例談解析幾何中兩個斜率性質的教學研究

【摘要】解析幾何中有一些簡單的關于斜率的性質，比如橢圓、雙曲線中有關于“中點弦”和“基于軌跡”的斜率的性質等.學生在應用這些性質的過程中往往只能解決直接考查性質本身的問題，對性質的本質理解不夠透徹.本文舉例研究在高三復習課中如何更好地挖掘性質的本質，讓學生真正理解并融會貫通.

【關鍵詞】斜率性質；中點弦；高中數學

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中提出的基本理念的第3條是：把握數學本質，啟發思考，改進教學.結合新高考對能力要求的考查，本文以解析幾何中幾個簡單性質的復習教學為例，從教材入手，探究啟發學生思考數學知識的本質.

1" “中點弦”斜率性質

性質1" 已知PQ為橢圓C：x2a2+y2b2=λ（agt;0，bgt;0且a≠b，λgt;0）的一條弦，其中點為M，O為橢圓C的中心，則kPQ·kOM=－b2a2.

性質2" 已知PQ為雙曲線C：x2a2－y2b2=λ（agt;0，bgt;0）的一條弦，其中點為M，O為雙曲線C的中心，則kPQ·kOM=b2a2.特別地，當λ=0時，C為退化的雙曲線即雙曲線C的兩條漸近線.

例1" （2022年新高考Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的右焦點為F（2，0），漸近線方程為y=±3x．

（1）求C的方程；

（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點Px1，y1，Qx2，y2在C上，且x1gt;x2gt;0，y1gt;0．過P且斜率為－3的直線與過Q且斜率為3的直線交于點M. 從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：

①M在AB上；

②PQ∥AB；

③|MA|=|MB|．

圖1

解析" 如圖1，因為PQ為雙曲線C：x2－y23=1的一條弦，取PQ的中點N，則kPQ·kON=b2a2=3，而直線MP，MQ構成的二次曲線（記為Γ）事實上是由雙曲線C的兩條漸近線構成的二次曲線（退化的雙曲線）沿著向量OM的方向平移而成的，則PQ也為Γ的一條弦，于是kPQ·kNM=b2a2=3，證明如下：

設M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

則MP，MQ構成的二次曲線的方程為：（x－x0）2－（y－y0）23=0，

（x1－x0）2－（y1－y0）23=0①，（x2－x0）2－（y2－y0）23=0②，

①－②可得：y1－y2x1－x2·y1+y2－2y0x1+x2－2x0=3，即kPQ·kNM=3，故kON=kNM，即O，N，M三點共線. 那么接下來的證明就很簡單了，比如由①③證②：因為M為AB的中點，AB為兩條漸近線構成的二次曲線的一條弦，同理可得：kAB·kOM=3，因為kPQ·kOM=3，故kAB=kPQ，即PQ∥AB.

2" “基于軌跡”的斜率性質

例2" 設A，B兩點的坐標分別為（－5，0），（5，0）. 直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是－49，求點M的軌跡方程.

解析" 記直線l1過定點（－a，0），斜率為k1，直線l2過定點（a，0），斜率為k2，則：

l1：y=k1（x+a），l2：y=k2（x－a），兩式相乘，得到：y2=k1k2（x2－a2），

若k1k2為定值，記為k，當k=－1時，交點的軌跡生成為圓；當klt;0時，交點的軌跡生成為橢圓；當kgt;0時，交點的軌跡生成為雙曲線.

反之，我們也可以得到如下性質：

性質1" 已知A，B為橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;0，bgt;0且a≠b）上關于中心O對稱的兩點，P為C上一點，則kPA·kPB=－b2a2.

性質2" 已知A，B為雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）上關于中心O對稱的兩點，P為C上一點，則kPA·kPB=b2a2.

這個性質的本質就在于橢圓/雙曲線上的點到關于中心對稱的兩點的斜率之積為定值.

近年高考題中有關于直線過定點及點在定直線上的問題，其本質就是基于兩道課本上的例題和習題在與斜率有關的問題上的綜合應用. 這也體現了高考評價體系提出的“四翼”之一——綜合性的考查要求.以如下高考題為例：

例3" （2020新課標Ⅰ卷第20題）已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（agt;1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AG·GB=8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

圖2

解析" 首先，引導學生發現，P在垂直于AB的直線x=6上，則kPB=3kPA，即kBD=3kCA，同時又可觀察出A，B關于橢圓的中心對稱，根據性質，有kCA·kCB=－b2a2=－19，則kBD·kBC=－13，第（2）問便轉化成了常規的由韋達定理解決的計算問題.解答如下：

設C（x1，y1），D（x2，y2），直線CD的方程為x=my+n（n≠±3），

與x29+y2=1聯立得：（m2+9）y2+2mny+n2－9=0，

y1+y2=－2mnm2+9，y1y2=n2－9m2+9，

kBD·kBC=y1x1－3·y2x2－3=－13，即（m2+3）y1y2+m（n－3）（y1+y2）+（n－3）2=0，

即（m2+3）（n2－9）－2m2n（n－3）+（n－3）2（m2+9）=0，

化簡得：12n=18，即n=32，故直線CD過定點（32，0）.

3" 結語

在高三復習課的過程中，應該引導學生更深入地復習教材，以發展學生數學學科核心素養為導向，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質，并能夠學以致用，在應用中觸類旁通、融會貫通；同時，要突出理性思維，強化運算能力，提升學生的綜合數學素養.