“三新”背景下基于學科核心素養的高中數學變式教學策略探究

［摘 要］“三新”教育改革要求高中數學教學聚焦新課程、研究新教材、全面提升素養，以應對新高考。變式教學作為一種適應這一需求的創新教學模式，有助于數學課堂從“知識導向”向“素養本位”轉型，進而打造高效課堂，促進學生深度學習。

［關鍵詞］變式教學；“三新”背景；學科核心素養；高中數學

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2025）02-0004-03

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》將培養學生數學學科核心素養作為課程目標的核心，明確指出：高中數學課程應具有基礎性、選擇性和發展性，旨在使不同的學生在數學上得到不同的發展，促進學生數學學科核心素養的形成和發展[1]。隨著“三新”（新課程、新教材、新高考）教育改革的深入，高中數學教學面臨新挑戰與新機遇。在此背景下，如何有效提升學生的數學學科核心素養，成為高中數學教師亟待解決的問題。變式教學作為一種創新教學模式，通過變換題目的條件、結論或形式，引導學生探索數學本質，對培養學生的思維能力、解決問題能力和創新精神，提升學生的數學學科核心素養具有重要意義[2]。

一、“三新”背景下高中數學變式教學的作用

（一）適應新課程與新教材的要求

新課程和新教材強調知識的實際應用、跨學科整合以及學生主體性的發揮。高中數學變式教學適應新課程與新教材的這一要求，它通過靈活變換題目的條件、結論或形式，引導學生將抽象的數學知識與現實生活相結合，從而加深對知識的理解。同時，變式教學能夠幫助學生建立完整的知識體系[3]。通過變換題目的形式，教師可以引導學生回顧和鞏固舊知，聯系新知，形成知識網絡，深化學生對數學知識內在聯系和本質的理解，提高學習效果。

（二）滿足新高考的要求

新高考注重考查學生的綜合素質和創新能力，強調全面評價學生的思維能力、解決問題能力和創新精神。高中數學變式教學通過設計具有層次性、挑戰性和創新性的變式題，引導學生主動探索、發現和解決問題。在此過程中，學生運用數學知識、方法和技能，發展創新思維，提升綜合素質和實踐能力。這滿足新高考的要求。

（三）培養學生的數學學科核心素養

數學學科核心素養是指學生在數學學習過程中形成的具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力及情感、態度與價值觀。高中數學變式教學著重培養學生的數學學科核心素養，如通過變換題目的形式和難度，引導學生從不同角度、不同層面思考問題，進而培養學生的邏輯推理、數學建模、數據分析等核心素養。

二、“三新”背景下高中數學變式教學的策略

（一）數學概念的變式教學

數學概念源自生活又高于生活，它雖然基于具體生活經驗，但并不完全等同于生活中的數學，而是需要通過對現實問題進行比較歸納、類比猜想、概括總結等數學化處理后才能形成。要深刻理解概念的本質，需明晰其內涵和外延。在概念教學中，教師可利用正反例證設計變式問題，引導學生從多角度、多側面進行分析比較，深化理解。

1.改變概念的呈現方式，突出概念的內涵

數學概念有標準形式和非標準形式兩種。標準形式有助于理解概念的基本含義，但容易限制思維，縮小概念的外延。因此，教師可利用非標準形式，改變概念的非本質屬性，從而突出概念的內涵。

以高中數學中的“超幾何分布”概念為例。超幾何分布模型主要用于不放回簡單隨機抽樣中的概率計算，其中每個個體僅需考慮其具有的某種特征。人教A版（2019）高中數學教材通過實際生活中的產品抽取問題，對比有放回和不放回兩種抽樣方式下抽取到的次品數服從的分布列異同，由特殊到一般引出超幾何分布的概念。其中，不放回抽取產品模型成為超幾何分布的標準形式。為了讓學生真正把握超幾何分布的本質，教師可以采取非標準形式，通過改變模型的呈現方式，設置如下變式。

變式1：從7名男生和3名女生共10名學生干部中選出5名優秀學生干部，設選出的女生人數為隨機變量[x]，請問[x]服從超幾何分布嗎？

分析：本題將超幾何分布的不放回抽取產品模型應用于人物抽取場景，通過變換背景突出超幾何分布的本質，即在不放回簡單隨機抽樣中，關注抽取的個體具有的某種特征（如性別）。此題關注的是抽取的學生干部中女生的人數，這與產品抽取問題中的次品數問題本質相同，因此均適用超幾何分布。

