高中數學立體幾何的解題方法探討

【摘要】縱觀高考數學科目試卷，立體幾何屬于必考知識點，對學生的空間思維能力、解題能力提出較高的要求．在高中數學立體幾何教學中，教師注重概念與公式等知識點的傳授，以此為學生構建完整的立體幾何知識體系，并通過設計典型的立體幾何題型，引導學生不斷總結解題思路，以便掌握相應的解題要點，真正提高學生的立體幾何解題效率，讓學生舉一反三、融會貫通．本文探索高中數學立體幾何解題方法，希望為高中數學教師立體幾何教學提供新思路，提高學生的解題能力．

【關鍵詞】高中數學；立體幾何；解題方法

立體幾何在歷年高考數學試卷中的出題方式變化萬千，綜合考量學生對立體幾何知識的應用能力，對常以形象思維為核心的高中學生來講，也是經常丟分、失分的重要項目．在高考數學立體幾何命題中，將教材文本作為基礎，從學生的日常生活入手，改變常規意義上的出題形式，凸顯立體幾何問題多元特性，使學生在學習期間，依照立體幾何基本知識，運用相應的解題技巧，找到解決問題的關鍵所在，提高學生的立體幾何解題效率．

1" 借助輔助畫線，降低解題難度

在高中數學立體幾何問題中，因立體幾何圖象的特殊性［1］，教師可指導學生根據題意內容，適當畫出相應的輔助線，以便將立體幾何問題難度降低，調動學生的實踐探索興趣，使學生的解題效率不斷提升．為此，高中數學教師在立體幾何解題教學中，要發揮自身的引導促進作用，讓學生全面分析題意內容，養成良好的解題習慣，使幾何圖形更加形象、生動，弱化立體幾何抽象復雜的特性，讓學生根據圖形的基本特點，找到解決問題的關鍵點，從而使復雜難懂的立體幾何解題簡單化，提高學生的解題正確率.

例1" 觀察圖1，已知有一個二面角ɑ-l-β，發現A與B∈α，D和C∈l，P∈β，PA和α相互垂直，且PA=PD，四邊形ABCD屬于線段四邊形，且AB和PC中點分別為M和N兩點，請證實異面直線AB和PC公垂線是MN.

解析" 教師指導學生認真分析題意，學生發現利用問題中的現有條件難以找到解決問題的思路，無法對其進行證實．為此，學生需要通過做輔助線解題的方式，證實該結論是否正確．學生依照題意可以發現AB和PC的中點分別為點M、N，學生按照題意運用自身所掌握的知識點，連接中點畫出中位線，以此進行證明分析．在線段PD上選取中點Q，如圖1所示，同時把點Q和點N相互連接、點N和點M相互連接，學生通過觀察便可發現，依照問題中的已知條件，AM和DC相互平行，運用輔助線畫圖技巧，通過推導驗證，最終證實AB和PC的公垂線是MN的結論無誤．

圖1

2" 注重觀念轉換，降低解題難度

在高中立體幾何解題教學中，學生容易遇到最值問題、運動變化問題等題型，為了讓學生完全內化此類問題的解題技巧［2］，提高學生的解題正確率，教師指導學生適當轉變解題觀念，打破學生的固定思維模式，才能強化學生的空間思維能力．為此，高中數學教師在立體幾何解題教學中，不必讓學生急于給出正確答案，而是讓學生注重解題過程的把控，重視解題觀念的轉換，使學生做到靈活運用、融會貫通，以此將立體幾何知識點吃透記牢，夯實學生的數學學習基礎．

例2" 觀察圖2，發現ABCD-A1B1C1D1屬于正方體，每條棱的已知長度是2，現有線段PQ，長度為2，且符合點P在正方體邊AA1上、點Q在A1B1C1D1面內的條件，請問“PQ中點M軌跡的面積是多少？”

圖2

解析" 解決此類問題，教師要讓學生養成認真審題的良好習慣，因此類問題涉及立體幾何動點知識，解題期間，需要讓學生熟練運用已知條件，該問題中說明，“正方體邊AA1上有點P、A1B1C1D1面內有點Q存在”．所以，指導學生利用自身所掌握的知識，可得出“無論線段PQ處于什么位置，PA1和A1Q的垂直關系始終成立．”隨后，學生想到運用“直角三角形斜邊上中線和斜邊一半相同”的三角形基本屬性，便可進一步優化這一問題中的已知條件，降低學生的解題難度，強化學生的解題效率．學生嘗試將問題中PQ為2的已知結論進行轉化，即利用長度為1的MA1線段，以此降低這一問題的解決難度，提高學生的解題效率．如此一來，在立體幾何解題教學中，教師要激活學生的解題思維，注重解題思路的轉換，才能提高學生的解題有效性，以免學生丟分、失分．

3" 巧設未知數，降低解題難度

高中數學立體幾何解題教學中，所涉及的問題難度比較高，尤其在解題時，一旦馬虎大意，便會落得滿盤皆輸的下場，不但浪費許多做題時間，還會影響學生的解題信心．為此，高中數學教師指導學生從題意入手［3］，設置未知數，利用未知數構建算式與方程，以此優化立體幾何的解題過程，使立體幾何問題迎刃而解，提高學生的解題有效性．

例3" 認真觀察圖3，可發現這是一個正四棱臺，四棱臺上底面積為Q1，下底面積為Q2，側面積為Q，請思考四棱臺任意一個對角面積是多少？

圖3

解析" 教師指導學生認真審題，學生發現問題中的已知條件過少，除去三個計算數據，沒有任何有效條件．如若想要計算出對角面積，還要更多的條件信息，學生對于此類問題束手無措，不知運用什么方法才能找到解題的訣竅，教師指導學生展開大膽想象，通過“設而不求”的解題方式，創建新的參數，以便對未知問題求解．此種情況下，學生將四棱臺上底面邊長設為斜ɑ，下底面邊長設為b，斜高為t，棱臺高度為h，所以對角面積為：

S=22（a+b），h=22（a+b）t2（a－b2）2，學生對這一計算列式進行觀察，發現Q1和Q2存在一定關聯性，得出S=24Q2－（Q1－Q2）2．

4" 結語

綜上所述，在高中數學立體幾何解題教學中，為了提升學生的解題效率，教師要注重解題方法、解題思路的傳授，為學生構建完整的立體幾何知識體系，指導學生總結概括立體幾何解題思路、解題技巧，以便強化學生的數學思維能力，使立體幾何問題迎刃而解，促進學生數學核心素養的發展．

參考文獻：

［1］趙亞茹.高中數學教學中立體幾何解題技巧的分析與探討［J］.數理天地（高中版），2023（19）：36-38.

［2］鄒青.高中數學立體幾何解題方法探究［J］.數理天地（高中版），2022（18）：30-31.

［3］徐黃.用問題驅動數學建模素養落地——以人教版“立體幾何”的教學為例［J］.數學教學通訊，2022（09）：50-51.