數學教學中應落實數學建模活動

摘要教學過程中問題驅動探索是數學建模的核心，數學建模在三角函數概念教學過程中是一種非常有效的教學方法，它能夠將抽象的數學概念與實際生活聯系起來，提高學生的學習興趣和參與度，增強學生的數學應用能力和建模能力，有助于提升學生的數學素養.

關鍵詞數學建模；數學教學；三角函數的概念

1.引言

數學建模是將實際問題通過數學抽象和解析轉化為數學模型，并用數學方法解決實際問題的教學活動.它在高中數學教學中扮演著重要角色，具有多方面的意義.數學建模要求學生綜合運用所學知識，發現問題間的聯系，建立新的認知體系；數學建模活動涉及多學科知識和技能，通常需要學生分組合作，共同解決問題，這有助于學生在實際操作中學習如何與他人溝通和協作，提升學生的團隊意識和合作能力；數學建模還可以讓學生體驗到數學知識的實用性和趣味性，減少對數學學習的疑惑，增強學習數學的信心. 本文以“三角函數的概念”教學過程為例，探究數學建模活動在數學教學過程中的滲透作用.

2．教學過程

2.1. 師生活動

問題1在初中，我們是如何定義銳角三角函數的？

（學生回答，教師PPT展示.）

在RtΔABC中，∠C=90°.我們把銳角A的對邊與斜邊的比，記作sinA，即sinA=∠A的對邊斜邊=ac；把銳角A的鄰邊與斜邊的比記作cosA，即cosA=∠A的鄰邊斜邊=bc；把銳角A的對邊與鄰邊的比記作tanA，即tanA=∠A的對邊∠A的鄰邊=ab.

設計意圖"數學中的很多概念是基于已有概念產生的，充分結合學生的學習基礎和能力，從學生熟悉的概念出發.高中三角函數的概念是在初中三角概念的基礎上進行擴展和深化的，由特殊到一般，由個別到普遍，促進學生對知識的理解和延申.

問題2我們通常把角放在直角坐標系內研究（角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合），如何在直角坐標系中研究銳角的三角函數呢？

（學生回答，教師黑板展示作圖過程）

如圖1，在角的終邊上任取一點P（x，y），過點P作x軸的垂線交x軸于M，在RtΔOMP中，sinα=PMOP=yx2+y2，cosα=OMOP=xx2+y2，tanα=PMOM=yx.

設計意圖"借助直角坐標系研究銳角三角函數的概念，引導學生通過數形結合的方法展開研究，從而發展學生的數學抽象、數學直觀等素養，啟發學生用數學的眼光看待問題，從而建立合適的數學模型.

問題3構造直角三角形求銳角三角函數與點P的位置有沒有關系？

師：不難發現銳角α的三角函數值與點P的位置無關，特別地，如圖2，設銳角α的終邊與單位圓的交點為P0（x，y），此時sinα=y，cosα=x，tanα=yx.

設計意圖借助“單位圓”這一“腳手架”，引導學生準確定位關鍵變量，啟發學生用數學的思維思考問題.體會用單位圓上點的坐標表示銳角三角函數，清楚、簡單，凸顯本質性，也為進一步利用單位圓來感受周期變化現象的數學模型和研究三角函數概念做鋪墊.

問題4在我們的現實生活中存在著各種各樣的“周而復始”的變化現象，比如鐘擺的簡諧振動，地球的自轉、公轉等，圓周運動是這類現象的典型代表.如圖3，單位圓⊙O上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉.如何刻畫點P的位置？

生1：我們可以借助角∠AOP大小變化刻畫點P的位置變化.

師：根據弧度制的定義，角α的大小與⊙O的半徑無關，因此，我們可以先研究單位圓上點的運動.

設計意圖創設情境，從生活出發抽象出數學問題，明確研究內容，鑒于周期現象的復雜性，圓周運動的典型性，將圓周運動簡化抽象成單位圓上點的運動，為進一步尋求合適的函數模型刻畫點P的位置變化做準備，為具體研究指明方向.

問題5如圖4，以單位圓的圓心O為坐標原點，以射線OA為x軸的非負半軸，建立平面直角坐標系，點A的坐標為（1，0），點P坐標為（x，y）.射線OA從x軸的非負半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉角α，終止位置為OP.

當α=π6時，點P坐標是什么？點P的坐標唯一確定嗎？

生2：當α=π6時，x=cosπ6=32，y=sinπ6=12.即點P坐標為（32，12）.點P的坐標唯一確定.

設計意圖把問題進行簡化，建立數學模型，探究建立坐標系的必要性和合理性，滲透數形結合思想，發展學生的數學抽象及數學建模素養.

問題6當α=π2或α=2π3時，點P坐標又是什么？這個坐標唯一確定嗎？

生3：當α=π2時，點P在y軸上，即點P（0，1），唯一確定.

生4：當α=2π3時，過點P作x軸的垂線交x軸于M，在RtΔOMP中，利用銳角三角函數可得x=cosπ3=12，y=sinπ3=32.因為點P為第二象限點，故P（－12，32），且唯一確定.

