《課標（2022年版）解讀》中的樣題：測試分析與應對策略

【摘 要】 基于《義務教育數學課程標準（2022年版）解讀》中的部分樣題，對山西省臨汾市某中學八年級學生進行測試，測試發現學生對部分概念掌握不清晰，對數學開放性問題和新定義問題的分析和解決存在較大困難，在數學推理能力和空間觀念方面表現不佳．對此，在數學教學中要重視數學概念的深度解析，加強數學新定義問題和開放性問題的練習，著力學生推理能力和空間觀念的培養．

【關鍵詞】 課程標準；測試；錯誤分析；應對策略

1 問題提出

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）指出：以核心素養為導向的考試命題，要關注數學的本質，關注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養^[1]91．因此命題時要遵循其理念，全面檢測學生學業質量水平．《義務教育數學課程標準（2022年版）解讀》（以下簡稱《課標解讀》）在“學業水平考試的命題”中給出了部分樣題，對命題起示范與引領作用.本文選取部分樣題，對學生進行測試，以診斷和分析學生學業質量，了解學生“四基”“四能”的掌握及數學核心素養達成情況．

2 測試設計

2.1 測試試題

選取《課標解讀》學業水平考試命題中的部分樣題作為測試題^[2]，共7大題13小題，滿分100分．簡稱為疊放杯子、探究代數式的性質、設計方案、證明全等、推斷高度、公司招聘、設計分角儀（見表1）．這些試題出自專家學者的研制，具有較高的信度和效度，代表著未來考試命題的基本走向，有極強的代表性和導向性．

2.2 測試對象及時間

以山西省臨汾市某中學初二年級學生142人為測試對象，發放測試卷142份，有效試卷138份，有效率97.2%，采用紙筆方式進行，被試學生已經學習了相關內容．測試時長80分鐘．

3 試題分析

題1 疊放杯子

圖1是1個紙杯和6個疊放在一起的紙杯的示意圖，請自行定義常量與變量來建立一個函數，探究疊放在一起的杯子的總高度隨著杯子數量的變化而變化的規律．

考查意圖 本題以疊放杯子為問題背景，需要抽象出杯子的總高度和杯子的數量兩個變量，建立一次函數關系．疊放杯子在平時很常見，需要將此問題抽象成數學問題，并用數學知識、思想和方法加以解決，以幫助學生養成從數學的角度觀察、思考和分析問題的習慣，把握事物本質．

題2 探究代數式的性質

對于代數式，不同的表達形式能表現出它的不同性質．如代數式A=x2-4x+5，若將其寫成A=（x-2）2+1的形式就能看出，不論字母x取何值，A的取值都是正數；若將其寫成A=（x-1）2-2（x-1）+2的形式，就能與代數式B=x2-2x+2建立聯系．下面我們改變x的值，研究一下A，B兩個代數式取值的規律（表2）：

表2 A，B兩個代數式的值

x-2-10123

B=x2-2x+21052125

A=（x-1）2-2（x-1）+217105212

（1）觀察表2可以發現：若x=m時，B=x2-2x+2=n，則當x=m+1時，A=x2-4x+5=n．我們把這種現象稱為代數式A參照代數式B取值延后，此時延后值為1．若代數式D參照代數式B取值延后，相應的延后值為2，求代數式D．

（2）請寫出一組b和c的值，使得代數式ax2-10x+b參照代數式3x2-4x+c取值延后．

考查意圖 本題屬于比較典型的數學情境，主要考察學生的運算能力，要求學生在理解新定義“延后值”的基礎上，運用合理的運算方法和程序加以解決．兩個問題的考察難度雖然有所不同，但是主題統一，層層遞進，能夠有效區分不同水平的學生．

題3 設計套餐選擇方案

某營養餐公司為學生提供的300 g早餐食品中，蛋白質總含量占8%，包括一份牛奶、一份谷物食品和一個雞蛋．一個雞蛋的質量約為60 g，蛋白質含量占15%；谷物食品和牛奶的部分營養成分見表3和表4．

（1）設每份該種早餐中谷物食品為x g，牛奶為y g，求出x，y的值．

（2）該公司為學生提供的午餐有A，B兩種套餐（每天只提供一種），見表5．

為了平衡膳食，建議合理控制學生的主食攝入量，在一周內，每個學生午餐主食攝入總量不超過830 g．每個學生在一周內午餐可以選擇A，B套餐各幾天（一周按5天計算）？請設計一個套餐選擇方案，并說明理由．

