重視課本習題研究 提升數學核心素養

摘 要：對一道課本經典習題的解法進行全方位探究，幫助學生拓寬思維，在平時教學和高考復習中，充分利用好教材資源，避免機械做題，提高教學效益，提升數學核心素養.

關鍵詞：課本習題；解法探究；最值；核心素養

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0009-05

蔡上鶴教授認為“教科書是由正文、例題和習題三部分有機組成的”.這就是說數學課本中的習題是數學教材的重要組成部分，所有數學教材無一例外地會配備大量習題，中學教材的習題凝聚了幾代專家、學者的集體智慧和結晶，研究這些習題，充分挖掘其內在功能的教育教學價值是一線教師責無旁貸的任務，是提升教師教育教學教研水平的必由之路.數學教材的習題一方面起到了加深學生對知識的理解、復習并鞏固的作用，另一方面也是培養學生能力的重要載體.研究習題可以提高學生的數學解題能力，發展學生的數學思維能力，培養學生探索和創新能力，培養學生良好的數學興趣，從而提高數學教學質量[1].

1 教材習題的呈現

2019年版人教社A版普通高中教科書數學（必修第一冊）中，第五章

《三角函數》第230頁第17題第（2）問：

求函數f（x）=asinx+bcosx（a2+b2≠0）的最大值和最小值.

2 解法探究

視角1 正余弦和差公式的逆用.

點評 上面四種方法利用了正余弦和差公式的逆用，體現化歸思想，最后利用正余弦函數的有界性求出該函數的最值.

視角2 利用判別式求解.

令tanx2=t，則y=f（x）=2at1+t2+（1-t2）b1+t2.

即（y+b）t2-2at+y-b=0.

（1）當y+b≠0，即y≠-b時，

Δ=（-2a）2-4（y+b）（y-b）≥0，

由a2+b2≥y2，

（2）當y+b=0，即y=-b，此時x=2kπ+π（k∈Z）.

視角3 利用平方法來求最值

解法6 由f（x）=asinx+bcosx，得

f 2（x）=a2sin2x+2absinxcosx+b2cos2x

=a2（1-cos2x）+2absinxcosx+b2（1-sin2x）

=a2+b2-（a2cos2x-2absinxcosx+b2sin2x）

=（a2+b2）-（acosx-bsinx）2

≤a2+b2.

解法7 由f（x）=asinx+bcosx，得

f 2（x）-（a2+b2）=（asinx+bcosx）2-（a2+b2）

=a2（sin2x-1）+2absinxcosx+b2（cos2x-1）

=-a2cos2x+2absinxcosx-b2sin2x

=-（acosx-bsinx）2≤0，

點評 解法6直接平方，解法7平方作差進行比較，其實質是一樣的，它們都利用了同角三角函數關系式sin2x+cos2x=1，將cos2x和sin2x進行相互轉化，最后都進行了配方.

視角4 利用柯西不等式來求解.

解法8 令m=（a，b），n=（sinx，cosx），

由（m·n）2≤|m|2|n|2，得

（asinx+bcosx）2≤（a2+b2）（sin2x+cos2x）.

即f 2（x）≤a2+b2.

解法9 由柯西不等式，得

（a2+b2）（sin2x+cos2x）≥（asinx+bcosx）2.

即a2+b2≥f 2（x）.

點評 由題目的結構，我們可以聯想到柯西不等式，充分利用sin2x+cos2x=1，解法8利用了柯西不等式的向量形式，解法9直接利用了柯西不等式.

視角5 利用導數知識來求解.

解法10 由f（x）=asinx+bcosx，得

f ′（x）=acosx-bsinx.

令f ′（x）=0，即acosx-bsinx=0，得

解法11 由解法5得到

當a≠0時，

令y′=0，即at2+2bt-a=0，

由題意可知

點評 用導數求函數最值是導數應用之一，遇到求函數最值問題，我們應該聯想到導數.

視角6 利用解析幾何求函數最值.

解法12 令t=f（x）=asinx+bcosx，x′=cosx，y′=sinx，

則t=bx′+ay′，x′2+y′2=1.

由題意可知直線t=bx′+ay′與圓相交或相切，

點評 由sin2x+cos2x=1，我們可以聯想到單位圓，由f（x）=asinx+bcosx，我們可以聯想到直線，利用直線與圓的位置關系來求解，體現了數形結合思想.

視角7 利用復數知識來求解.

