深度教學理念下指向核心素養的數學概念課例研究

【摘要】發展學生學科素養，離不開學科課堂深度教學，教師的深度教學引導學生的深度學習.本文以算術平方根教學為例，探討在深度教學理念下開展數學概念課深度教研、深度教學、深度學習，基于生活情境，造成認知沖突，引出算術平方根概念，以促進和發展學生數學學科素養.

【關鍵詞】核心素養；深度教學；初中數學

1引言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出數與代數領域的學習，有助于學生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發展幾何直觀和運算能力.在初中數學代數概念教學中，教師應針對初中學生認知特點，注重將新舊知識聯系與動手探究及代數推理相結合，發展學生抽象能力、推理能力和模型觀念，實施深度教學，從而促使數學素養培育落地.

人教版七年級下冊6.1平方根第一課時“算術平方根”，很多教師認為這節課教學定位比較難把握，不知道應該定位為概念探究課還是運算技能課？是重在乘方逆運算還是重在發現數不夠用？本文以這節課為例，談談如何基于“代數思維”結合動手探究進行代數概念教學，體驗代數思維就是過程對象化.

2代數概念教學課例解析

2.1教學內容分析

“算術平方根”主要探索乘方的逆運算——開方.學生在學習過程中發現結果可能不是有理數，面對有理數不夠用，形成開方結果的概念——算術平方根，進而研究算術平方根的表示、性質和應用.在解決新運算數域擴充問題的過程中，形成符號思想，體會代數概念建立的一致性和連貫性，領悟初中代數概念研究的一般方法：問題→定義→性質→應用.

教學目標（1）通過拼圖活動，了解存在一個數的平方等于2，建立數與形的對應關系，增強直觀想象能力，體會數形結合思想；（2）通過正方形面積與邊長之間的轉換，了解算術平方根的概念，能利用平方與開平方互為逆運算，求一個非負數的算術平方根，并初步體會平方與開平方的互逆關系，增強模型觀念和運算能力；（3）通過算術平方根概念的學習，會用根號表示數的算術平方根.經歷由實際問題逐步抽象為數學問題的過程，發展抽象概括的能力和符號意識.

教學重點了解算術平方根的概念和性質，會用符號“”表示一個非負數的算術平方根.

教學難點對“”的理解，對算術平方根雙重非負性的理解.

2.2課堂教學過程

2.2.1情境創設，發現問題（認知沖突：數不夠用了？）

師：1的平方是？2的平方是？11的平方是？那反過來，哪個正數的平方是400？9呢？2呢？

生：20，3，不存在……

師：有不同聲音了，那今天我們就來解決這個問題.我們先看生活中的實際情境.

問題1探究能否用1個長為2dm、寬為1dm的長方形紙片，拼成一個正方形（小組合作，進行剪拼）紙片，且保持面積不變？邊長是多少？

問題2正方形的邊長與面積之間有什么關系？（已知邊長求面積，即已知一個數，求這個數的平方.）

問題3如果已知正方形的面積分別是1，4，9，36，425，…，你能求出正方形的邊長嗎？

設計意圖問題1給學生制造認知沖突：明明是一樣的問題，為什么面積為2的時候就回答不出來呢？從而激發學生探究算術平方根概念的求知欲.問題2和問題3給予學生思考“已知邊長求面積”與“已知面積求邊長”的互逆運算關系.

2.2.2問題驅動，形成概念

問題4若已知正方形的面積為a，因為邊長2=面積，所以（）2=a，即已知，求.

問題5a是x的平方，x又是a的什么呢？x的取值范圍有限制嗎？

設計意圖問題4和問題5引導學生從特殊轉向一般視角思考問題，培養學生的抽象思維能力.

2.2.3概念應用，深化理解

例1求下列各數的算術平方根：

（1）100. （2）4964.（3）0.0001.

問題6當被開方數越大，對應的算術平方根有什么特點？

問題7你能自己判斷算出來的答案是否正確嗎？

問題8（1）a的取值范圍是多少？

（2）a的取值范圍是多少？

設計意圖例1讓學生在準確理解概念的基礎上，充分利用概念求一個數的算術平方根；問題6讓學生體會得出結論，并為后面估計平方根的大小作鋪墊.問題7加強學生思維的嚴謹性，從而促進學生對算術平方根性質有更深入理解.問題8啟發學生探究被開方數與算術平方根的性質.

2.2.4學以致用，鞏固新知

例2皮皮家客廳是使用整塊的正方形地磚鋪成的，面積為21.6m2，皮皮數了一下，正好是60塊，請你幫忙算一下，每塊地板磚的邊長是多少.

師生活動學生思考并書寫過程.讓學生體會算術平方根在實際生活中的應用，也是把數學語言通過生活呈現的過程，注意強調邊長x是非負數.

問題9如果把x2=0.36中x的非負數這個條件去掉，式子中的x是多少？

問題10若把x2=0.36改成x3=0.36，那么意味著要找一個數，使它的立方等于0.36，大家可以類比今天學習算術平方根的方法，來解決這個問題嗎？

設計意圖例2由實際問題中的等量關系列出方程，建立數學模型，解方程（即求算術平方根）得到實際問題的答案，加深印象.問題9和問題10讓學中實物生去比較式子的不同之處，不僅為后面的知識學習作鋪墊，還培養學生利用已學的知識去探索新知識的能力.

