從一般到特殊，秒解數學問題

【摘要】特殊值法是解決數學問題的一種基本方法．通過選取特殊值、特殊點、特殊角等，可以解決一些相關的數學問題．本文對特殊值法進行研究分析，總結解題技巧與策略，旨在引領并指導數學教學與學習．

【關鍵詞】函數；高中數學；解題方法

特殊值法是解決數學客觀問題中最為特殊的一種“巧技妙法”，是解決一些具有特定答案的單項選擇題、多項選擇題和填空題等的“通性通法”的升華與提升．針對數學試卷中的一些數學客觀題，借助特殊值（綜合不同應用場景，對特殊值有不同的類型變化）的選取，巧妙利用特殊值法，可以非常簡捷地處理一些相關問題，真正達到“小題小做”“小題巧做”“小題快做”的良好解題效益，備受師生喜歡與追求．

1" 特殊值處理

對于相關參數的每一個取值都是吻合題設條件的，而一些特殊取值經常可以一次性取得問題的突破與解決．在具體解題過程中，有時要多次選取特殊值來達到解題的目的．

例1" （2022—2023學年安徽省馬鞍山二十二中高一（下）月考數學試卷）我們知道，函數y=f（x）的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f（x）為偶函數，有同學發現可以將其推廣為：函數y=f（x）的圖象關于x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f（x+a）為偶函數．已知函數g（x）=x2－2x+aex－1+e－x+1，其中a∈R，則該函數圖象的對稱軸為x=．

分析" 根據題設條件，對于參數a的取值變化，對應函數圖象的對稱軸沒有發生改變，應該是一個常值，可以借助特殊值法來處理.利用參數a的特殊取值a=0，簡化相應的函數解析式，使得問題處理起來更加簡捷方便，靈活巧妙．

解析" 依題所求的函數圖象的對稱軸為一個常值，可借助特殊值法來處理，

取特殊值a=0，則有g（x）=x2－2x=（x－1）2－1，其對稱軸為x=1，

所以該函數圖象的對稱軸為x=1，故填答案：1．

點評" 特殊值的選取涉及參數值、函數值、變量等多種情況，通過特殊代替一般，選取特殊值來解決特定情況下的題目．借助一般情況與特殊情況之間的轉化，這種技巧常用于解決一些客觀題，簡單快捷．

2" 特殊點處理

特殊點包括平面直角坐標系中的特殊點圖象（與坐標軸的交點等）、平面幾何圖形場景下運動中的特殊位置的點等，以特殊點來分析函數的圖象、動點的變化規律等，為問題的解決提供特殊條件．

例2" （2023年高考數學天津卷）函數f（x）的圖象如圖1所示，則f（x）的解析式可能為（" ）

圖1

（A）5（ex-e-x）x2+2""" （B）5sinxx2+1.

（C）5ex+e－xx2+2.（D）5cosxx2+1.

分析" 根據題設條件，由函數的圖象逆推滿足條件的函數可能的解析式，借助函數圖象與y軸的交點以及函數圖象與x軸的交點情況來判斷對應的函數的正負取值情況，對各選項中的解析式加以排除，進而可以快速得出結果．

解析" 依題中函數f（x）的圖象，取特殊點加以分析.

根據函數圖象與y軸的交點可知f（0）gt;0，由此可以排除選項（A）（B）；

根據函數圖象與x軸的交點可知f（2）lt;0（或f（－2）lt;0），由此可以排除選項（C）；

故選擇答案：（D）．

點評" 在一些與函數圖象等相關的問題中，特殊點對應著相應的函數值或點的位置特征，因此借助函數值中的特殊點、圖形變形過程中的特殊點，對題目進行綜合分析，能夠巧妙實現問題的快速解決．

3" 特殊角處理

三角函數關系式中一些相關角的特殊值問題，也是特殊值中的一個特例，在解決一些三角函數求值與應用問題中經常有其獨特的效果．

例3" （2023年南京大學強基計劃數學試卷）已知sin4αsin2β+cos4αcos2β=1，則sin4βsin2α+cos4βcos2α=．

分析" 根據題設條件，探尋滿足三角不定方程的條件，以特殊角的形式入手，從不同思維視角來實現問題的突破與解決．

解析" 方法1" 依題sin4αsin2β+cos4αcos2β=1是一個不定方程，而所求結果又是一個定值，

取特殊角α=π4，

則有14sin2β+14cos2β=1，

整理有cos2β+sin2β=4sin2βcos2β=1，

此時β=π4滿足上式，

將α=β=π4代入，

可得sin4βsin2α+cos4βcos2α=1，故填答案：1．

方法2" 依題sin4αsin2β+cos4αcos2β=1是一個不定方程，

顯然當α=β≠kπ2，k∈Z時，

條件中的方程sin4βsin2α+cos4βcos2α=sin4βsin2β+cos4βcos2β=sin2β+cos2β=1成立，

所以將α=β≠kπ2，k∈Z代入，

可得sin4βsin2α+cos4βcos2α=sin4βsin2β+cos4βcos2β=sin2β+cos2β=1，

故填答案：1．

點評" 本題分別從特殊角或兩角特殊關系入手加以分析，從而實現特殊思維應用的目的．在此類三角函數的求值應用中，根據“小題小做”的思維方式，在解答一些選擇題或填空題時，經常可以借助特殊思維，利用特殊角法來巧妙處理．

4" 結語

巧妙借助特殊值法來快速解決一些相應的數學客觀題，有其特殊的優勢與美妙的體驗，是數學“四基”扎實落實并抽象上升到一定程度的特殊“產物”，更是特殊和一般思維之間的巧妙轉化與升華．在實際解題中，借助特殊值法的應用，可以在很大程度上優化數學解題過程，提升數學解題效益，節省答題時間.

特殊值法破解數學客觀題，是追求簡捷快速處理數學客觀題的一種基本思維方式和理想方法，也是“通性通法”的升華與提升，但也有其特殊性與缺陷性，不具備普遍性．