基于2022年甲卷圓錐曲線壓軸題的原創題命制

摘要：本文中以2022年甲卷圓錐曲線壓軸題為背景，命制了一道拋物線的原創題，并通過對原創題的題源——“坎迪定理”問題進行分析，對其在橢圓中的情形命制了一系列原創題，落實對學生數學核心素養的培養.

關鍵詞：核心素養;坎迪定理;定值;定直線

1 試題呈現與分析

原創題1拋物線G：y2=2px（pgt;0）的焦點為F，過點F的直線l1與G交于A，B兩點，過點F的直線l2與G交于C，D兩點，當l1⊥l2時，|AB|+|CD|的最小值為8.

（1）求拋物線G的方程；

（2）設直線BC，AD與x軸的交點分別為M，N，若kBC=2kAD，證明：（從以下三個結論中選擇一個正確的填在橫線處，并給出證明）.

①1|NF|－1|MF|為定值；②kAC·kBD為定值；③直線AC，BD的交點在定直線上.

試題分析及命題背景2017年新課標指出：命題的考查內容應圍繞數學內容主線，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性[1].本題是一道以拋物線為載體，融合拋物線的定義及其標準方程、拋物線焦點弦問題、蝴蝶定理、證明定點定值等知識為一體的圓錐曲線探索性原創題.試題的思維過程和運算過程既體現了轉化與化歸、數形結合等數學思想，又重點考查了學生邏輯推理與數學運算等核心素養[1]，具有一定的難度和區分度，是一道很有“嚼頭”的好題！本題構思源自于2017年全國Ⅰ卷理科第10題以及2022年甲卷理科第20題：

（1）（2017年全國Ⅰ卷理10）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（）.

A.16B.14C.12D.10

（2）（2022年甲卷理20）設拋物線C：y2=2px（pgt;0）的焦點為F，點D（p，0），過F的直線交C于M，N兩點.當直線MD垂直于x軸時，|MF|=3.

①求C的方程；

②設直線MD，ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β，當α－β取得最大值時，求直線AB的方程.

原創題的解答過程如下：

解：（1）易知Fp2，0，l1，l2的斜率都存在且不為0.由l1⊥l2，設l1：x=my+p2，聯立y2=2px，整理得y2－2pmy－p2=0.設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=2pm，y1y2=－p2，所以|AB|=m2+1×（y1+y2）2－4y1·y2=m2+1·4p2m2+4p2=2p（m2+1）.設C（x3，y3），D（x4，y4），l2：x=－1my+p2，用－1m替換|AB|中的m，于是得|CD|=2p1+1m2，所以|AB|+|CD|=2p2+m2+1m2≥2p（2+2）=8，當且僅當m2=1m2，即m=±1時等號成立.故p=1，拋物線G的方程為y2=2x.

評注：其中本題第（1）問是將2017年高考題改編成逆命題，轉化為求拋物線方程，難度不大，只要求出兩直線的焦點弦長再利用基本不等式求解即可.

（2）由（1）知，G：y2=2x，F12，0.

若選①，kBC=y2－y3x2－x3=y2－y3y222－y232=2y2+y3，lBC：y－y2=2y2+y3（x－x2），令y=0，得x=－y22－y2y32+y222=－y2y32，則M－y2y32，0.同理N－y1y42，0.由（1）知y1y2=－p2=－1，則y2=－1y1.同理y3=－1y4.

由kBC=2kAD，得2×2y1+y4=2y2+y3，則y1+y4=2（y2+y3）=－21y1+1y4=－2（y1+y4）y1y4，解得y1y4=－2，從而y2y3=1y1y4=－12，所以N（1，0），M14，0，|NF|=12，|MF|=14，故1|NF|－1|MF|=-2為定值.

若選②，同①過程可得y1y2=y3y4=－1，y1y4=－2，y2y3=－12，所以kAC·kBD=2y1+y3·2y2+y4=4y1y2+y1y4+y2y3+y3y4=-89為定值.

若選③，同①過程可得kBC=2y2+y3，則lBC：y－y2=2y2+y3x－y222，整理得lBC：y=2y2+y3x+y2y3y2+y3.同理，得lAD：y=2y1+y4x+y1y4y1+y4.同①過程可得，y1y4=－2，y2y3=－12，則lBC：y=2y2+y3x－12（y2+y3），lAD：y=1y2+y3x－1y2+y3，聯立得x=－12，y=-32（y2+y3），故直線AC，BD的交點在定直線x=－12上.

評注：本題第（2）問如果直接設y=kx－12消y后求解，運算量會非常大，而直接利用拋物線方程化簡kBC及kAD可以簡化運算，無論選擇選項①還是選項②，都需要利用kBC=2kAD及y1y2=y3y4=－1求出y1y4及y2y3，選項③在求出BC及AD方程后，不要著急聯立方程，同樣需要先找到y1+y4以及y2+y3的關系式，并求出y1y4及y2y3后再求出交點坐標.

2 原創題的背景溯源

坎迪定理設AB是二次曲線的任意一條弦，M為AB上任意一點，過M作任意兩條弦CD和EF，連ED，CF交直線AB于點P和Q.（1）若P，Q位于點M兩側，則1|AM|－1|BM|=1|PM|－1|QM|；

（2）若P，Q位于點M的同一側，|AM|lt;|BM|，則1|AM|－1|BM|=1|PM|+1|QM|[2].（限于篇幅，證明方法讀者可自行查閱文獻[2].）

基于上述定理，可以命制出如下一系列題目：

原創題2已知點P（1，0），過原點且斜率為k1（k1≠0）的直線交橢圓E：x24+y23=1于A，B兩點，延長AP，BP分別交橢圓E于C，D兩點，若CD的斜率為k2，證明：（1）|AP||CP|+|BP||DP|為定值；（2）k1k2為定值；（3）直線CD過定點；（4）直線AB，CD的交點在定直線上.