考查意圖 營養早餐是學生較為熟悉的情境，該題主要考查學生能否從題目中找到等量關系和不等關系，正確列出方程組和不等式，建立模型，進行求解并檢驗結果，進而用方程和不等式解決實際問題．在這個過程中，讓學生感受數學的應用價值，同時也考查學生的閱讀理解能力，信息獲取、整理能力及分析和解決問題的能力．

題4 證明全等

（1）閱讀下題及證明過程

已知：如圖2，D是△ABC的BC邊上一點，E是AD上一點，EB=EC，∠ABE=∠ACE．

求證：∠BAE=∠CAE．

證明： 在△AEB和△AEC中，

因為EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，

所以△AEB≌△AEC，第一步

所以∠BAE=∠CAE.第二步

上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步推理的依據；若不正確，請指出錯在哪一步，并寫出你認為正確的證明過程．

（2）如果兩個銳角三角形的兩組邊分別相等，且其中一組等邊的對角相等，那么這兩個三角形全等嗎？請說明理由．

考查意圖 題4（1）有明確的條件和需求證的內容，考查學生能否判斷出題目所給證明過程中的錯誤步驟，并予以糾正；題4（2）要求學生通過畫圖、分析、推理，進而證明，對學生的能力要求較高．兩問的解題過程都涉及對判斷、表達等相關數學推理能力的考查，考查學生能否清晰、合乎邏輯地表達自己內在的思考過程，幫助學生養成說話、做事有章可循、有理有據的習慣．

題5 推斷高度

身處樓群中，當我們從某個角度觀察時，會發現較高的樓遮擋住較矮的樓．圖3中灰色區域的各個數字代表在該處你可以看到的樓的數量．例如，數字1代表從這個角度你可以看到1棟樓，數字2代表可以看到2棟樓．

請在圖3的16個空白方格中填寫樓的層數（從1到4），使得每一排、每一列樓的高度都不一樣．

考查意圖 本題著重考查學生的空間觀念，學生需通過觀察、想象和推理，將視圖在腦海中立體化，體會“由圖到物”的過程．要解決這道題目，關鍵是要通過分析題目中各個方向的數據，推斷出樓之間的位置關系，對于這種位置關系的把握，是反映空間觀念和推理能力的一個重要方面．

題6 公司招聘

某公司要招聘一名職員，根據實際需要，從學歷、經驗、能力和態度四個方面對甲、乙、丙三名應聘者進行了測試，測試成績見表6．

（1）如果將學歷、經驗、能力和態度四項得分按1∶1∶1∶1的比例確定每人的最終得分，并以此為依據確定錄用者，那么，誰將被錄用？

（2）如果這家公司較看重員工的學歷（其他三項比例相同），你幫公司設計一個四項得分的比例，并以此為依據確定錄用者，那么，誰將被錄用？

（3）如果你是這家公司的招聘者，請按你認為的各項“重要程度”設計四項得分的比例，以此為依據確定錄用者，并說一說你這樣設計比例的理由．

考查意圖 數據分析是統計的核心．該題以求職應聘作為背景，主要考查學生是否理解加權平均數的概念，通過對數據的分析，結合應聘要求，以此來確定錄用者，體現了運用數據觀念分析解決實際問題的意圖．同時，試題還引導學生能夠理性對待“唯學歷論”，樹立正確的就業觀，做一個適應未來社會生活的全面發展的人，體現了數學的育人功能．

分角儀是一種把角分成若干份的繪圖儀器，在工程、測量、設計等活動中經常用到．某同學制作了一個簡易的T形分角儀來二等分任意一個角．如圖4，該T形分角儀是由互相垂直的兩根細棍EF，GD組成，D是EF的中點．

圖4尋找角的平分線時，需要調整位置，使得所分角的頂點O在GD上，同時保證T形分角儀的E，F兩點正好落在所分角的兩條邊OA，OB上．

（1）該T形分角儀的制作原理是．

（2）嘗試設計一個分角儀，可以將任意一個角二等分．繪制出示意圖，并說明原理．

考查意圖 題7（1）考查學生能否理解題中做法的原理，給出相應的依據；題7（2）是一道作任意角的角平分線的幾何開放題，結論封閉，策略開放，借助尺規作圖，畫出圖形，并且說明制作原理．此題有多種可能的解答，既能考查學生思維的靈活性，為學生提供較大的發揮空間，又能激發學生的想象力，喚醒學生潛在的創新精神．

4 測試分析

4.1 測試分數統計

表7給出了測試分數，以下給出平均得分率的柱狀圖（圖5），橫軸為題項，縱軸為平均得分率．可以很直觀地看出，學生在數學開放性問題和新定義問題上得分率較低，在數學推理能力和空間觀念方面表現不佳．

