現有一個一次函數y=-x，將一次函數圖象至少向上平移幾個單位長度，才能使其與反比例函數圖象在第一象限產生交點？

上述題目不僅涉及一次函數，還涉及反比例函數，相比普通的函數題目更加復雜，若按照常規的解題思路進行分析具有一定難度.按照題目給出的條件，已知反比例函數與一次函數關系式，由此可推理出兩幅圖象在平面直角坐標系中的位置；題目要求向上平移一次函數圖象，使反比例函數與一次函數圖象相交于第一象限，此時教師就可以采用逆向思維，由問題入手，引導學生先針對“向上平移幾個單位長度”的問題做假設，再根據假設的“答案”進行逆向推理：假設向上平移一次函數的圖象n個單位長度時，可使其在第一象限與反比例函數相交，則聯立y=-x+n（n＞0）與y=2x，應有關于x的實數解；根據上述推理，-x+n=2x，-x2+nx-2=0，Δ=n2-4×2≥0，通過計算可知，n≥22，故可得出至少將一次函數向上平移22個單位長度，才能使反比例函數與一次函數圖象相交于第一象限.該題是典型的應用逆向思維解題的方法，先假設出問題的答案，再將答案逆向代入函數關系式，通過驗證答案求解題目.

3結語

總之，在初中數學教學過程中，需要引導學生形成正確的思維方式、梳理數學知識的內在規律，以此為基礎應用教科書中的理論知識解決實際問題，幫助學生更好地掌握數學知識、應用數學知識，培養其運用數學思維解決現實問題的能力.逆向思維是新課程標準中一種有效的教學實踐，也是一種先進的教學理念，其可以強化學生對數學知識的理解與記憶，驅動學生想象力的發展，打破思維局限，促進學生綜合素質的發展.本研究分析了逆向思維在幾何問題、方程問題、函數問題以及不等式問題中的具體應用，選擇了經典的例題類型，旨在探討逆向思維在初中數學解題教學中的具體應用.當然，實際教學中教師要有意識地將逆向思維培養滲透在數學教學的各個環節，進一步促進學生邏輯思維及創造力的發展.

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