解答一道立體幾何二面角問題的三種方法

【摘要】二面角問題是高中數學立體幾何板塊的一個重難點問題，考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力. 學生解答此類問題不僅需要有扎實的立體幾何知識，還要能夠合理利用多種作圖方法和數學工具.本文結合一道典型例題談談解答此類問題的三種方法，以供讀者參考.

【關鍵詞】高中數學；二面角；解題方法

例題" 如圖1所示，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，

且∠BAP=∠CDP=90°.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A－PB－C的余弦值.

圖1

解法1" 轉化法

解答立體幾何問題的過程主要可以分為兩步：一，將立體幾何問題轉化為平面幾何問題；二，在平面幾何圖形中進行求解.通過合理轉化可以將抽象的立體圖形轉化到平面上，再結合勾股定理、三角函數等平面幾何知識即可求解.

解" （2）令PA=PD=AB=DC=1，

則PB=PC=BC=2.

如圖2所示，取PB的中點O，連接AO，CO，AC，

故AO⊥PB，CO⊥PB，∠AOC為二面角A－PB－C的平面角.

在△AOC中，AO=22，CO=62，AC=3，

所以cos∠AOC=AO2+CO2－AC22AO·CO=－33.

評析" 轉化法在二面角問題中的應用體現在將二面角問題轉化為二面角的平面角問題，構造相應的三角形，利用正弦、余弦定理和三角函數定義即可求解.

圖2

解法2" 向量法

向量法是解答立體幾何問題的常用方法，其特點在于利用數形結合的數學思想，利用向量作為代數和幾何之間的橋梁，從而將立體幾何問題變為代數問題進行研究.

解" （2）在平面PAD內作PF⊥AD，垂足為點F.

由平面PAB⊥平面PAD得AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，得PF⊥平面ABCD.

如圖3所示，以F為坐標原點，FA的方向為x軸的正方向，AB為單位長度，建立空間直角坐標系F－xyz.

圖3

則由（1）得A22，0，0，P0，0，22，

B22，1，0，C－22，1，0.

所以PC=－22，1，－22，CB=2，0，0，PA=22，0，－22，AB=（0，1，0）.

設n=（x1，y1，z1）是平面PCB的法向量，

則n·PC=0，n·CB=0，

即－22x1+y1－22z1=0，2x1=0，

可得n=（0，－1，－2）.

設m=（x2，y2，z2）是平面PAB的法向量，

則m·PA=0，m·AB=0，

即22x2－22z2=0y2=0，，

可得m=（1，0，1）.

因為coslt;n，mgt;=－33，所以二面角A－PB－C的余弦值為－33.

評析" 將構成二面角的兩個平面的法向量分別求出，并利用向量的夾角公式，結合向量夾角與二面角大小之間的關系（通常為互補或者是相等）綜合進行判斷，即可解出答案.

解法3" 等體積法

觀察到本題的幾何載體是三棱錐，因此聯想到用等體積法來解題.因為三棱錐每一個面均可以看作底面，所以便于求出底面與頂點之間高的長度，從而簡化解題.

解" （2）不妨設PA=PD=AB=DC=1，

易得AD=BC=PB=2.

取PB的中點O，連接AO，故AO⊥PB.

設A在平面PBC內的投影為H，如圖4所示，連接AH，OH，則∠AOH的補角即為所求二面角的平面角.

圖4

由VA－PBC=VP－ABC得AH=33，

所以sin∠AOH=63，cos∠AOH=33，

故二面角A－PB－C的余弦值為－33.

評析" 合理利用幾何體的特征也是解答立體幾何問題的妙招之一，在得到高的長度后，可構造相應的直角三角形，從而利用三角函數的定義對二面角的大小進行求解.

結語

通過對上述例題幾種解法的深入分析，可以看出立體幾何問題的難點就在于其圖形相對于平面幾何問題的抽象性，因此合理轉化是解答此類問題的關鍵.應用到二面角問題上，就是要將二面角問題轉化為二面角的平面角問題、向量的夾角問題、三角函數值的大小等.在解題的過程中，要選擇合適的解題角度.

參考文獻：

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