4.2 錯誤診斷分析

題1 疊放杯子

除去沒有做答的情況，答錯的學生有27人，從錯誤結果看，存在的典型錯誤有：學生未能得出杯底到杯沿底邊高、杯沿高以及杯子數量三者之間的關系，說明至少19.6%的學生抽象概括的意識和能力不足，有學生雖然意識到三者之間存在關系，但是無法正確列式，有學生甚至不知道函數應當如何表示，僅僅用字母寫了一個代數式．

題2 探究代數式的性質

數學新定義題“以能力立意”，題目新潁，從測試結果看，題2（1）、題2（2）正確率極低，說明學生在解決此類新定義型問題時有明顯困難，不理解題目中的新定義或新信息，以致無法進行必要的運算．在題2（2）給出解答的學生中，有24.1%的學生運算錯誤，說明部分學生最基本的代數式運算還未過關，對基礎知識掌握不扎實．

題3 設計方案

面對現實情境時，少部分學生對各種量的關系理解混亂，邏輯不清楚，缺乏條理性，找不出題目中的等量關系和不等關系，以至于列不出正確的方程和不等式．此外，在題3（2）中，存在典型錯誤：學生能夠列出并解對不等式，但最后給出的方案只有一種，說明學生考慮問題不全面（見圖6）．

題4 證明全等

題4（1）中，55.8%的學生能夠做出準確判斷并寫出正確的證明過程．有7.3%的學生雖然給出了證明，但卻出現了如圖7所示的錯誤，說明其并未掌握線段垂直平分線的判定定理．有6.5%的學生出現如圖8所示的錯誤，這是典型的無中生有，自己“創造”題目中本不存在的條件．題4（2）中，僅有21人作出了正確判斷，但均未給出證明，說明絕大多數學生的推理論證能力嚴重不足．45.7%的學生認為“不成立”，其中有41人給出“不成立”的理由是“邊邊角”不能證明三角形全等，學生在答題時，未考慮到限定條件是銳角三角形，受思維定式的影響，導致正確率極低（見圖9）．從解答情況可以看出，學生更擅長解決條件明確和結論唯一的常規題目．

題5 推斷高度

對于初中生來說，將平面圖形轉化為幾何體或實物原型，是屬于較高層次的空間觀念．本題正確率僅為18.8%，表明僅有少部分學生能夠建構起二維圖形與三維幾何體間的對應關系，想象出實際物體相互之間的位置關系．絕大多數學生只能得出一部分樓之間的位置關系，無法推理得出剩余樓之間的位置關系，這表明學生的空間觀念非常薄弱，亟待加強．

題6 公司招聘

題6（1）、6（2）體現基礎性，較為簡單，正確率均超過60%，說明絕大部分學生都是掌握的，少部分學生出錯在兩個方面：一是概念不清，包括：①不理解平均數的意義，用總數代替平均數進行計算．平均數反映的是一組數據的集中趨勢，盡管用總數同樣可以確定最終的人選，但是用總數進行計算無法反映一組數據的集中趨勢（見圖10）； 圖10②相較于算術平均數，加權平均數中的“權”較為抽象，學生感到難以理解，導致列式錯誤（見圖11）；③不會將比例轉化為百分比（見圖12）；二是計算錯誤，簡單的計算出錯，除了計算能力薄弱以外，同時也說明學生做題時專注力不夠．題6（3）除上述相同錯誤外，還存在典型錯誤：有23.2%的學生雖然給出了四項得分的比例并計算，但卻沒有說明理由，這表明學生思考問題的路徑是對的，但是缺乏良好的書面語言表達能力．

題7 設計分角儀

題7（1）中，有28.3%的學生未能給出制作原理，說明接近三分之一的學生對基本定理的掌握不夠．題7（2）中，只有23個學生用尺規作出圖形，并且準確說明原理，表明學生對知識的運用有比較清晰的認識，有一定的創新能力；7.2%的學生雖然畫出了圖形，卻無法準確說明其做法，表明學生缺乏有效的用數學語言表達的能力；超過75%的學生沒有作答，這類典型錯誤反映出學生對幾何問題的創新能力不足．