設計意圖"通過特殊角求對應的點的坐標，讓學生在自主探究中很\"自然\"地得到對應關系，符合函數概念的本質，為生成三角函數概念奠定基礎，并讓學生經歷了數學概念的建構過程，同時也加強學生對三角函數概念中的\"函數意義\"的理解.

2.2．建構概念

問題7在弧度制下，我們已經將角的范圍擴展到全體實數.任意給定一個角α（弧度數），其終邊與單位圓的交點P的坐標能唯一確定嗎？P的坐標與α有何對應關系？這種對應關系是函數嗎？

設計意圖"從特殊到一般，通過表示圓上旋轉動點的問題，將三角函數的數與形兩方面結合起來.通過函數觀點探究二者關系，加強學生對于函數的認識，提高其利用函數觀點解決問題的能力.

教師：利用信息技術，讓學生觀察，任意畫一個角，觀察它的終邊與單位圓交點的橫縱坐標都是唯一的.投影展示三角函數的概念：設α是一個任意角，α∈R，它的終邊與單位圓的交點為P（x，y）.（1）把點P的縱坐標y叫做α的正弦函數（sine function），記作sinα，即y=sinα；（2）把點P的橫坐標x叫做α的余弦函數（cosine function），記作cosα，即x=cosα；（3）把點P的縱坐標與橫坐標的比值yx叫做α的正切，記作tanα，即yx=tanα（x≠0）.我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數（trigonometric function），通常將它們記為：正弦函數y=sinx，x∈R;余弦函數y=cosx，x∈R;正切函數y=tanx，x≠π2+kπ（k∈Z）.

設計意圖"改變三角函數變量的呈現方式，用學生熟悉的函數符號y=f（x）表達正弦函數、余弦函數和正切函數，為后續學習三角函數做好鋪墊.

2.3．鞏固概念

例1求α=5π3的正弦、余弦和正切值.

通過學生回答，老師歸納利用三角函數定義求三角函數值的基本步驟為“畫終邊，定交點，算比值”.

設計意圖通過概念的簡單應用，歸納求三角函數值的基本步驟，鞏固任意角三角函數的概念.

課堂練習：

（1）利用三角函數的定義，求0，π2，π，3π2的三個三角函數值；

（2）利用三角函數定義，求π6，7π6的三個三角函數值；

（3）說出幾個使sinα=1的α的值.

設計意圖"進一步理解三角函數概念的內涵，引導學生發現三角函數概念和初中三角函數概念之間的區別與統一.

問題8設x∈（0，π2），按銳角三角函數概念求得的銳角x的正弦記為y，按三角函數概念求得x的正弦記為y1，那么y和y1相等嗎？對于余弦值、正切值也相同嗎？

設計意圖"學習三角函數的定義后，學生可能會發生新概念與舊概念的認知沖突.這里抓住學生的認知沖突點與知識生長點，利用認知沖突加深學生對于三角函數概念的認知.學生通過回憶初中所學習，將知識體系理清，隨后借助問題8的思考過程，將銳角三角函數和三角函數相聯系，在教師引導下學生認識到三角函數的概念是對銳角三角函數概念的延拓.

例2如圖5，設α是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）

的坐標為（x，y），點P與原點的距離為r.求證：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx.

設計意圖"通過這道題的解答，學生可以認識到，只要知道角終邊上的任意一點，就可以得出相應的三角函數值. 例2實際上是三角函數坐標比的定義，這與利用單位圓上點的坐標定義三角函數是等價的，引導學生思考這種等價的原因，讓學生給出三角函數“坐標比”的定義.

課堂練習：

（1）已知角θ的終邊過點P（－12，5），求角θ的三角函數值；

（2）已知點P在半徑為2的圓上按順時針方向做勻速圓周運動，角速度為1rad/s.求2s時點P所在的位置.

設計意圖"通過練習（1）鞏固所學知識，熟悉三角函數的公式.隨后學生以小組探究的形式，在例2的引領下，將定義中對于\"單位圓\"的條件進行延拓，體會到數學探究的樂趣.練習（2）是利用三角函數解決勻速圓周運動問題，學生體會三角函數與現實世界的密切聯系，培養數學建模的素養.

2.4．歸納小結

（1）三角函數的概念是什么？如何求三角函數值？

（2）三角函數與現實世界中“周而復始”變化規律的聯系.

3．結語

構建數學模型往往沒有固定的模式，學生需要根據問題的特點和知識儲備進行創新.本次教學從初中的三角函數引入到高中的三角函數概念，在這個過程中，學生可能會發現一些獨特的構建方法或者從不同的角度去觀察模型，全身心地投入到學習過程.同時教師創設具有挑戰性的問題情境，讓學生掌握數學概念的本質和方法理解數學核心知識，落實數學建模過程，由此達到深刻理解三角函數概念的目的，讓學生體會到數學概念不是孤立存在于課本中的知識，而是可以用來解決現實問題的工具.

參考文獻

［1］章建躍，李增滬.普通高中教科書·數學（必修第一冊）［M］.北京：人民教育出版社，2019：178.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：6.

基金項目：徐州市教育科學“十四五”規劃課題《基于數學建模素養的“微探究”資源開發策略研究》（課題編號：GH14-21-L349）