變式2：從7名男生和3名女生共10名學生干部中選出5名優秀學生干部，設選出的男生人數為隨機變量[x]，請問[x]服從超幾何分布嗎？

分析：本題通過改變關注的隨機變量（男生人數）來進一步突出超幾何分布的本質，即關注在不放回抽樣中，抽取的個體具有的某種特征（如性別）。

變式3：盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，設摸出的黑球個數為隨機變量[x]，請問[x]服從超幾何分布嗎？

分析：本題將超幾何分布模型應用于摸球場景，通過具體實例進一步強調超幾何分布的本質屬性，即在不放回抽樣中，關注抽取的個體具有的某種特征（如球的顏色）。本題有助于加深學生對超幾何分布概念內涵的理解。

2.設計概念的反例變式，明確概念的外延

數學概念存在于由多種概念構成的概念體系中，要明確其外延，就必須明確其與周邊概念的界限。設計概念的反例變式，能幫助學生明確概念的外延，從而實現對概念的多角度理解。

以人教A版（2019）高中數學教材中的“超幾何分布”概念為例，為明確其外延，可設計反例變式。通過改變超幾何分布的某一關鍵屬性（如有放回抽樣），使其不再符合超幾何分布特征。通過對比非概念特征與概念特征，可引導學生深刻理解概念的本質。

變式1：盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球再放回，一共摸4次。設摸到的黑球個數為隨機變量[x]，請問[x]服從超幾何分布嗎？

分析：本題將超幾何分布的“不放回”條件改為“有放回”，使摸球模型變為有放回抽取模型。在此模型下，每次摸到黑球的概率都為[37]，且各次抽樣結果相互獨立。因此，隨機變量[x]不服從超幾何分布，而是服從二項分布。通過對比，明確了超幾何分布概念的外延。

變式2：盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，[x]是首次摸出黑球時的總次數，請問[x]服從超幾何分布嗎？

分析：本題改變了超幾何分布中“隨機變量為抽取到的具有某種特征的個體數量”的定義。即便為不放回抽取，若隨機變量的含義不符合超幾何分布的定義，則該抽取模型依然不是超幾何分布模型，進一步明確了超幾何分布概念的外延。

（二）數學習題的變式教學

數學課堂教學離不開習題教學，它能深化學生對數學概念、性質、公式、定理的理解。因此，要重視習題教學，使其緊扣教學目標。同時，要注重習題的變式、追問與拓展，通過改變條件、結論或問題情境，打破學生思維定式，促進多角度思考。挑選典型例題作為母題，結合教學目標置換條件或結論設置變式題，是有效方法。具體可采取以下策略：

1.改變例題所求問題，一題多問

在數學課堂教學中，教師可圍繞教學目標，通過改變例題所求問題，引導學生在變化中探尋不變的解題規律，實現多題歸一，有效提升數學素養。

［例1］在[△ABC]中，角[A]，[B]，[C]所對的邊分別為[a，b，c]，已知[a3cosA=csinC]。（1）求[A]的大小;（2）若[a=6]，求[△ABC]周長的取值范圍。

分析：本題是與解三角形相關的最值問題。第一問通過正余弦定理進行邊角互化，即可求出[∠A]的值。第二問已知對邊對角，求三角形周長的取值范圍。與解三角形相關的最值問題主要涉及求三角函數值、邊長、面積、周長、向量的最值。解決方法包括：（1）將所給條件轉化為三角函數形式，利用三角函數求最值；（2）將所給條件轉化為邊長形式，利用基本不等式或者函數求最值。本題中三角形形狀未受限制，所求周長的取值范圍為對稱結構[b+c]的取值范圍，故可先用余弦定理找到兩邊[b，c]的關系，再用基本不等式求得[b+c]的最大值，最后結合兩邊之和大于第三邊求另一邊的取值范圍。

變式1：若題中條件不變，試求[△ABC]面積的最值。

分析：本題條件未變，僅問法改變，由求周長的取值范圍轉為求面積的最值。面積最值實為兩數積的最值，均與基本不等式相關，依舊可利用“余弦定理+基本不等式”進行求解。

變式2：若題中條件不變，試求[BA·CA]的最大值。

分析：本題通過變換所求問題，將面積最值問題轉化為兩個向量的數量積的最值問題。此變式改變了問題的呈現方式，代入向量數量積公式后即可轉為求兩個向量數量積的最值，解題方法在本質上和變式1相同。此變式有助于學生發現解題規律，促進知識遷移。