5 應對策略

5.1 重視數學概念的深度解析

“數學概念是人類對現實世界空間形式和數量關系的概括反映，是建立數學法則、公式、定理的基礎，也是運算、推理、判斷和證明的基石，更是數學思維、交流的工具”^[3]．每一個數學概念都蘊藏著豐富的數學背景、數學方法和數學思想．“學習數學極為重要的是關于核心概念的掌握和理解”^[4]．從測試結果看，部分學生對于概念的理解存在明顯不足．教師在教學時，應當引導學生對概念的內涵和外延有清晰、深刻的理解，經歷概念的發生和發展過程，明晰不同概念間的區別和聯系，感悟數學的本質．如：對題6中加權平均數中“權”的理解，教師可以設置具體的情境，引導學生理解無法用算術平均數確定錄用者，只能用新的選拔方法，即在兼顧各項要素的基礎上，重點突出職位的內涵對所需錄用者的素質要求，對該要素賦予較大的比重．讓學生認識到對不同的要素賦予不同的權重，得到的結果往往也是不同的，引導學生主動思考，在具體的情境中根據要求怎樣賦予權重才是更合理的，幫助學生養成用數據說話的意識．

5.2 加強數學開放性問題和新定義問題的練習

2019年11月20日，教育部發布《關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》，指出：“減少機械記憶試題和客觀性試題比例，提高探究性、開放性、綜合性試題比例，積極探索跨學科命題”^[5]．數學開放性問題突出考查學生思維，引導學生敢于打破常規，尋求獨到的解決方案，是發展學生創新意識很好的素材．數學新定義問題對學生的數學素養有較高的要求，雖然類型不同，但在具體的解題過程中，都需要學生建立起已有經驗與新信息間的聯系，經歷認識、理解和應用新信息的過程．由于新定義問題在理解相關概念的基礎上增加了對學生思維的挑戰，因此備受命題者青睞，近年來成為全國各地中考的熱點題型．

測試結果表明，學生對數學開放性問題和新定義問題的解決存在較大困難，啟示教師要重視學生對這兩類題型的練習，在教學中要關注知識彼此之間內在的聯系，將知識連成串、串成網，形成知識的網狀結構，幫助學生形成結構化、系統化的知識體系，引導學生用聯系的觀點分析問題．

5.3 著力學生推理能力和空間觀念的培養

推理是思維的一種基本形式，是數學學科的本質特征，是數學思維的基本表現形式，也是科學態度與理性精神的基礎^[6]．推理能力主要是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論的能力^[1]9．日常生活中很多事情都涉及判斷，蘊含推理，教師要幫助培養學生在生活中善于思考、善于推理的意識；數學的每個領域都承載著發展學生推理能力的任務，教師要轉變以往只有幾何證明才能夠發展學生推理能力的觀念，重視其它領域在發展學生推理能力中的重要作用；同時，引導學生多經歷觀察、猜想、歸納、證明的活動過程，通過合情推理進行猜想，歸納猜想出結論后，通過演繹推理進行證明，兩種推理方式相得益彰，能夠很好地發展學生的推理能力．

空間觀念主要是指對空間物體或空間圖形的形狀、大小及位置關系的認識．空間觀念有助于理解現實生活中空間物體的形態與結構，是形成空間想象力的經驗基礎^[1]9．培養學生的空間觀念應基于學生的實際生活經驗，教師要結合學生熟悉的生活情境展開教學，挖掘學生已有的實際生活經驗，將學生熟悉的實物原型進行抽象，利用抽象圖形的方位以及相互之間的位置關系，幫助學生建立空間觀念；書面上的圖形是靜態的，而在解決幾何問題的過程中往往需要圖形動態化，教師可以適當地借助GeoGebra等教學軟件，將靜態圖形動態化，在這個過程中，學生自主、自動地在頭腦中建構圖形的運動變化情況，更好地發展空間觀念；同時，教師要引導學生多觀察、勤思考、多動手，在教學過程中，結合教學內容，讓學生多開展觀察、想象和操作活動，在實踐中發展學生的空間觀念.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準：2022年版[M]．北京：北京師范大學出版社，2022．

[2]史寧中，曹一鳴．義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[M]．北京：北京師范大學出版社，2022．296-308.

[3]邵光華，章建躍．數學概念的分類、特征及其教學探討[J]．課程·教材·教法，2009（7）：47-51．

[4]張定強，王金燕，申韓麗．初中生數字特征理解水平：現狀、問題、對策[J]．中學數學，2023（2）：18-20．

[5]中華人民共和國教育部．教育部關于加強初中學業水平考試命題工作的意見[EB/OL]．http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A06/s3321/201911/t20191128_409951.html（2019-11-22）[2024-10-2]．

[6]鮑建生，章建躍．數學核心素養在初中階段的主要表現之五：推理能力[J]．中國數學教育，2022（19）：3-11．

作者簡介 張定強（1963—），男，甘肅天水人，教授，博士生導師；主要研究方向為數學課程與教學論．

李景濤（1994—），男，甘肅定西人，碩士研究生;主要研究方向為數學教學論．

申韓麗（1988—），女，山西臨汾人，博士研究生;主要研究方向為數學課程與教學論．