一道橢圓方程問題的多元探索與深入分析

【摘要】橢圓是高中數(shù)學(xué)圓錐曲線問題中的一個(gè)重要圖形，與其相關(guān)的問題也是解析幾何的重難點(diǎn).橢圓相關(guān)問題綜合性較強(qiáng)，而求解橢圓問題的前提是得到橢圓的方程.本文結(jié)合一道典型例題，從多個(gè)角度探究此類問題的解題方法，以供參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；圓錐曲線；橢圓方程

例題" 已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則橢圓C的方程為.

問題分析通過對(duì)題目的分析可以發(fā)現(xiàn)，“焦點(diǎn)F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0）”的條件給出了橢圓基本方程的類型，能夠得到參數(shù)c的大小.而“|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|”的條件則指向要利用線段長度或者向量的模進(jìn)行運(yùn)算，指明了解題思路.同時(shí)還要綜合考慮A、B兩點(diǎn)是直線與橢圓的交點(diǎn)，可以利用韋達(dá)定律列出關(guān)于交點(diǎn)的等式.

解法1（利用離心率公式）

若AF=λFB（λ∈R，且λ≠0），設(shè)直線AB的傾斜角為θ，斜率為k，則e=1+k2·|λ－1λ+1|或e|cosθ|=|λ－1λ+1|，求出離心率，從而求得橢圓方程.

解" 由離心率公式可得1+k2=1+tan2θ=1+sin2θcos2θ=1cos2θ.

又因?yàn)閏osθ=－cos（π－θ），

而cos（π－θ）=ca，

且AF2=2F2B，則λ=2.

所以|cosθ|=ca，

故e·ca=2－12+1=13，e2=13，e=33.

由此可得a2=3，c2=1，b2=2，

故橢圓的方程為x23+y22=1.

解法2（利用向量運(yùn)算結(jié)合余弦定理）

向量是解答橢圓問題的重要工具，合理運(yùn)用向量運(yùn)算，結(jié)合余弦定理等平面幾何定律即可利用向量運(yùn)算和作輔助線的方式即可得到答案.

解" 在△AF1B中，由余弦定理可得AB2=BF12+AF12－2|F1B||F1A|cos∠BF1A，

利用向量的運(yùn)算關(guān)系可得2|F1B||F1A|cos∠BF1A=2F1B·F1A，

則有2F1B·F1A=BF21+AF21－AB2=94a2+a2－94a2=a2.

因?yàn)锳F2=2F2B，F(xiàn)1F2－F1A=2F1B－2F1F2，

3F1F2=2F1B+F1A，

對(duì)上式兩邊同時(shí)平方可得9F1F22=4F1B2+F1A2+4F1A·F1B.

又因?yàn)镕1F2=2c，

可得c2a2=1236=13，

則a2=3，c2=1，b2=2.

故橢圓的方程為x23+y22=1.

解法3（構(gòu)造相似三角形，結(jié)合點(diǎn)B在橢圓上）

相似三角形是特殊三角

形中最為重要的三角形

性質(zhì)，利用相似條件不

僅可以得到角的等價(jià)關(guān)

系，還可以得到邊長的

比值關(guān)系，結(jié)合代數(shù)運(yùn)

算即可求解.

解" 過點(diǎn)B作x軸的垂線，記交點(diǎn)為D，如圖1.

圖1

因?yàn)閨AF2|=2|F2B|，∠AF2O與∠DF2B是對(duì)頂角，

所以∠AF2O=∠DF2B.

所以△AF2O～△BF2D.

因?yàn)锳O=b，

所以BD=b2.

因?yàn)镺F2=c，F(xiàn)2D=c2，OD=3c2，

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為32c，－b2.

因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓上，

所以3c22a2+－b22b2=1.

又因?yàn)閏=1，a2-b2=c2，

所以a2=3，c2=1，b2=2.

故橢圓的方程為x23+y22=1.

解法4（根據(jù)線段比值，利用橢圓的第一定義和余弦定理求解）

橢圓定義是解答橢圓問題的重要依據(jù).從定義出發(fā)，

合理運(yùn)用第一定義和第二定義中的線段長度條件，即

可綜合解得答案.

解" 設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），如圖所示，由橢圓定義可得：

AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，

則AF1+AF2=BF1+BF2.

又因?yàn)锳B=AF2+F2B，|AB|=|BF1|，

有AF1+AF2=AF2+F2B+BF2，

所以AF1=2BF2.

由|AF2|=2|BF2|，

有AF1=AF2，

則|AF1|=|AF2|=a，

故點(diǎn)A為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，

|BF2|=a2，|AB|=|BF1|=3a2.

在△AF1B中，由余弦定理可得cos∠F1AB=|AF1|2+|AF|2－|F1B|22|AB|·|AF1|=13，

所以cos∠F1AF2=cos∠F1AB=13.

在△AF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1AF2=|AF1|2+|AF2|2－|F1F2|22|AF2|·|AF1|=13，

可得a2=3，

而根據(jù)題目可知c2=1，

故b2=2，

所以橢圓的方程為x23+y22=1.

結(jié)語

通過對(duì)這道例題的深入探索，得以從多個(gè)角度對(duì)此類問題的解題策略進(jìn)行了全面的分析和研究.解答此類問題關(guān)鍵的一步就是將橢圓方程中的參數(shù)轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的幾何量.同時(shí)，還要合理利用向量這一代數(shù)與幾何之間的橋梁來進(jìn)行運(yùn)算，從而便于問題的求解.