新工科背景下“線性代數”課程教學改革探討

摘"要：本文圍繞新工科背景下的培養目標，從調整“線性代數”課程體系、加重計算機軟件學習的比例、引入案例教學（從實際案例出發，引導學生思考并引入相關理論知識點，并最終解決問題）、注重平時跟蹤學習效果的線上線下考核方式等方面進行探討。秉承能力本位的原則，教學中按照“發現問題—分析問題—解決問題”為主線開展教學，提高學生理論聯系實際的能力、解決實際問題的能力和思考能力，本文以“線性代數”課程為平臺，踐行新工科背景下的新需求、新目標。

關鍵詞：線性代數；案例教學；教學改革

“線性代數”作為數學的一門基礎學科，廣泛應用于物理學、工程學、計算機科學、信息通信科學、經濟學等領域。因此“線性代數”是理工專業學生必修的一門數學類基礎課程，選修學生專業廣。同時，該課程是研究生入學考試的一門必考課程，主要研究向量、向量空間、線性變換以及線性方程組等知識。因此，學好“線性代數”對于學生將來進入社會或繼續深造的重要性不言而喻。“線性代數”課程有著抽象性強、概念多、知識點聯系緊密、綜合性要求高的特點。學好這門課程對于學生來說是一個挑戰，這就要求教師們根據課程特點，針對學生的情況研究教學內容、教學方式，從而推進課程改革。新工科的建設目標是培養引領未來技術與產業發展的卓越工程技術人才，為推進新工科的這一目標，也要求改變傳統的教學方式，以“線性代數”課程為例，全面探討深化改革，力求學生在理解并掌握“線性代數”內容的基礎上，提升思維能力以及實際應用場景的實操能力，達到新工科建設的人才要求。下面將從課程體系、計算機軟件、案例教學、考核方式等方面展開討論。

一、針對新工科的目標，建立全新的“線性代數”課程體系

本科階段“線性代數”內容主要包含：向量、向量空間、線性組合、線性無關與線性相關、矩陣、特征值與特征向量、正交與投影、線性空間和線性變換，這些內容是后續專業課程學習的先導課程以及必需的數學基礎。從學科導向轉向以產業需求為導向，針對新工科目標，先根據不同專業，了解“線性代數”這門課在各個不同專業后續學習中的實際應用；然后針對不同專業的不同需求，重新設計“線性代數”教學內容，調整不同專業“線性代數”內容的重難點和側重點，以增強該專業學生的理論聯系實際的能力，提高學生運用數學方法分析問題和解決問題的能力，從而達到新工科人才培養的目的。

以大數據、人工智能領域為例，主成分分析（PCA）應用特征值和特征向量，將高維數據映射到低維數據；神經網絡中需要大量的矩陣乘法、加法等線性代數運算；大數據處理涉及大規模的線性方程組的求解、數據壓縮、特征提取等多個方面，這些可以通過應用高斯消元法、LU分解、矩陣分解等知識進行處理；PageRank算法在涉及和實現過程中涉及矩陣表示、線性方程組、特征值與特征向量、迭代求解以及矩陣運算等，這些線性代數知識為PageRank算法提供了堅實的理論基礎和支持。這些技術案例都可以在“線性代數”課程中引入，使學生在學習理論知識的過程中了解其在新技術中的應用，提高課程的與時俱進性，增強學生學習理論的興趣，并進一步提升學生應用線性代數理論解決問題的能力［1］。要解決上述問題，應先從教材入手，在每一章節的開頭增加一個實際問題，以這個問題為出發點，展開后面的理論知識，啟發學生在學習的過程中，尋找問題的答案；在章節的結尾處，根據已學的知識，提供開頭問題的解決思路，以供學生參考并學習。讓“線性代數”理論知識立足于實際案例，最終利用理論知識解決實際問題，學習過程和應用過程交叉融合，兩者相互促進。一方面，通過大數據、人工智能等技術問題，建立“線性代數”與這些實際問題的聯系，使學生形成數學思維能力，能夠將實際問題提煉為線性代數問題并解決的能力。另一方面，在解決問題的過程中，學生所學的線性代數知識又能得到更深入的理解和掌握，并形成自己成熟的數學思想和方法。通過“問題—學習知識—思考—解決問題—加深知識的理解”這一過程，扎根于現實實例，增強學生解決現實問題的能力，為學生的專業學習和新技術探索奠定良好的基礎，同時還可以進一步推動大數據、人工智能等研究方向的發展。因此，在掌握“線性代數”基本理論知識的基礎上，針對不同專業的學生，在教材中加入相關的案例，引導學生理解線性代數知識在本專業的地位和作用，可以進一步提高學生對“線性代數”的學習興趣，并進一步深刻理解本專業的未來應用場景，對學好本專業起到一定的促進作用。

