一道中考題的教學實踐與反思

【摘要】發散性思維能力是創新能力的核心之一.要提升學生的創新能力，首先應該關注如何培養他們的發散性思維.這種思維方式鼓勵個體突破常規思維模式，從不同視角尋求創新的解決方案.本文以一道典型的中考數學題為例，通過分析多種解題方法，展示在一題多解中學生思維發散的精彩過程，激發學生對知識的探究欲望，旨在為培養學生的創新能力提供有益的借鑒.

【關鍵詞】發散性思維；初中數學；解題

1" 引言

當今社會，隨著科學技術的進步和全球化的加速推進，對創新型人才的需求不斷增加.因此，如何通過有效的教學方法培養學生的創新能力成為了一個重要課題.在2024年的中考輔導過程中，筆者帶領學生們共同探討2023年數學中考副卷上的一道典型選擇題，課程結束后，深感啟發，決定撰寫本文，記錄下教學體驗，希望通過一題多解的方式來促進學生的思維發散，以此來提升他們的創新能力.

2" 試題呈現

（2023年江蘇省無錫市中考數學試卷副卷第10題）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點M是AD的中點，將四邊形ABCM沿CM翻折得到四邊形EFCM，連接DF，則sin∠DFE的值等于（" ）

（A）1010.""" （B）31010.

（C）55." （D）255.

3" 解法展示

解法1" 延長CF，AD交于點G，過點D作DH⊥CG于點H，如圖2所示.

由AD∥BC得∠DMC=∠BCM，翻折得∠BCM=∠GCM，所以∠DMC=∠GCM，因此GM=GC.

設DG=x，則GM=x+1=GC.

在Rt△DCG中，DG2+CD2=GC2，得DG=1.5，GC=2.5，FG=GC－CF=0.5.

再根據等面積法DG·CD=CG·DH，得DH=1.2，由勾股定理得GH=0.9.

所以FH=GH－FG=0.4，再次利用勾股定理，得DF=2105，所以sin∠FDH=FHDF=1010.

因為∠EFC=∠DHC=90°，所以DH∥EF，所以∠FDH=∠DFE，所以sin∠DFE=1010.

解法2" 過點C作CG⊥DF于點G，連接BM、MF，BF，BF交MC于點O，延長BC，過點F作FN⊥BN于點N，作FH⊥CD于點H，如圖3所示.

因為∠DFE+∠GFC=90°，∠GCF+∠GFC=90°，所以∠DFE=∠GCF.又DC=CF，所以DCF為等腰三角形，利用“三線合一”性，可得∠DCG=∠GCF，DG=FG.

因為翻折，所以BM=MF，BC=CF，所以MC垂直平分BF.

在△BMC中，根據等面積法MC·BO=BC·BA，易得BO=455，所以CO=255，BF=855.

在△BCF中，再次利用等面積法，BC·FN=BF·CO，易得FN=CH=85，所以CN=FH=65，HD=25.

在△FHD中，DF=DH2+FH2=2105，所以FG=105，

sin∠DFE=sin∠GCF=FGFC=1010.

解法3" 過C作CG⊥DF于點G，如圖4所示.

這種解法可聯想到一道題，若tanα=12，tanβ=13，則α+β=45°.對這個結論進行拓展，也可知二求一.

設∠MCD=α，∠MCB=β，則α+β=90°.

根據翻折，∠MCB=∠MCF，可得∠DCG=β－α2，所以∠MCG=α+β2=45°.

因為tan∠MCD=12，所以tan∠DCG=13，

所以tan∠DFE=tan∠GCF=13，

所以sin∠DFE=1010.

4" 解法分析

顯然∠DFE不在直角三角形中，要求這個角的正弦，通常有兩種處理方式：（1）構造直角三角形；（2）等角轉換，兩種方法都具有普適性，是解題通法.經過嘗試與分析，第二種方式較容易實現.

在正方形或矩形的翻折中，常用基本圖形性質：“平行加角平分線得等腰”，并且知二得一，所以解法1中自然得到△GMC為等腰三角形.在Rt△DCG中，利用勾股定理求出DG的長，所有問題迎刃而解，這是一種自然的解法.有了“轉化”“等腰”這些線索，有學生還能再構造等腰三角形，將∠DFE進行等角轉化.

學生的思維繼續發散，在解法2中構造出∠GCF，經分析只需求出DF即可求其正弦值，但求解過程過于繁瑣.受以上方法啟發后，學生們的思維更加發散，有學生說不用作這么多條輔助線，于是誕生了解法3.該位同學由tan∠MCD=12以及該題較特殊的答案1010，憑借較強的數感，敏銳地覺察到特殊結果必然有特殊解法，很快有了解題思路.

5" 結語

所謂發散性思維是一種能夠從一個中心點出發，向多個方向思考問題的思維方式.它強調的是開放性和多樣性，鼓勵學生從不同的視角去探索問題的可能性.在數學領域，一題多解就是發散性思維的一個典型應用.創新人才的培養，需要學生面對復雜問題時憑借幾何直觀、邏輯推理等素養尋找問題的突破口.

羅增儒教授指出，分析典型例題是學會解題的有效方法.數學是思維科學，教師應通過解題幫助學生實現學會思考的教育目標.盡管解法中沒有創新，但思考是創新的源泉.教師掌握的思路和方法是經典做法，能有效展示問題的知識要點，這些可能是命題者的考查意圖，但我們的思維需要更發散.因此，我們要積極開展生本互動，把學生的問題作為重要的教育資源.

【基金項目：無錫市教育科學“十四五”規劃2023年度課題《指向創新人才基礎培養的初中數學綜合實踐課程探索》（立項編號：E/D/2023/04）的研究成果】

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］查曉東.拔尖創新人才培養視角下“二次函數與二次不等式”的教學設計與思考［J］.數學通訊，2023（08）：26-30.

［3］方中雄.創新人才基礎培養的核心意旨與實現路徑［J］.中國教育學刊，2022（02）：22-27.