對(duì)一道圓錐曲線過定點(diǎn)高考試題的探究

【摘要】高考數(shù)學(xué)中，定值定點(diǎn)問題是非常重要的考點(diǎn)，如何突破這個(gè)考點(diǎn)，是重點(diǎn)研究的內(nèi)容.本文以高考圓錐曲線過定點(diǎn)問題為例進(jìn)行分析，總結(jié)不同類型的過定值定點(diǎn)問題的解決方法，并結(jié)合具體例題進(jìn)行強(qiáng)化拓展訓(xùn)練，增進(jìn)教學(xué)思考.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；定值定點(diǎn)；高中數(shù)學(xué)

本文以高考題為例，通過對(duì)高考真題的分析，尋找試題背后的本質(zhì)規(guī)律.高考在注重基礎(chǔ)的前提下，注重考題的創(chuàng)新和對(duì)學(xué)生計(jì)算能力、推理能力的考查.學(xué)生在做題時(shí)拆分考題和總結(jié)規(guī)律相當(dāng)重要.

1" 高考真題再現(xiàn)

1.1" 線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)問題

例1" （2023年全國(guó)乙卷第20題）已知圓錐曲線 C：y2a2+x2b2=1（agt;bgt;0）的離心率為53，點(diǎn)A（－2，0）在C上.

（1）求C的方程；

（2）過點(diǎn)（-2，3）的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N，證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

考題解析" 本題仍然是以過定點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交為背景的題目，橢圓的端點(diǎn)A與兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q的連線與y軸相交，求與y軸兩個(gè)交點(diǎn)所得線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)的問題.一般方法，解答本題的關(guān)鍵是采用數(shù)形結(jié)合設(shè)而不求的方法，求出線段兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出中點(diǎn)橫縱坐標(biāo)表達(dá)式，觀察其特點(diǎn)，確定定點(diǎn).

（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（－2，0）在C上，

所以4b2=1，得b2=4.

因?yàn)闄E圓的離心率e=ca=53，

所以c2=59a2，

又a2=b2+c2=4+59a2，

所以a2=9，c2=5，

故橢圓C的方程為y29+x24=1.

（2）由題意知，直線PQ的斜率存在且不為0，設(shè)直線PQ的方程為lPQ：y－3=k（x+2），Px1，y1，Qx2，y2，

引入?yún)?shù)，由曲線方程和直線方程聯(lián)立

y－3=k（x+2），y29+x24=1，

整理得4k2+9x2+16k2+24kx+16k2+48k=0，

因直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，可得

x1x2=16k2+48k4k2+9，x1+x2=－16k2+24k4k2+9，

直線AP的方程為lAP：y=y1x1+2（x+2），由于直線AP過定點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P，動(dòng)點(diǎn)M，所以kAP=kAM，即yM2=y1x1+2.

同理得yM+yN=2y1（x2+2）+y2（x1+2）（x1+2）（x2+2），

yN2=y2x2+2=kAN=kAQ，則

=2（kx1+2k+3）（x2+2）+（kx2+2k+3）（x1+2）（x1+2）（x2+2）

=22kx1x2+（4k+3）（x1+x2）+8k+12x1x2+2（x1+x2）+4

=22k（16k2+48k）+（4k+3）（－16k2－24k）16k2+48k+2（－16k2－24k）+4（4k2+9）+

（8k+12）（4k2+9）16k2+48k+2（-16k2-24k）+4（4k2+9）

=2×10836=6.

所以MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yM+yN2=3，

所以MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)（0，3）.

此題可以歸為圓錐曲線上一定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)斜率和為定值，則動(dòng)直線過定點(diǎn)的問題.

2" 拓展變式強(qiáng)化，總結(jié)方法

以圓錐曲線為背景的定值定點(diǎn)問題：關(guān)鍵是設(shè)參數(shù)，建立參數(shù)間的聯(lián)系，采用設(shè)而不求整體代入法.這里的參數(shù)要參與運(yùn)算，但是最后得出的結(jié)果要和所設(shè)的參數(shù)沒有關(guān)系.

例2" 已知雙曲線C：x2a2-y2b2（agt;0，bgt;0）的離心率為2，且過點(diǎn)E1，0，

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）不與x軸垂直的直線l：y=kx+m與雙曲線C交于N，H兩點(diǎn)（異于點(diǎn)E）.若直線NE，HE的斜率之積為2，證明直線l過定點(diǎn).

（1）由雙曲線的離心率為2，且過點(diǎn)（1，0），

得e=ca=2，c2=a2+b2，1a2=1，

解得a=1，b=3，

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y23=1.

（2）直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為－15，0.

由題意，已知直線l的斜率存在，

設(shè)N（x1，y1），H（x2，y2），

聯(lián)立y=kx+m，x2－y23=1，

得（3－k2）x2－2kmx－m2－3=0，

當(dāng)Δgt;0 時(shí)，得m2+3－k2＞0，且3－k2≠0，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，

得x1+x2=2km3－k2，x1x2=m2+3k2－3，

已知E（1，0），則：

kNE·kHE=y1x1－1·y2x2－1

=（kx1+m）（kx2+m）（x1－1）（x2－1）

=k2x1x2+km（x1+x2）+m2x1x2－（x1+x2）+1=2，

化簡(jiǎn)得k2－4km－5m2=0，

解得k=5m或k=－m，

當(dāng)k=5m時(shí)，y=5mx+m=m（5x+1），直線l過定點(diǎn)－15，0，

當(dāng)k=－m時(shí)，y=－mx+m=m（－x+1），直線l過定點(diǎn)1，0，舍去.

綜上所述，直線l過定點(diǎn)－15，0.

3" 結(jié)語(yǔ)

圓錐曲線定值定點(diǎn)問題，是考查學(xué)生邏輯思維能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力的綜合性很強(qiáng)的題型.這道題，充分體現(xiàn)了高考評(píng)價(jià)體系中基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求.所以在教學(xué)中要注重對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力和基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，還要讓學(xué)生多角度觀察思考，從中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題進(jìn)而解決問題.