證明：（1）設A（x1，y1），C（x3，y3），AP=λPC（λ≠－1），則1=x1+λx31+λ，y1+λy3=0，又x214+y213=1，λ2x234+λ2y233=λ2，可得（x1+λx3）（x1－λx3）4+（y1+λy3）（y1－λy3）3=（1+λ）（1－λ），所以可得x1－λx3=4（1－λ），又x1+λx3=1+λ，解得x1=52－32λ，x3=52－32λ.設B（x2，y2），D（x4，y4），BP=μPD（μ≠－1），同理得x2=52－32μ，x4=52－32μ，則x1+x2=5－32（λ+μ）.又A，B關于原點對稱，則x1+x2=0，

y1+y2=0，所以32（λ+μ）=5.

故|AP||CP|+|BP||DP|=λ+μ=103為定值.

（2）由（1），知k2=y3-y4x3-x4=-y1λ--y2μ-32λ--32μ=λy2－μy132λ－32μ=λy2－μy1x2－x1=λy2+μy2x2+x2=（λ+μ）2·y2x2=53k1，故k1k2=35為定值.

（3）設直線CD與x軸的交點為（m，0），由（1）知，y3x3－m=y4x4－m，即y4（x3－m）=y3（x4－m），也即m（y4－y3）=x3y4－x4y3，則m=-x3y4－x4y3y3－y4.故m=x3y4－x4y3y4－y3=x45y1λ－x35y2μy1λ－y2μ=μx4y1+λx3y1μy1+λy1=μx4+λx3μ+λ=5μ2-32+5λ2-32λ+μ=52-3λ+μ=85.

所以直線CD過定點85，0.

（4）由（2）（3）知lCD：y=k2x－85，lAB：y=k1x=35k2x，聯立解得x=4，故AB，CD的交點在定直線x=4上.

原創題3已知點M－12，0，N（1，0），過點M且斜率為k1（k1≠0）的直線交橢圓E：x24+y23=1于A，B兩點，延長AN，BN分別交橢圓于C，D兩點，若CD的斜率為k2，證明：（1）k1k2為定值；（2）直線CD過定點.

證明：（1）設A（x1，y1），C（x3，y3），AN=λNC（λ≠－1），同原創題2（1）可得1=x1+λx31+λ，y1+λy3=0，x1=52-32λ，x3=52-32λ.

設B（x2，y2），D（x4，y4），BN=μND（μ≠－1），同理得，1=x2+μx41+μ，y2+μy4=0，x2=52-32μ，x4=52-32μ.

同原創題2（2），可得k2=λy2－μy1x2－x1.

于是k2=－23x1－52y2+23x2－52y1x2－x1=53·y2－y1x2－x1-23·x1y2－x2y1x2－x1.又k1=y1x1+12=y2x2+12，整理得x1y2－x2y1=－12（y2－y1），所以k2=53k1+13·y2－y1x2－x1=2k1.故k1k2=12為定值.

（2）設直線CD與x軸的交點為（t，0），同原創題2（3）得t=x3y4－x4y3y4－y3=μx4y1－λx3y2μy1－λy2=52-32（y1－y2）μy1－λy2.

而μy1－λy2=2x2－52y1－3－2x1－52y2－3=2（x1y2－x2y1）3-5（y2－y1）3=2（y1－y2），則t=52-32（y1－y2）2（y1－y2）=74，故直線CD過定點74，0.

評注：原創題2和原創題3將拋物線中的斜率比值問題推廣到橢圓中，利用定比點差法可以大大減少常規聯立方法的運算量，而雙曲線的證明情況與橢圓類似，限于篇幅，這里不再給出證明.

3 小結

原創題1曾作為本校高二年級的一道月考壓軸題，從得分率來看，大部分學生能夠解答第（1）問，但能夠拿滿分的學生不多，其原因在于忽略了基本不等式的取等條件；第（2）問拿滿分的學生不到5%，學生存在不同層度的困難，有近三分之一的學生因為題干較為復雜，產生畏難情緒而空白；接近20%的學生，由于第（1）問設直線方程為斜截式，從而導致第（2）問運算量增大而計算出錯；選擇①②的學生最多，但大部分在求出M，N兩點坐標或者列出kAC·kBD的關系式后，不會利用第（1）問的韋達式找到A，B，C，D四點坐標的聯系.

通過測試結果可知，學生在處理這一類含有多點坐標的雙直線問題存在的最大困難在于聯立方程后，不會利用韋達定理以及題干條件處理不同點的坐標關系；另外，學生的抗壓能力也需要增強，在面對開放性或創新性題目時，要能靜下心來分析.

因此，設計數學原創題或改編數學題目對于提高教師的教學能力、命題能力與科研水平都具有重要意義，并有效提高課堂教學效率.通過對原創題及其變式題不斷地尋根探源，學生不僅僅能夠解決眼前的一道高考題，更重要的是能夠收獲一類習題的“森林”！“他山之石，可以攻玉”，教師也可以從一些參考書或高考試題中選擇合適的題目進行變式拓展，給學生呈現探究性的數學習題，激發他們的求知欲，在引導他們觀察、思考、合作、探究的過程中培養數學核心素養，深入貫徹習近平總書記提出的立德樹人的教育理念！

參考文獻：

[1]陳泳，羅輝芳.八省聯考單選壓軸第七題的背景探究及應用[J].理科考試研究，2021（23）：2225.

[2]段惠民，饒慶生.坎迪定理在圓錐曲線上的推廣[J].中學數學研究，2007（3）：15.