由于傳統課程授課方式的局限性，教材上的例題和練習題涉及的數據量小，并且數據的選擇上也需要便于手算。而生活、生產和科學研究實踐中的問題都比較復雜，是一個系統性的大問題，涉及的數據量大，甚至是大數據。在這種情況下，課程內容不光是課上引入實際案例，還需要在教材上增加貼近現實的實際案例，讓學生體會并學會用“線性代數”的知識去解決實際問題。否則，即使把“線性代數”知識都理解掌握，在解決實際問題時，由于實操能力弱，也無法推進完成。

除了在書本中加入案例，還應該對傳統的習題進行修改。傳統的習題偏簡單化、數據量小，一般一題考查了若干個知識點，這不利于提升學生解決實際問題的能力。因此，應該在每一章增加一些源于實際生產生活中問題，學生在解決問題的過程中，不再只局限于“線性代數”知識的應用，而要綜合專業知識、高等數學等專業素養去解決問題。除此之外，有些題型設計還應該滿足層次性。對于一個同樣的場景，隨著知識的積累，在后面章節中，對相同的場景下需要解決的問題難度層層加碼，從而實現問題設計與實際問題的一致性。這樣可加深學生對知識的內在轉化，激發學生的主觀能動性，并進一步地踐行課本以及案例教學的目標和思想。

二、新工科建設背景下“線性代數”課程案例教學

案例教學是一種互動式的，通過模擬現實實例，將學生代入實例中，通過小組討論、調研學習的一種教學方法。傳統“線性代數”課程教學強調教師的主體地位，教師在知識的傳授上占據主動權，學生被動接收知識。對于抽象的數學概念和復雜的邏輯推理，學生一旦未能跟上教師的速度，容易導致學生的學習效果不佳，且在長時間學習過程中容易失去學習興趣和動力。除此之外，傳統學習方式中知識的實際應用的缺失，導致學生難以對后續專業課程進行理解，這與新工科的人才培養目標不符。通過引入具有代表性的例子，讓學生在案例的思考、分析、討論中，建立起自己完整而又嚴密的邏輯思維方法，同時也能提高學生分析問題、解決問題的能力。“線性代數”的學習不僅僅是使學生知道如何計算特征值、特征向量等，而在于這些知識背后的強大應用場景，使學生在解決實例問題的過程中理解其思想、方法。案例教學不僅能使學生從被動接受知識轉變為主動探索，也讓學生更加直觀地感受到知識的實際應用。學生需要針對具體案例進行問題識別、數據收集、問題分析等，這些過程也是素質教育的依托形式。在目前的“線性代數”教學中，經常是將理論知識直接抽象植入，計算也是直接將規則告訴學生，這樣使學生在學習中對各種抽象定義感到空洞、茫然。因此，教師針對不同專業背景的學生拓展相應的應用實例顯得尤為重要。為達到新工科背景下人才培養的新目標，在“線性代數”課程的教學實踐過程中，需要將案例引入，通過理論和應用相結合的教學方法，增加課程的趣味性和理論的完整性。教師課堂上補充針對不同專業的典型“線性代數”的模型實例，以培養學生應用“線性代數”知識建模能力和解決實際問題的能力，并搭建“線性代數”與各個專業之間的紐帶。

