高中數學“函數的概念與性質”解題分析

摘要：在教育教學的不斷改革背景下，高中數學教學要開放思路，重視對學生多種能力的培養，特別是對學生解題能力的培養要加大力度和強度，因為培養學生的解題能力也是在培養學生的創新能力.本研究中，以函數的概念與性質相關內容為例進行了幾種解題方法的探討.

關鍵詞：高中數學；函數的概念與性質；學生

進入到高中階段，數學學習變得有一些難度，特別是一些數學問題的解決，如果不能掌握有效的方法，則會比較吃力.在高中數學學習過程中，函數以及相關內容貫穿始終，函數既是高中數學學習的重點，同時也是難點.更為關鍵的是，在高考中函數相關問題可以說是必考題目，也占有一定的比例.因此，要讓學生掌握一些有關函數問題的解題方法，幫助他們更深入理解和分析題目，從而更順利地解答函數相關問題，讓能力得到培養.本研究中以人教A版高中教材中“函數的概念與性質”為例分析一些有效的解題方法.

1 熟記性質，靈活運用

在解決一些函數的概念和性質的相關問題時，如果對概念理不清，在解答題目時就容易出現錯誤，如果對概念理解不透徹，在遇到一些相關問題時也會束手無策.因此，一定要正確深刻地理解函數的概念和性質.這樣在解答相關題目時，就能夠在腦中想到相關知識，對概念進行剖析，抓住概念的實質［1］.對題目中的一些關鍵信息進行翻譯，在逐步分析中，明確概念與性質，從而根據具體的題目條件靈活加以運用.

例1函數y=1+ln（x－1）（xgt;1）的反函數是（）.

A.y=ex+1－1（xgt;0）

B.y=ex－1+1（xgt;0）

C.y=ex+1－1（x∈R）

D.y=ex－1+1（x∈R）

解析：本題考查的是反函數的概念及其求法，可以運用求反函數的方法來解答.求反函數的步驟分為三步.（1）反解x，即用y表示x；（2）把x，y互換；（3）寫出反函數的定義域，也就是原來函數的值域.由y=1+ln（x－1），得ln（x－1）=y－1，于是x－1=ey－1，所以反函數為y=ex－1+1（x∈R）.因此此題正確答案選項D.本題解答時一定要注意指數式與對數式的互化.

2 換元法，使得題目意義更清晰

換元法也是解決數學問題的一個使用較為廣泛并且很重要的一個方法.通常是把未知數或者變數稱為元.換元法是在一個比較復雜的數學表達式中，用新的變元去代替原數學表達式的一部分，用于改造原來的式子，這樣新式子就具有了更清晰的數學意義，相關的數學問題也更加容易解決［2］.更簡單一點來說，就是在解決數學問題時，把已知或者未知中某個多次出現的式子看作一個整體，用一個變量去代替它.換元的關鍵是要構造元和設元，理論依據是等量代換，這是在使用換元法解決數學問題時必須要掌握的.

例2求函數y=x4+3x2+1x2+1的值域.

解析：本題若直接求解較為復雜，通過換元法可簡化問題.令t=x2+1（t≥1），則x2=t－1.原函數可化為y=（t－1）2+3（t－1）+1t.

此時，我們得到了一個關于t的函數y=t+1－1t，t≥1.

對函數y=t+1－1t求導，y′=1+1t2，因為t≥1，所以y′=1+1t2＞0，這表明函數y=t+1－1t在［1，+∞）上單調遞增.

當t=1時，y取得最小值，ymin=1+1－1=1.

當t趨近于+∞時，y=t+1－1t也趨近于+∞.

所以原函數y=x4+3x2+1x2+1的值域為［1，+∞）.

在這個例子中，通過換元將原本復雜的關于x的四次函數轉化為關于t的較簡單函數，利用導數判斷函數單調性，進而求得值域. 換元法在其中起到了化繁為簡的關鍵作用，清晰地展現了函數的性質與值域求解過程. 同時，在換元過程中嚴格確定了新變量t的取值范圍，保證了換元的合理性與準確性.