2.2.5小結提升，系統體會

（1）本節課主要經歷了概念形成與發展的過程：發現問題→抽象概念→認識概念→解決問題，體現了新課標中的“三會”.

（2）獲得新知：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根.即a的算術平方根是x，表示為a（規定：0的算術平方根是0）.

（3）體現的數學思想：數學建模，數形結合，以及從具體到抽象，由特殊到一般的思想.

（4）體會概念建立的一致性和連貫性.

加減，乘除，非負數的平方算術平方根，以后還會學習：平方平方根，立方立方根……

設計意圖通過學生自主小結，加深對知識的理解.以及培養學生的歸納總結能力，特別是對比加與減、乘與除、乘方與開方互逆運算，促使學生體會概念建立的一致性和連貫性.

3反思分析與啟示

3.1問題引領、思維活動，發展數學能力

3.1.1由特殊到一般，再由一般到特殊，培養學生抽象能力

數學概念的形成在于不斷抽象化，經驗型形象思維→理論型抽象思維，由因導果算術方法→執果索因、假設問題已解決、引進未知數的代數方法.故本課設計從實際問題“已知邊長求面積”與“已知面積求邊長”這一逆運算出發，轉化為“已知一個正數求其平方”與“已知一個正數的平方求這個正數”，再轉向探究“已知一個正數的平方求這個數”，層層遞進，給予學生體驗從特殊到一般概念的生成路徑，多層次多視角培養學生的抽象能力.

3.1.2乘除互逆，類比得到平方與開平方互逆，提升代數推理能力

在課堂小結中，為促使學生體會概念建立的一致性和連貫性的理念，分別從“概念形成”“獲得新知”“數學思想”“概念建立一致性和連貫性”四個維度進行歸納總結，引導學生體驗乘方的逆運算，開方結果可能出現“數不夠用”的問題，發現“新數”，產生定義乘方的逆運算，結果為算術平方根（平方根）概念.借助運算數域的擴充，梳理數系結構的建立順序，從而提高學生代數推理能力，體會代數概念建立的一致性和連貫性.

3.2目標導向、時機把握，滲透數學精神

3.2.1從鋪墊提問到拓展啟思設置，踐行單元整體教學

問題1的探究，把本課新知與舊知聯系起來，問題10和問題11將算術平方根與平方根、平方根與立方根有機聯系起來，將本課新知與下一節的知識聯系起來，讓學生洞見實數單元的主要知識點內在聯系和邏輯關系.增強整體教學的效果，以單元核心概念引領、知識結構化，以單元整體教學目標統領課時教學目標，梳理上位知識與下位知識關系.

3.2.2跨學科與數學文化搶答游戲，潤澤代數概念教學

本課在引導探究如何簡化“a的算術平方根”的文字表達后，呈現根號的發展史，激發學生了解數學符號來源的好奇心，促使學生了解數學史，感受數學文化.動手剪拼正方形的教學環節，體現了踐行綜合育人、實踐育人的理念，培養學生的理性精神.

3.3知識沖突、本質理解，體會數學價值

3.3.1探究“數不夠用”核心問題，激發學生探究動力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求課堂教學以培養素養為立意，意味著素養目標的任務化不僅關注“如何學”，更關注“為何學”；知識內容結構化不僅關注知識“如何產生”，更關注知識“為何產生”.具體行動就是創建認知沖突的真實教學情境，有效引導學生探究知識“為何產生”.問題1的設置，引導學生發現數不夠用，從而激發學生探究算術平方根概念的求知欲.

3.3.2研究教材，精設變式數形結合，引領學生感悟“三會”

教材設計先探究算術平方根為有理數的實際問題，再探究算術平方根不是有理數的數學問題，本課將其融為變式系列題組，從而發現算術平方根概念的產生意義和價值；引導學生會用逆運算數學思維解決求大正方形邊長的問題，會用方程表達大正方形面積與邊長的數量關系，進一步思考如何簡化“a的算術平方根”的文字表達，強化學生的符號意識，感知符號產生的必要性，引領學生在動手操作中增強感知、變式追問中歸納概念、深入探究中辨析感悟，全程體驗用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界.

4結語

數學核心素養就是在用數學眼光觀察、用數學思維思考、用數學語言表達的前后一貫、邏輯一致的認知活動中發展起來的，在數學教育中，我們應該注重培養學生的數學精神，提高他們的數學能力，引導他們認識和理解數學的價值，從而為他們未來的學習和生活打下堅實的基礎，提升學生的數學核心素養.

【廣州市教育科學規劃2024年度重點課題“聚焦學科素養的初中數學深度教學實踐研究”（課題編號：202315811）的階段性研究成果】

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定．義務教育數學課程標準（2022年版）［Ｍ］．北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究發展中心．義務教育教科書教師教學用書．數學．七年級下冊［M］．北京：人民教育出版社，2013.

[3]章建躍．數學教育隨想錄下卷［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.

[4]郭元祥．深度教學——促進學生素養發育的教學變革［Ｍ］．福州：福建教育出版社，2021.