以克拉默法則的應用為例，傳統的“線性代數”課程講解重點在于通過消去法歸納出線性方程組的求解，在此基礎上學生只需要利用克拉默法則公式求解線性方程組，最終轉化為求解D，D1，D2，…，Dn行列式的值，再代入公式計算即可。但這對學生思維能力的提升沒有任何作用，只是讓學生進行機械的計算，而這些計算在計算機的幫助下是很容易實現的，花大量的時間在解方程組的講解和訓練上，意義不大［2］。在新工科背景下，課程內容應該突出提升學生解決問題的能力。以交通流建模為例，在流量已知的十字路口，根據流入流量和流出流量相等的規則，構造矩陣方程求解，應用克拉默法則判定齊次線性方程組和非齊次線性方程組的解，突出該知識點的應用［3］。以圖形變換為例，矩陣變換可將3D模型投影到2D屏幕上，“線性代數”被廣泛應用于圖形的渲染、動畫、物理模擬等方面。在案例教學中，一方面，淡化無意義的計算量；另一方面，實例引導學生的思維能力，保持學生對后續知識點的興趣。借助現實應用問題，幫助學生了解抽象枯燥的數學知識背后的強大能力，進而保持對“線性代數”課程持久的學習力，提升學生接受新知識的能力。同時，在“互聯網+”新技術背景下，新工科教育注重培養學生的新技術實踐能力，案例教學也是實現這一目標的方式。因此，“線性代數”課程內容設計需要聯系實際問題，并以實際問題與數學模型的轉化為方向，培養學生的數學思維，對復雜的現實應用問題進行求解。

以矩陣運算的教學為例，矩陣是一個數表，并在此基礎上定義了加、減、乘、除（逆），從方程組出發，引出矩陣，學生對矩陣的理解也只會停留在數學理論層面，并且會對矩陣的加減乘除運算規則，尤其是乘法運算規則的定義產生疑惑。因此，需要將每個運算規則對應于至少一個實際應用，幫助學生更好地理解運算規則，進而促進理論的掌握。比如，在計算科學中，圖像可用3個三原色矩陣輸入，要對圖像進行增強、恢復、變換等操作來改善視覺效果，實際上就是對這3個三原色矩陣的加、減、乘、求逆、數乘等運算處理。利用矩陣變換，可以實現圖像的平移、旋轉、縮放、翻轉等幾何變換。“線性代數”中的卷積運算在圖像處理中用于實現濾波操作，如平滑、銳化、邊緣檢測等。此外，奇異值分解技術可用于圖像壓縮，通過圖像矩陣進行SVD分解，可以提取出圖像的奇異值，并保留這些奇異值來重建圖像，從而實現壓縮。逆矩陣還可以用來恢復圖像和加密，從這些實際問題中提煉出來的矩陣概念，可以方便并鞏固相關理論的學習和理解。教師和學生的地位平等，教師與學生共同分析理論的由來以及這些理論與實際問題的聯系，這樣就完成了從實際應用到數學知識的學習，然后再反饋到實際應用的過程，學生在教師的指導下，參與案例并深入分析案例。這樣的教學過程能發揮學生的主觀能動性，同時能提高理論知識的學習效果。

在實際建筑工程當中，復雜的受力結構需要通過線性代數進行精確分析。比如，由拉壓桿組成的桁架結構，其各桿所受力通過線性方程的求解得到，并通過矩陣運算得到各桿件的具體受力情況。在處理實際工程當中，結合特征值、特征向量的求解，建立相應的微分方程，能更好地預測在建設過程中哪些方面需要加強處理，以保障工程質量與安全。以混凝土配比問題為例，實際應用中需要根據具體用途要求各成分比例控制在一定范圍內，通過求解四元線性方程組可得到各標準混凝土的具體配比量。在解決上面問題的過程中，不僅需要學生掌握矩陣變換的重要知識點，還要求學生具備利用矩陣相關知識進行數據處理的能力。