變式3：若題中條件不變，試求[b+2c]的最大值。

分析：本題將例題中的對稱結構[b+c]變為非對稱結構[b+2c]，引發學生思考：基本不等式還能求最值嗎？學生嘗試后發現，余弦定理構建的等量關系無法直接拼湊出[b+2c]的結構。于是，學生轉換策略，采用邊化角的方法，利用三角函數求[b+2c]的最值，從而打破思維定式，有效提升數學素養。

2.改變例題條件設置，一題多變

高考試題多源于課本例題或習題的變式。因此，在數學習題教學中，應滲透變式思想，精選例題。通過改變例題條件，發散學生思維，提升其創新能力。

［例2］［人教A版（2019）高中數學選擇性必修第二冊第81頁習題5.2第8題］已知函數[f（x）=x22+2x-3lnx]，求[f（x）]的導數，并求出[f（x）gt;0]的解集。

分析：本題是不含參數的函數單調性問題，涉及冪函數和自然對數函數，屬于典型的超越函數求導問題。由于不含參數，故為定態問題。

變式1：已知函數[f（x）=x22+ax-（a+1）lnx]，討論函數[f（x）]的單調性。

分析：本題在一次項和對數函數前引入參數[a]，將例題中的定態單調性問題轉化為動態的含參數單調性問題。相比例題，本題對學生思維要求更高，凸顯了變式教學在習題課中的價值。討論單調性時，需先找到參數[a]分類討論的分界點，再進行討論。對函數[f（x）]求導得[f（x）=x2+ax-（a+1）x]，分子是一個可因式分解的二次式結構，且二次項系數不含參數，因此只需討論含參數的根在定義域內的情況以及兩根的大小，即可得出函數單調性的情況。

變式2：已知函數[f（x）=ax22-x+alnx]，討論[f（x）]的單調性。

分析：本題在二次項和對數函數前引入參數[a]，將定態問題轉化為動態問題。由于引入參數位置的不同，加大了分類討論的難度。對函數[f（x）]求導得[f（x）=ax2-x+ax]，分子的二次項系數含參數，需先討論其是否為0。因分子不能因式分解，故需根據判別式[Δ=1-4a2]小于0、等于0和大于0三種情況，討論一元二次方程根的存在性。同時，需關注定義域的端點。具備高階思維的學生可觀察到，當[a][≤0]時，[f（x）lt;0]恒成立，再進一步討論[agt;0]時的單調性。

變式3：已知函數[f（x）=ax22-x+alnx]為單調遞增函數，求[a]的取值范圍。

分析：本題基于變式2，明確函數[f（x）]為單調遞增函數，求參數的取值范圍，采用變式2的逆向思維。由[f（x）≥0]恒成立，即可求解參數的取值范圍。

變式4：已知函數[f（x）=ax22-x+alnx]存在單調遞增區間，求[a]的取值范圍。

分析：本題在變式3的基礎上，將恒成立求參數問題轉化為存在性求參數問題，突出對比變式思維。由[f（x）gt;0]在定義域內有解，即可求解參數的取值范圍。

例2的變式將定態問題轉化為動態問題，解答過程充分運用了分類討論、數形結合、轉化與化歸等數學思想。在習題變化中，教師引導學生突破思維瓶頸，從定態的函數單調性討論提升到動態的函數單調性討論，并進一步延伸至已知函數單調性求參數問題，培養學生的逆向思維，同時提升學生的數學學科核心素養。

“三新”背景下，采取以核心素養為導向的變式教學策略至關重要。多樣化變式設計不僅能夠幫助學生構建數學知識體系，提高解決問題能力和思維能力，而且能夠培養他們的綜合素養，為他們未來的學習和生活奠定堅實基礎。因此，教師應關注學生的學習需求和特點，采用變式教學策略因材施教，以此激發學生的學習興趣和動力，提升學生的綜合素養。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]" 王傳英.高中數學“變式教學”策略例談[J].基礎教育論壇，2024（4）：77-79.

[3]" 王均芳.“變式教學”在高中數學教學中的應用研究[J].試題與研究，2024（2）：153-155.

（責任編輯" " 黃春香）