解法14 設z1=cosx+isinx，z2=b+ai，z3=-b-ai，

a，b∈R.

由|z1|+|z2|≥|z1+z2|，得

點評 首先構造復數，然后利用復數三角形不等式來求解.

視角8 利用恒等變形法來求解.

點評 通過設a2+b2=t2（tgt;0），然后進行恒等變形分別求出該函數的最值.

視角9 構造對偶式來求解.

解法16 構造對偶式g（x）=acosx-bsinx.

則f 2（x）+g2（x）=a2sin2x+2absinxcosx+b2cos2+a2cos2x-2absinxcosx+b2sin2a=a2+b2.

又g2（x）≥0，故f（x）≤a2+b2.

點評 這種構造對偶式的方法靈巧，富有創意，有助于培養學生的創新思維和創造能力.高中數學構造對偶式的途徑一般有八種途徑，它們分別是和差對偶、互倒對偶、共軛對偶、倒序對偶、定值對偶、奇偶數對偶、輪換對偶和互余對偶.

3 教學反思

3.1 習題的教學價值需要教師用心去挖掘

一些看似平淡無奇的習題，也許有著意想不到的功能.如果對課本中的習題僅停留在它的表面，而不探究它的本質，那么就會失去習題的內涵與新意，也會失去提升學生學習能力的作用，不利于我們教學的開展與深入.

教師應引領學生系統把握前后關聯知識的內在聯系.數學教材中不同部分內容之間有時潛藏著有機的聯系，這種有機聯系同樣反映在課本例題或習題中，教師應該注重挖掘，溝通其聯系.適時對有關聯的各例題和習題進行整合、重組、演變，使學生能通過這些變化與聯系，從不同側面和多種角度更加深入地把握問題的本質，如果只是孤立片面地就題解題，毫無疑問是低效的教學方法.相反，運用運動變化和普遍聯系的辯證唯物觀點去分析、觀察、探索一個數學問題，尋求習題的內在變化規律及習題之間的聯系，是提高教學效率的一種有效途徑.

3.2 授之以魚，不如授之以漁

德國教育家第斯多惠指出，“不好的老師轉述真理，好的老師教學生去發現真理”.有效的教學活動應該引導學生通過動手實踐、自主探索，達到葉圣陶所說的“教是為了不教”的境界.通過對課本一道習題探究，成功地引領學生經歷一次數學探究之旅.因此，在課堂教學中，教師要善于發現課堂上生成的“意外”教學資源，加以巧妙、合理地利用，引導學生一起探索、發現、論證，促進師生共同成長.

3.3 探究教學要把學生思維引向深入

課堂教學要基于學生的“最近發展區”，使所有學生都有所發展，盡量利用課本或課堂中出現的一些好的素材，同時根據教學目的采取橫向或縱向的變式，多設臺階，小坡度地推進，以期在探究的過程中把學生思維逐步引向深入，達到“螺旅上升”的效果.至于最終落點高度，我們認為還是應該以追求最大化的效益為原則，即以學生能夠切實達到的課標要求內的最高落點為佳.本文對課本上的一個問題解法進行全方位探究，完全是建立在學生的最近發展區上，真正做到和學生的思維無縫對接，通過教師引導，師生共同探究，共同感受到了數學的統一美和完整美，同時還達到了小步前進的目的.最終目的是使學生探究感悟數學的精髓，培養學生分析問題和解決問題的能力，從學生課后表現來看，整個課堂達到了低起點、小臺階、高落點的目標[2].

4 結束語

為了實現高中數學課程面向全體學生、“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”[3]的基本理念，我們倡導因材施教的教學策略，注重“一題多解”的教學方式，讓學生選擇適合自己的解題方法，實現“百花齊放、百家爭鳴”的課堂氛圍[4].一題多解是提高學生運算水平和運算能力的有效途徑，在課堂上若能借助于學生的思維對一些問題進行多解研討和研究，就可以有效拓展學生對于數學運算和數學知識的認識和理解，從而有效地提升學生的數學核心素養.

參考文獻：

［1］彭光焰.課本例題的價值在拓展中提升[J].中學數學教學參考，2007（Z1）：37-38.

[2] 彭光焰.如何深度挖掘教材：從三個數列問題談起[J].數學通訊，2015（24）：12-15.

[3] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[4] 卓斌.鼓勵嘗試多種思路，培養數學運算素養[J].數學教學，2024（06）：19-22.