三、注重數學軟件的學習

在學習“線性代數”的知識時，學生在課堂上的計算練習是比較簡單的，復雜的計算采用筆算很難實現。在學生掌握了基本的計算準則理論之后，需要增加相關計算軟件的學習。這不僅能夠強化理論知識的掌握，加快計算速度，也是未來應用的基礎和關鍵。從學生角度來看，這可以增加“線性代數”這門課程的趣味性，從而提高學生學習的積極性，并更好地理解掌握這門課程的重要性。MATLAB數學軟件具有強大的功能，計算行列式、矩陣的逆、特征值、特征向量的求解只是該軟件的基礎功能，一個函數或者命令即可實現，但是手算計算卻要花費一定的時間。通過MATLAB軟件的學習，提高學生學習的積極性，促進學生的自我發展和實際應用能力［4］。比如，對向量組進行單位正交化，需要用施密特正交化方法，先正交化，再單位化，得到滿足條件的原向量組等價的單位正交向量組。而編程計算，調用MATLAB中的orth函數對其進行單位正交化運算，輸出即為等價的單位正交向量組。數學軟件不僅可以便利“線性代數”中的計算，而且學生可以通過軟件的幫助，深刻理解“線性代數”中的基本概念。如向量中的張量積，根據定義是兩個向量生成一個矩陣的運算。如果只是從運算定義上給學生進行講解，學生不能理解其內在意義，而且在后期學習中，也會造成學習動力不足。借助軟件的幫助，通過可視化這一運算結合相互獨立的隨機變量密度函數的混合密度和各自的邊緣密度來理解這一運算概念，可以更好地幫助學生理解這一運算的本質。

因此，在學習完每一單元的概念、理論和運算之后，需要安排計算機實現課程，講授使用MATLAB軟件處理本單元“線性代數”理論，并安排一定的上機實操課，使學生在掌握了“線性代數”理論知識之后，還能夠具備相應的處理復雜現實問題的能力。

四、考核方式進一步優化，摒棄單一考核方式

學習效果的程度是衡量一門課程是否成功或者有效的重要標志之一，因此需要教師能夠及時掌握，并根據學生的反饋情況及時調整上課的節奏和內容。教師應充分利用網絡教學平臺，在平臺上發布知識點視頻和資料，布置線上微課作業，增加課程互動等環節。考核也應該線上線下統籌考查，線上作業、學習效果評估、師生互動等環節應該設計在考核標準之中。除此之外，教師還要借助線上后臺統計功能，隨時了解學生學習情況，對賬號活躍度不高的學生及時交流，詢問原因。這樣，可以有效避免出現學生最后集中備考的情況，并可對學習效果進行一個全面的評估。

結語

新工科背景下的“線性代數”課程的建設需要從不同專業需求進行全面探索和不斷優化。在新工科培養目標主導下，以學生為主體的教育理念，從課程內容設計、案例教學引入、軟件教學的側重、借助教學平臺線上線下統籌的考核方式等全方位進行改革，針對不同層次和不同專業的學生需求形成一套科學全面的培養和考核方式，為我國社會主義建設培養應用型、創新型人才。通過教材、案例教學等方面的改進，學生的學習主觀性、師生互動和考核成績等方面均有明顯提升。

參考文獻：

［1］劉江濤.大數據下云計算的人工智能創新分析［J］.互聯網刊，2023（16）：4345.

［2］張彬，潘海軍.新工科背景下線性代數課程的教學改革與實踐［J］.科技風，2023（12）：9496.

［3］吳愛華，楊秋波，郝杰.以“新工科”建設引領高等教育創新變革［J］.高等工程教育研究，2019（1）：17.

［4］楊威，高淑萍，陳懷琛，等．新工科背景下線性代數教學中改革與探索：以國家精品在線開放課程《實用大眾線性代數》為例［J］.高教學刊，2020（5）：812.

課題：2023年度中國建設教育協會教育教學科研立項（項目號：2023182）——新工科背景下的建設類專業“線性代數”課程建設

*通信作者：楊帆（1984—"），女，漢族，江西進賢人，博士，副教授，碩士生導師，研究方向：運籌學與圖論。

作者簡介：石瑋（1984—"），女，漢族，山東東營人，博士，副教授，碩士生導師，研究方向：振蕩微分方程保結構算法。