高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)對(duì)學(xué)生解題遷移能力的培養(yǎng)研究

【摘要】新高考對(duì)學(xué)生能力的要求提高，特別是數(shù)學(xué)，要求學(xué)生做到反機(jī)械答題，反套路解題.要使學(xué)生適應(yīng)當(dāng)今的新高考，培養(yǎng)學(xué)生的解題遷移能力是主要途徑之一，而培養(yǎng)這一能力的主要手段是一題多變的教學(xué).本文將以數(shù)列題為例，討論一題多變教學(xué)及其答題策略.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；變式教學(xué)；解題遷移；一題多變；數(shù)列

變式教學(xué)是一題多變的教學(xué)方式，在新高考背景下，一題多變的教學(xué)形式可以培養(yǎng)學(xué)生解題遷移能力，應(yīng)對(duì)反機(jī)械刷題和反套路解題［1］.根據(jù)數(shù)學(xué)題目的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)一題進(jìn)行多變常見的可以從變條件、變結(jié)論和變條件以及結(jié)論三個(gè)方面進(jìn)行，接下來本文具體以一道關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的題目進(jìn)行一題多變的討論.

1" 原題

下面先討論關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的原題，并探究其解答策略，進(jìn)一步認(rèn)真分析其結(jié)構(gòu)特征，為變式作準(zhǔn)備.

例1" 已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且SnTn=3n+24n+3，求a5b8的值.

解" 設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d1；等差數(shù)列bn的首項(xiàng)為b1，公差為d2.

則Sn=na1+nn－12d1

=d1n2+2a1－d1n2，

同理Tn=nb1+nn－12d2

=d2n2+2b1－d2n2.

已知SnTn=3n+24n+3，所以有d1n+2a1－d1d2n+2b1－d2=3n+24n+3，

則存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)p，使得d1n+2a1－d1=3pn+2p，d2n+2b1－d2=4pn+3p，

即a1=52p，b1=72p，d1=3p，d2=4p，

所以a5b8=a1+4d1b1+7d2=5p2+12p7p2+28p=2963.

所以a5b8的值為2963.

評(píng)注" 題目是考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，在解法上，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=na1+nn－12d1，代入已知條件當(dāng)中，得到d1n+2a1－d1d2n+2b1－d2=3n+24n+3，再根據(jù)分式的化簡(jiǎn)，將式子還原，則存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)p，使得d1n+2a1－d1=3pn+2p，d2n+2b1－d2=4pn+3p，即可分別把兩個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和公差表示出來，然后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.

2" 變結(jié)論

對(duì)題目進(jìn)行變式時(shí)，對(duì)結(jié)論進(jìn)行修改是常見的方式之一，這種變化往往是基于解題思想方法不會(huì)有太多變化，但是考查的知識(shí)結(jié)構(gòu)會(huì)有所改變，以此培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)遷移運(yùn)用的能力，所以變式教學(xué)將會(huì)重點(diǎn)突出這方面的變式［2］.下面具體以例題進(jìn)行討論.

例2" 已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且SnTn=3n+24n+3，求a3+a5b2+b8的值.

解" 解法同例題1的前部分.

因?yàn)镾nTn=3n+24n+3，存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)p，有a1=52p，b1=72p，d1=3p，d2=4p.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a3+a5=2a4，b2+b8=2b5，

所以a3+a5b2+b8=a4b5=a1+3d1b1+4d2

=52p+9p72p+16p=2339.

所以a3+a5b2+b8的值為2339.

評(píng)注" 該題是在例題1的基礎(chǔ)上，通過變結(jié)論，即將題目中的求“a5b8的值”改為求“a3+a5b2+b8的值”，題目在原來考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，增加考查等差數(shù)列的等差中項(xiàng).在解法上，思想方法是大致一樣的，將兩個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和公差表示出來后，再利用等差數(shù)列性質(zhì)中的等差中項(xiàng)得到a3+a5=2a4，b2+b8=2b5，然后代入計(jì)算即可.

3" 變條件

一題多變教學(xué)中，另外一種常見變化形式是對(duì)題目的條件進(jìn)行改變.一般情況下，這種變式后題目考查的知識(shí)結(jié)構(gòu)和解題思想方法都會(huì)發(fā)生變化，甚至?xí)w現(xiàn)出跨知識(shí)的融合，更能體現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移和方法的遷移運(yùn)用能力［3］.下面以具體問題為例展開討論.

例3" 已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且SnTn+Sn=3n+24n+3，求a5b8的值.

解" 設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d1；等差數(shù)列bn的首項(xiàng)為b1，公差為d2.

則Sn=na1+nn－12d1

=d1n2+2a1－d1n2，

同理Tn=nb1+nn－12d2

=d2n2+2b1－d2n2.

已知SnTn+Sn=3n+24n+3，

所以Sn+TnSn=4n+33n+2，

則有1+TnSn=3n+2+n+13n+2=1+n+13n+2，即TnSn=n+13n+2.

所以有d2n+2b1－d2d1n+2a1－d1=n+13n+2，則存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)p，

使得d1n+2a1－d1=3pn+2p，d2n+2b1－d2=pn+p，

即a1=52p，b1=p，d1=3p，d2=p，

所以a5b8=a1+4d1b1+7d2=5p2+12pp+7p=2916.

所以a5b8的值為2916.

評(píng)注" 該題是在例題1的基礎(chǔ)上改了條件，即將題目中的“SnTn=3n+24n+3”改為“SnTn+Sn=3n+24n+3”，考查的知識(shí)一樣，只是加入了對(duì)分式的拆分.在解法上，思路是和例題1大致一樣，但是在處理已知條件SnTn+Sn=3n+24n+3時(shí)，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，要將其先“倒”過來，再進(jìn)行拆項(xiàng)處理，使其變?yōu)門nSn=n+13n+2，此時(shí)與例題1一致，按照例題思路進(jìn)行解題即可.

4" 結(jié)語

本文基于新高考題型的反機(jī)械刷題和反套路解題的要求，培養(yǎng)學(xué)生解題遷移的能力，以關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的一道題為例，進(jìn)行一題多變的討論.根據(jù)高中數(shù)學(xué)題的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)一道題的變式常見形式是變結(jié)論、變條件和既變結(jié)論又變條件三個(gè)方面.本文主要從變結(jié)論和變條件兩個(gè)方面具體進(jìn)行討論，而既變結(jié)論又變條件是前面兩種的綜合，情況大致一樣，所以沒有展開討論.

【課題項(xiàng)目：廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度自籌經(jīng)費(fèi)重點(diǎn)課題（B類）《新高考背景下變式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂中的優(yōu)化研究》（課題編號(hào)：2023B293）.】

參考文獻(xiàn)：

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［2］曹煒萍.巧用變式教學(xué)，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊20232972-75.

［3］李芬.一題多變教學(xué)研究——以“基本不等式求最值”習(xí)題課為例［J］.讀與寫20225107-109.