3 數形結合，讓問題更直觀

借助圖象研究函數的性質是高中數學中一種常用的解題方法，這種方法我們稱之為數形結合法.數形結合法是解決數學問題最常用的方法之一.本質是將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，從直觀的圖形中了解數學語言的意思，使復雜問題變得更簡單一些.函數圖象的幾何特征和數量特征緊密結合，體現的正是數形結合的特征與方法.數形結合思想是學生應該具備的素養之一.在函數的概念與性質的相關問題中，運用數形結合法解題，將題目中的已知信息和函數形象直觀地呈現出來，能夠有助于學生理解題意，探究解題思路，檢驗解題結果，進而逐漸培養解題能力，提升數學實力和水平，拓寬解題思路［3］.

例3對于任意實數x，設f（x）是y1=4x+1，y2=x+2，y3=-2x+4三個函數的最小值，則f（x）的最大值為.

圖1解析：本題是求f（x）（三個函數中的最小值）的最大值，直接從函數表達式去分析較為復雜，而借助三個函數圖象，可直觀看到不同x取值下函數值的對比，確定函數最小值，從而找到f（x）的圖象，很容易求出其最大值.

在同一個平面直角坐標系中作出三個函數的圖象（如圖1）.根據題意得知，f（x）的圖象是三個函數圖象的最下面的部分構成的折線.從圖象可知，函數f（x）的最大值是y2與y3圖象交點的縱坐標.解方程組y=x+2，

y=－2x+4，得y=83，故f（x）的最大值為83.

4 應用轉化思想，讓復雜問題簡單化

轉化思想是解決數學問題的一種基本的數學思想.在解決一些問題，尤其是一些較難的數學問題時，把未知的問題轉化為已知的問題，把較為復雜的問題轉化為較為簡單的問題，把抽象的問題轉化為具體的問題，把實際問題轉化為數學問題來解決，這就是轉化思想［4］.在高中數學學習過程中，經常可以看到轉化思想的運用.在關于“函數的概念與性質”的一些題目中，可以運用轉化思想，把復雜問題變得簡單一些，從而幫助我們解題.

例4關于x的方程cos2x－sin x+a=0在區間0，π2上有解，求a的取值范圍.

解析：經過閱讀題目可以看出，本題是含有參數的三角方程解的問題，相對來說比較復雜.對于這樣的題型，想要快速解決問題，需要利用函數思想對其進行轉化，分離方程cos2x－sin x+a=0中的參數a，并構建函數a=－cos2x+sin x，從而將本道題轉化為求函數值域的問題.

具體解題步驟如下：

根據題意，令函數f（x）=－cos2x+sin x，x∈0，π2，當a在函數f（x）=－cos2x+sin x的值域上時，方程a=f（x）有解.將函數f（x）化為f（x）=－（1－sin2x）+sin x=sin x+122－54，又因為x∈0，π2，所以可得sin x∈（0，1］，因此f（x）的值域為（－1，1］，最終得出a的取值范圍是（－1，1］.

由此可以看出，利用函數思想解決含有參數的三角方程問題，可以把復雜的問題簡單化，更快速地解決問題.所以在解題過程中，如果遇到相關問題，可以嘗試將其轉化為函數方面的問題，從而利用函數思想解決問題.

高中數學不同于其他學科的學習，它的特殊性使得它沒有一個固定的解題模板和教學模式，因此在解答問題時要懂得求新求變，具有創新意識.函數的概念與性質是高中數學中非常重要的部分，學習時要重點關注，掌握一些有效的解題思想方法，如數形結合思想、轉化思想、換元法等，不斷積累解題經驗，這樣解答數學題目時能夠從多個方面考慮問題，形成有效的解題思路.這些不僅有助于培養學生的解題能力，也能夠使學生在分析、解決數學問題中獲得全面發展，更好地為學生數學核心素養的培養服務.

參考文獻：

[1]姜易京，龍佳慧，王思亮.人教A版高中數學教材中“函數的概念與性質”內容的文本與使用情況探析——基于國家中小學智慧教育平臺的分析[J].遼寧師專學報（自然科學版），2023，25（3）：1419.

[2]魏莉莎，湯瓊，閆旭，等.新課標下高中數學教科書分析研究——以“函數的概念與性質”章節為例[J].中學數學，2022（17）：911.

[3]郭輝林.高中數學“函數的概念與性質”大單元教學設計分析[J].新課程，2022（36）：112113.

[4]杜小平，郭紹.高中數學新舊教材“函數的概念與性質”內容比較分析及教學策略[J].新課程，2020（33）：114115.